例談質心和質心系在解題中的應用

陳新學

(杭州學軍中學教育集團文淵中學,浙江 杭州 311200)

質心是力學的一個重要概念,一些看似復雜的力學問題,如果應用質心的相關知識分析,解題思路會變得清晰,解題過程會變得簡單.本文借助于幾個典型問題探討質心的概念、質心運動定理以及質心參考系在解題中的應用.

1 質心的相關概念

1.1 質心和質心運動定理

設N個質點組成的系統(簡稱質點系或系統)中,各質點的位置矢量(簡稱位矢)分別為r1,r2,…,rN,定義此質點系的質心的位矢

(1)

式(1)兩邊對時間求導得質心的速度

(2)

可知質點系的總動量等于質心的動量.式(2)兩邊對時間求導得質心的加速度

(3)

在慣性系中,對于質點系,由牛頓第二定律可得

(4)

其中F外為質點系所受到的外力的矢量和,由式(3)和式(4)得

(5)

由式(5)知,質心的加速度由質點系受到的外力的矢量和確定,與質點系的內力無關,這個結論稱為質心運動定理.

1.2 質心參考系

質心參考系是指相對質心不動的參考系,簡稱質心系.如果質心相對慣性系做勻速直線運動,則質心系也是慣性系;如果質心相對慣性系做加速運動,則質心系是非慣性系.

2 例題

例1 在光滑的水平面上放一半徑為a、質量為M的圓環,在某一瞬間有一質量為m的甲蟲由靜止開始沿此圓環爬行.求甲蟲及圓環中心的運動軌跡.

解析甲蟲和圓環組成的系統受到的外力的矢量和為0,且甲蟲和圓環的初狀態都是靜止的,根據質心運動定理知,甲蟲和圓環組成的系統的質心靜止不動.甲蟲沿圓環爬行,甲蟲到圓環中心的距離不變,始終為圓環的半徑,故甲蟲、圓環中心到質心的距離都不變,分別為

即甲蟲、圓環的中心的軌跡都是圓.以系統質心為坐標原點,甲蟲的軌跡方程為

圓環中心的軌跡方程為

例2 一塊長為L的大平板靜放在光滑水平面上,一小孩騎著兒童自行車(小孩和車的大小可忽略不計)以v0的速度從板的一端駛上平板,在板上他的速度忽快忽慢,在將近板的另一端時,他突然剎車,停在板端.已知人在板上騎車的時間為t,板的質量為M,小孩與車的總質量為m.求從車駛上平板到車相對板剛靜止時板的位移[1].

圖1 例2示意圖

例3如圖2所示,用勁度系數為k的輕彈簧連接放在光滑水平面上質量分別為m1、m2的木塊.讓第一個木塊緊靠豎直墻,在第二個木塊的側面上施加水平壓力,將彈簧壓縮L長度,撤去這一壓力后,求系統質心可獲得的最大加速度值和最大速度值.

圖2 例3示意圖

解析由質心運動定理知,外力的矢量和最大時,質心的加速度最大.分析可知剛撤去壓力時,彈簧彈力最大,豎直墻施加的外力最大,大小為kL,所以系統質心可獲得的最大加速度為

此后彈簧彈力減小,系統質心做加速度減小的加速運動,直至木塊m1離開墻,系統質心開始做勻速直線運動,所以木塊m1剛離開墻時系統質心的速度最大,設此速度為vCm,從撤去壓力到木塊m1剛離開墻,系統的機械能守恒:

其中v2為木塊m1剛離開墻時木塊m2的速度,得

由式(2)得系統質心的最大速度

例4 三個等質量物塊靜止地放在光滑平面上,排成一直線,m1=m2=m3=m,其中m2和m3用彈性系數為k的彈簧相連,并保持自然長度,如圖3所示.現在m1以速度v沖向m2,二者發生完全非彈性碰撞,求此后的運動中:

圖3 例4示意圖

(1)物塊m3的最大動能;

(2)物塊m2的最小動能[1].

例5如圖4所示,長為L、質量線密度為λ的勻質軟繩,開始時繩兩端A和B一起懸掛在天花板上相距較近的兩點.A端的天花板能夠提供的最大拉力為1.5λLg,其中g為當地重力加速度.求:

圖4 例5示意圖

(1)B端下落多長時間后,A端與天花板脫離?

(2)A端與天花板脫離后,經過多長時間繩子完全伸直?

解析(1)以天花板上的A點為原點,豎直向下為正方向建立x軸,B端自由下落x時,右側繩子質心的速度為

整條繩子質心的加速度

對整條繩子應用質心運動定理得

λLg-F=λLaC,

其中F為天花板對繩子A端的拉力,即

左側繩子速度為0,應用式(2)得整條繩子質心的速度

此后整條繩子質心和繩子B端都以加度度g向下做直線運動,在質心參考系中,繩子B端做勻速直線運動,B端相對質心的速度

綜上所述,應用質心的相關知識解題時,一般先分析系統所受的外力,根據質心運動定理,結合質心的初速度,判斷質心的運動情況,再分析各質點或系統的各部分相對質心的運動.在質心系中分析問題時,應注意質心系是慣性系還是非慣性系,如果質心系是非慣性系,受力分析時還要考慮到慣性力.解題時還應注意各物理量的值在質心系和其他慣性系(例如地面參考系)中的區別和聯系,計算時不能混淆.