泰勒展開式與超越不等式在高考中的應用

王文琦

(江蘇省揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

筆者從泰勒公式基本形式出發,證明了兩大超越不等式.筆者接著舉例分析了高考中以泰勒展開為背景的試題,并總結了高考中五大應用題型,以期拋磚引玉.

1 泰勒展開式與超越不等式

1.1 泰勒公式形式

其中:f(n)(x0)表示f(x)在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數,等號后的多項式稱為函數f(x)在x0處的泰勒展開式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項,是(x-x0)n的高階無窮小量[1].

1.2 兩個超越不等式

①

①中等號右邊只取第一項,得

ln(x+1)≤x(x>-1).

②

用x-1替代②中的x,得lnx≤x-1(x>0).

③

④

證明因為

⑤

⑤式等號右邊取前兩項,得ex≥x+1(x∈R).

⑥

用-x替代⑥式中的x,得e-x≥-x+1(x∈R).

⑦

2 舉例分析泰勒展開與高考題的聯系

2.1 一階導數放縮

例1 (2013年新課標Ⅱ卷)已知函數f(x)=ex-ln(x+m),

(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;

(2)當m≤2時,證明f(x)>0.

命題手法分析第(2)問考查泰勒一階展開式:ex≥x+1>x-1≥lnx,所以可得ex-ln(x+2)>0,這就是第(2)問的命題背景.

2.2 二階導數放縮

例2 (2020年全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

這個式子使得x=2是一個極大值點(最大值點).但是,這樣構造的導函數其原函數過于簡單,不能滿足壓軸題的難度,那就增加一個分母[1]:

3 具體應用

3.1 利用泰勒展開式證明不等式

證明設f(x)=ln(1+x)(-1

則f(x)在x=0處有泰勒公式

3.2 泰勒展開式與函數的極值界定

例2已知x=0是函數f(x)=x(ax-tanx)的極大值點,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,0] B.(-∞,1]

C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析x=0是函數f(x)=x(ax-tanx)的極大值點,等價于x=0是函數g(x)=x(axcosx-sinx)的極大值點.由f(x)在x=0的泰勒展開為

3.3 利用超越不等式比較大小

A.a

3.4 利用對數型超越放縮證明不等式

例4 已知函數f(x)=lnx-kx+1.

(1)若f(x)≤0恒成立,求實數k的取值范圍;

當00,g(x)單調遞增,當x>1時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,所以g(x)max=g(1)=1.從而k≥1.

3.5 利用指數型超越放縮證明不等式

例5 已知函數f(x)=ex-e-x-2x,

(1)設g(x)=f(2x)-4bf(x),當x>0時,g(x)>0,求b的最大值;

解析(1)函數g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,求導得

g′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x+2-2b).

①由ex+e-x>2,則ex+e-x+2>4.當2b≤4,即b≤2時,g′(x)≥0,當且僅當x=0時取等號.

從而g(x)在R上為增函數,而g(0)=0,所以x>0時,g(x)>0,符合題意.

②當b>2時,若x滿足2

綜合①②知,b≤2,即b的最大值為2.

所以ln2的近似值為0.693.

總結泰勒公式是高等數學中的重要知識,它構成了眾多高考數學題中的命題背景.所以知道常見函數的泰勒展開式,就能捕捉到試題背后蘊藏的不等式,應用時用初等數學的方法證明即可.在高中數學學習的過程中適當擴展與了解一些高等數學的知識,對于高中生尤其是優等生是必要的.