小學尺規作圖教學的思考與實踐

蘇傲雪 王鈺瑩 胡詩純

【摘? ?要】尺規作圖是《義務教育數學課程標準（2022年版）》“圖形與幾何”領域小學部分的新增內容，對培養學生的核心素養起著重要作用。以“作三角形”內容為例，通過先后兩輪教學設計及改進實施，發現：“作三角形”對學生來說有一定的難度，教學中，可以動手操作奠基，動態演示助力，拓展練習延伸，更好地發展學生的幾何直觀與推理意識。

【關鍵詞】尺規作圖；作三角形；幾何直觀；推理意識

“尺規作圖”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱為《課程標準》）“圖形與幾何”領域小學部分的新增內容，對培養學生的核心素養起著重要作用。尺規作圖是指用無刻度直尺和圓規進行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線，圓規的作用是畫圓或截取相等的長度。［1］尺規作圖過程能將抽象的推理過程直觀化、外顯化，使學生做到手腦并用、做學合一，培養了學生的推理意識和幾何直觀。

以前，尺規作圖要到初中階段才開始學習，現在將尺規作圖下移至小學階段，這使得尺規作圖教學遇到了全新的挑戰。那么，小學階段應該如何開展尺規作圖的教學設計與實踐呢？本文以“作三角形”為例，通過兩輪教學設計及實施，探索小學尺規作圖的教學路徑。

一、小學階段引入尺規作圖的原因

（一）加強中小學課程銜接

針對尺規作圖，中小學數學課程存在銜接問題。以往的小學數學課程中，只涉及用圓規畫圓的內容，到初中階段，學生學習用尺規作圖時，就會遇到很大的困難。因此，《課程標準》依據學生身心發展規律，在小學階段增加了“會用直尺和圓規作一條線段等于已知線段”（簡稱“作等長線段”）、“經歷用直尺和圓規將三角形的三條邊畫到一條直線的過程，直觀感受三角形的周長”（簡稱“作三角形三條邊”）、“要引導學生經歷基于給定線段用直尺和圓規畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”（簡稱“作三角形”）三個尺規作圖內容，為初中尺規作圖的學習奠定基礎，以實現義務教育階段數學課程的連續性、統一性、整體性［2］。

（二）注重核心素養的培養

尺規作圖是培養學生幾何直觀和推理意識的有效手段。一方面，學生利用尺規作圖，可以將頭腦中的思維轉化為直觀圖形，通過實際畫圖，讓思維可視化，有助于培養學生的幾何直觀。另一方面，在作圖操作過程中，學生可以加深對定理和命題的理解，有助于培養學生的推理意識。［3］

（三）實現“做中學，創中學”

尺規作圖是典型的“做中學，創中學”方法。通過尺規作圖，學生積極想象，動手操作，主動構造，從而激發了學習興趣。學生構思如何用直尺和圓規作圖的過程是“做中學，創中學”的具體體現。構思時，學生首先應考慮作圖的關鍵是什么。他們要先初步想象出利用尺規作圖后所形成的圖形，其次構思具體操作步驟，最后將作圖的過程有條理地表達出來。［4］以“作三角形”為例，學生需要在頭腦中構思，先作一條邊，然后確定第3個頂點。再通過不斷嘗試、操作，經歷找點的過程，及時反思，最終體會到需要找到兩弧的交點。整個學習過程，學生通過想象、操作、推理活動，培養了創新能力和探究能力。［5］

二、教學設計與實踐

六年級學生的幾何思維正處于從非形式化水平向形式化水平過渡的階段。［6］學生四年級時通過擺小木棒活動直觀感知了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關系，六年級在“圓”單元又學習了用圓規畫圓對用尺規作圖作三角形有一定的基礎。同時，學生也面臨一些挑戰：習慣用有刻度直尺，不習慣使用無刻度直尺；對圓規的使用僅停留在畫圓層面；未學習過用圓規作等長線段，直接“作三角形”對他們而言具有挑戰性。本內容是在學生學習了“認識三角形”“三角形三邊關系”“圓的認識”的基礎上展開的，重點是引導學生理解并掌握“借助無刻度的直尺和圓規畫出指定邊長的三角形”的做法。基于此，筆者在北京市海淀區某小學六年級兩個班先后實施兩輪教學。具體教學目標如下。

（1）通過對比多種畫三角形的方法，掌握用尺規畫圓弧作三角形的方法，培養推理意識。

（2）利用尺規作圖感知三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

（3）在與他人的合作交流中，能提出問題，并對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋，會用數學的思維來思考問題，提高學習成就感。

教學重點：會用尺規畫圓弧作三角形，理解三角形任意兩邊之和大于第三邊，能有條理地表達作圖過程。

教學難點：經歷尺規作圖的過程，提高學生的尺規作圖技能，能根據條件作三角形，能理解作圖的依據。

（一）第一輪教學設計及分析

1.第一輪教學過程

（1）活動1：回顧舊知

教師提問：“大家學習過用圓規畫圖，圓規可以畫什么圖形？畫出來的圖形有什么特點呢？”引導學生回顧圓規能畫圓，并回憶圓的相關知識。

教師出示無刻度直尺，提問：“仔細觀察這把直尺，它和我們平時使用的直尺有什么區別？它可以用來畫什么？”明確無刻度直尺能畫直線。同時讓學生想象一下圓規和無刻度直尺能畫什么圖形，鼓勵學生用尺規動手畫一畫。

（2）活動2：合作探究、作三角形

教師引導學生回憶三角形的特征，并提問：用尺規可以作出三角形嗎？

布置任務：嘗試用圓規和無刻度直尺，將任務1中的三條線段圍成三角形。

展示交流：展示學生的不同作圖方法。

方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。

方法2：利用圓規卡出兩個點，大概作圖（如圖2）。

方法3：用圓規畫圓弧的方式作圖（如圖3）。

教師引導全班學生交流討論，分析每種方法的優缺點，共同總結結論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

（3）活動3：探究三角形三邊關系

在活動2基礎上，教師引導學生思考：任何三條線段都能畫成一個三角形嗎？接著出示任務2，讓學生觀察三組線段，判斷哪些能構成三角形，并動手畫一畫，驗證判斷結果。

學生通過動手作圖進行驗證后，教師啟發他們思考：每組任務三條邊的長度有什么關系？構成三角形的三邊必須滿足什么條件？

2.教學實施結果分析

對任務1中的學生作圖方式進行統計，發現：由于受到圓規畫圓的思維定式的影響，約有21.4%的學生采取隨意畫圓的方式作圖，但沒能作出三角形（如圖4）；由于六年級學生之前沒有學習過用尺規作等長線段，約有47.6%的學生通過卡長度畫三角形（如圖2）；約有7.2%的學生在理解了“任意兩邊之和大于第三邊”的情況下，選擇湊出一個三角形（如圖5）；僅有約23.8%的學生通過畫圓弧作三角形（如圖3）。可見本次教學設計存在較大問題，學生的學習效果并不理想。

在第一輪教學設計實施之后，對教學設計作如下調整。

（1）在任務單上直接給出三角形底邊（其中一條邊）的位置，給學生一個尺規作圖的支架，防止他們隨意畫圓，并引導學生將重點放在“如何找到第3個頂點”上。

（2）從用小木棒擺三角形引入，幫助學生搭建學習基礎，讓他們直觀地體會畫圓弧的過程，將小木棒抽象成線段，培養學生的抽象能力。

（3）第一輪教學設計中的活動3是在預設學生未學過“任意兩邊之和大于第三邊”的三角形三邊關系的情形下開展的。第二輪教學設計則將三角形三邊關系作為前提進行教學。

（4）設計拓展習題，打開學生思路，幫助學生突破慣性思維，激發學生的創新意識，培養學生的思維能力和空間想象能力。

基于以上對第一輪教學設計的調整，繼續開展第二輪教學活動，并在同一學校六年級的另外一個班實施教學。

（二）第二輪教學設計及分析

1. 第二輪教學過程

（1）活動1：擺三角形

教師帶領學生完成熱身游戲：用工具袋中的3根小木棒拼成一個三角形。讓學生動手操作，直觀感受拼三角形的過程，明確在不斷調整小木棒擺三角形的過程中蘊含著圓弧，為用圓規畫圓弧作三角形奠基。教師提問：“你是一下就拼成三角形的嗎？你做了怎樣的調整？”

教師展示學生的操作調整過程，提問：“調整到什么時候就拼成了三角形？”然后利用課件動態演示擺小木棒的過程（如圖6），引導學生關注2根小木棒相交時產生的交點，即拼成三角形的關鍵是確定第3個頂點。

（2）活動2：作三角形

教師引導學生通過動態演示總結出小木棒與圓規有相同之處，并提問：用尺規可以作出三角形嗎？

布置任務：運用圓規和無刻度直尺作出一個三角形，以任務1中的c作為三角形的一條邊，a和b作為另外左右兩條傾斜的邊。

展示交流：展示學生的不同作圖方法。

方法1：用直尺大概作圖（如圖1）。

方法2：利用圓規卡出兩個點，大概作圖（如圖2）。

方法3：用圓規畫圓弧的方式作圖（如圖3）。

教師引導全班學生交流討論，分析每種方法的優缺點，共同總結結論：第1、第2種作圖方法不夠精確，第3種作圖方法能準確、快速作出三角形。

（3）活動3：探究三角形三邊關系

在活動2基礎上，教師提問：“任意三條線段都能畫成一個三角形嗎？”引導學生回憶四年級學過的結論“任意兩邊之和大于第三邊”，并以此為猜想，通過動手作圖來驗證猜想。

學生通過動手作圖進行驗證后，得出結論“當任意兩條線段的長度和大于第三條線段的長度時，才能畫出三角形”。

（4）課外作業：拓展練習

布置課外作業：點A在直線l上，點B在直線l外，請在直線l上找到點C，使得△ABC構成等腰三角形。

通過尺規作圖作等腰三角形，既可分別將線段AB作為底邊或腰，作出多個等腰三角形，也可采用對折方法完成。這樣的拓展練習既可以拓寬學生的思考視野，又可以培養他們的創新意識。

2.教學實施結果分析

對第二輪教學任務1中學生的作圖方式進行統計，發現：約有84.6%的學生能直接想到畫圓弧的方式來畫三角形，僅有15.4%的學生用圓規卡長度的方式作三角形，且沒有隨意畫圓的學生。由此可見，在改進教學設計后，學生的學習效果得到明顯提升，作圖情況有了較大變化。

三、教學思考

（一）動手操作奠基，開啟思維之門

小學生的思維水平總體較低，動手畫圖的活動經驗積累較少，難以直接借用知識和經驗去解決問題。第二輪教學中，教師在開展探究活動前，讓學生動手操作擺三角形，在此的基礎上引導學生將3根小木棒抽象成三條線段，為使用圓規畫圓弧奠基，學生的學習效果得到明顯提升。因此，只有讓學生的思維順著支架螺旋式上升，才能讓學生掌握學習數學的思維方式。

（二）動態演示助力，增強幾何直觀

小學生因其自身的年齡特征和心理特征，對動手操作、動態演示比較敏感，能直觀感知其數學本質。在第二輪教學中，教師先引入“用3根小木棒搭三角形”的活動，再利用課件動態演示“確定第3個頂點”的過程，最后，以操作演示軌跡類比用尺規作圖，引導學生掌握用尺規作圖的方法。因此，利用操作演示功能可以有效激發學生的學習積極性，簡化復雜的問題，將抽象的數學知識具象化、直觀化。

（三）拓展練習延伸，提升創新意識

在“作三角形”的教學中，教師給定最長的邊作為底邊，容易使學生產生思維定式：只能把最長的線段作為底邊，較短的線段作為斜邊。因此，教師引入作等腰三角形的拓展習題，使給定的兩條邊既可以作為三角形的腰，又可以作為底邊。拓展性習題是培養學生探究能力的有效途徑，能激發學生的創新意識，提高學生的學習興趣。

參考文獻：

［1］朱國榮，朱術磊.小學數學“尺規作圖”的學理意蘊與教學路徑［J］.教學月刊·小學版（數學），2022（7/8）：32-35.

［2］張俊珍.基于學生核心素養的中小學數學課程銜接研究［J］.教育理論與實踐，2016，36（22）：56-60.

［3］王聿澤，張景斌，程文傲.尺規作圖的教育價值與初中教學實踐探究［J］.中國數學教育， 2020（17）：33-37.

［4］孫曉天，張丹.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀 小學數學［M］.北京：教育科學出版社，2022.

［5］章飛.幾何作圖的教學功能分析［J］.中學數學教學參考，2021（2）：10-12，19.

［6］段思維.基于范希爾理論提升小學生幾何思維水平［J］.新課程研究，2022（34）：123-125.

（1.中央民族大學理學院

2.中南大學第二附屬小學）