化繁為簡 化難為易
——例談立體幾何的“動態”問題

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學,甘肅 金昌 737200)

動態問題是高中立體幾何的重要題型,常見題型為定位問題、角度、距離與體積的計算、圖形問題和動點軌跡以及翻折、旋轉問題等.

1 定位問題

例1 如圖1,已知四邊形ABCD,CDGF,ADGE均為正方形,且邊長為1,在DG上是否存在點M,使得直線MB與平面BEF的夾角為45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,請說明理由．

圖1 例1圖 圖2 例1建系圖

解析因為四邊形CDGF,ADGE均為正方形,所以CD⊥DA,GD⊥DC.

又因為DA∩DC=D,所以GD⊥平面ABCD.

又因為CD⊥DA, 所以DA,DG,DC兩兩互相垂直.

如圖2,以點D為原點建立空間直角坐標系,則B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1)．

因為點M在DG上,假設存在點M(0,0,t)(0≤t≤1),使得直線MB與平面BEF的夾角為45°.

設平面BEF的法向量為n=(x,y,z)．

令z=1,得x=y=1.

所以n=(1,1,1)為平面BEF的一個法向量．

評注由于立體幾何中“動態”性的存在,代數法常常引入參量,達到以靜制動的效果[1]．

2 角度問題

例2如圖3,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,面ABCD⊥面ADPQ,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為θ,求cosθ的最大值.

圖3 例2圖 圖4 例2建系數

解析如圖4所示建立坐標系.設AB=1,則

令t=8y+1(1≤t≤9),

當且僅當t=1時等號成立.

評注本題空間角除了用代數法,還可以用幾何法,當點M在點P處時,EM與AF所成角為直角,此時余弦值為0(最小),當點M向左移動時,EM與AF所成角逐漸變小時,點M到達點Q時,角最小,余弦值最大.

3 距離問題

例3如圖5,在三棱錐A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC與△BCD均為等腰直角三角形,∠BAC=∠BCD=90°,BC=2, 點P是線段AB上的動點,若線段CD上存在點Q,使得異面直線PQ與AC成30°的角,則線段PA長的取值范圍是( ).

圖5 例3圖 圖6 例3建系圖

解析設BC的中點為O,連接OA,因為∠BAC=90°,BC=2,所以OA=1.

如圖6,建立空間直角坐標系O-xyz,則O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t,m>0).

也即3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2.

由此可得3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2>0.

結合t-s=1可得4(1-s2)>2+2s2.

即3s2<1.

評注求距離的基本方法是代數法,使用距離公式后轉化為函數的最值問題.

4 體積問題

例4 如圖7,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,若平面ABC外一點P和線段AC上一點D,滿足PD=DA,PB=BA,則四面體P-BCD的體積的最大值是____．

圖7 例4圖 圖8 例4解析圖

解析如圖8,設M,N分別為AC,AP的中點,因為BA=BP=BC,PD=DA,所以點B在平面PAC上的射影為△PAC的外心O,且點O在直線ND上．

當且僅當點M與點D重合時取到等號．

因此,四面體P-BCD的體積為

此時點O,M,D重合,即點D為AC的中點,且平面PBD與平面ABC垂直相交于BD.

評注對于運動模型(規律)的求值問題,適當引入某個變量求最值．

5 軌跡問題

例5如圖9,已知線段AB垂直于定圓所在的平面,B,C是⊙O上的兩個點,H是點B在AC上的射影,當點C運動時,點H運動的軌跡是( ).

圖9 例5圖 圖10 例5解析圖

A．拋物線 B．圓 C．橢圓 D．不是平面圖形

解析如圖10,設⊙O的半徑為r,取BC的中點M,則OM⊥BC,MH=MC.

因為AB⊥平面BCD,

所以BC是AC在平面BCD上的射影.

從而OM⊥平面ABC,得OM⊥MH.

于是OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2.

即OH=r,亦即動點H在以O為球心、r為半徑的球面上．

又因為BH⊥AD,B為定點,

所以動點H又在過點B且垂直于直線AD的定平面上,故點H運動的軌跡是圓．

評注解答軌跡問題的關鍵是將空間問題轉化為平面問題,利用解析法求出軌跡方程[2]．

6 翻折、旋轉問題

例6 如圖11,在正方形ABCD中,E,F分別為線段AD,BC上的點,∠ABE=20°,∠CDF=30°．將△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD各自獨立旋轉一周,則在所有旋轉過程中,求AB與DF所成角的最大值．

圖11 例6圖

解析由題△ABE繞直線BE、△CDF繞直線CD形成兩個圓錐體,AB和DF成為圓錐的母線,所以無論怎么旋轉,都有∠ABE=120°,∠CDF=30°．利用幾何體性質得最大角是直線AB關于直線BE對稱的直線BA′和DF關于直線CD的對稱直線DF′在同一平面內時所成角,為∠ABA′+∠DCF′=70°.

評注處理翻折問題時,務必搞清楚翻折前后兩個量之間的位置不變.

7 圖象問題

例7在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點,點P從點G出發,沿折線GBCH勻速運動,同時點Q從點H出發,沿折線HDAG勻速運動,且點P與點Q運動的速度相等,記以E,F,P,Q四點為頂點的三棱錐的體積為V,點P運動的路程為x,當0≤x≤2時,表示V與x關系的圖象為( ).

圖12 V與x關系的圖象

解析因為點P與點Q運動的速度相等,設底面ABCD的中心為O,連接OE,OF,則平面OEF把幾何體PEFQ分割為體積相等的兩部分[3]．

圖時 圖時

評注解決以立體幾何為背景的分段函數的圖象問題,解題的關鍵在于借助幾何圖形分析出動點在運動過程中圖形的變化情況．