借雙慧眼識“隱圓”

孟方明

(浙江省春暉中學,浙江 紹興 312300)

數學解題的關鍵是善于挖掘已知條件的“內涵”,即所謂的隱含條件.在某些數學問題中,雖然從表面看已知條件與圓“毫無關系”,但如果對問題進行深入的觀察、分析和轉化,就能發現圓的蹤跡.識“隱圓”,用“隱圓”能幫助我們打開解題思路,提升處理數學問題的能力.

1 圓的解碼

1.1 圓的兩個定義

(1)第一定義:平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡.

(2)第二定義:平面內到兩定點的距離之比是一個不等于1的常數的點的軌跡(阿波羅尼斯圓).

1.2圓的兩種方程

(1)標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)是圓心,r為半徑.

(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0.

1.3 圓的基本性質

(1)直徑所對的圓周角是直角.這表明若動點C對兩定點A,B成直角,則點C在以AB為直徑的圓上.

(2)同弧所對的圓周角大于圓外角.這表明若動點C在過兩定點A,B的某個圓外或圓上,則∠ACB的最大值是圓周角.

2 化隱為顯,“圓”來相會

2.1 通過定義發現圓

圖1 例1解析圖

由b2-4e·b+3=0,

配方得(b-2e)2=1.

即|b-2e|=1.

所以點B的軌跡是以點C為圓心,半徑為1的圓.

點評本題關鍵是要將向量等式b2-4e·b+3=0轉化為定長問題,從而可由圓的第一定義發現動點軌跡是一個圓,再利用圓上點到直線距離的最小值等于圓心到直線距離減去半徑[1].

圖2 例2解析圖

2.2 借助方程顯示圓

例3 已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是____

解析因為a2+b2+c2=1,則a2≤1.

但是若a2=1,則導致b=c=0,與已知矛盾,所以a2<1.

注意到a2+b2+c2=1的結構與圓方程x2+y2=r2類似,由a2+b2+c2=1,得b2+c2=1-a2.

點評本題是多元約束條件下的最值問題,欲求a的最值,將b,c視為主元,通過b2+c2=1-a2這個形式的方程確定圓心在原點的“隱圓”,從而順利地通過直線與圓的位置關系,突破此題.

解得(x-4)2+y2=13-2λ.

由已知直線l與圓M相交.

解得λ<2.

點評當平面內的一個動點與兩個定點構成的數量積是定值時,一般就可以由動點滿足的軌跡方程確定“隱圓”,求解數量積下的“隱圓”問題,關鍵是構建解析幾何與平面向量等不同知識間的聯系,實現問題的無縫鏈接.

2.3 基于性質構造圓

例5 在平面直角坐標系xOy中,直線ax+by+c=0被圓O:x2+y2=16截得的弦的中點為M,且滿足a+2b-c=0,則|OM|的最大值是____.

解析由a+2b-c=0,直線方程可改為

a(x+1)+b(y+2)=0.

由此可知直線l恒過定點P(-1,-2).

點評因為直徑所對的圓周角為直角,所以當題目出現動點對兩定點張角為直角的情況時,就能得出動點軌跡是以這兩點為直徑端點的圓.從本題來看,只要能發掘出直線過定點P以及注意到MO⊥MP,“隱圓”就無處遁形.

(1)求橢圓的方程;

(2)設P為直線l:x=m(|m|>1)上的動點,使∠F1PF2最大的點記為Q,求點Q的坐標(用m表示).

圖3 例6解析圖

點評同圓弧所對圓周角大于圓外角是圓的一個基本性質,對某些張角最大值問題,若巧用這一性質,則可迅速鎖定最值位置.本題關鍵在于由∠F1QF2恒大于∠F1PF2,構造過點F1,F2且切于點Q的“隱圓”,與傳統函數不等式解法相比,此法事半功倍[2].

綜上,對于“隱圓”問題,我們從定義、方程、性質三個角度進行了剖析和處理,確定“隱圓”的途徑和方法,關鍵還是要抓住圓的重要特征,結合圓的有關知識方法,從而讓隱形圓無法隱形,“圓”形畢露,正所謂:有“圓”千里來相會,無“圓”對面不相逢.