以長方體為模型的多面體外接球問題探究

魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū),福建 漳州 363107)

引例長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為____.

該例實(shí)為2017年全國Ⅱ卷文科第15題,其實(shí)像這樣直接考查長方體(或正方體)外接球的問題在高考中非常常見,解題的思路也并不復(fù)雜,主要是通過長方體的對角線即為其外接球的直徑這一關(guān)系.可見借助長方體這一模型,對解決相關(guān)多面體外接球問題能帶來很大的便利.究竟有哪些多面體可以補(bǔ)形成長方體呢?帶著這個疑問筆者進(jìn)行了以下探究:

(4)耕地、未利用地的變化與人口密度密切相關(guān)，林地受人均GDP影響最大，與建設(shè)用地最相關(guān)的因素是第三產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值。人口的增長必然會帶來土地承載力的增加，經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展促使區(qū)域產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，第二、第三產(chǎn)業(yè)的發(fā)展加大了建設(shè)用地的需求。所以要進(jìn)一步有效控制人口增長，完善對區(qū)域土地利用規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)土地利用結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，使山東省的土地利用空間布局朝著合理、科學(xué)、有序的方向發(fā)展。

1 三棱錐

如果是從長方體8個頂點(diǎn)中選4個頂點(diǎn),則可構(gòu)成的幾何體是以下幾種特殊的三棱錐:

1.1 側(cè)棱垂直直角底面

如圖1,如果三棱錐的一條側(cè)棱垂直底面,并且底面是一個直角三角形,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題.特別地,如圖2,當(dāng)垂足為底面直角頂點(diǎn)時,該三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直.

圖1 側(cè)棱垂直直角底面圖 圖2 垂足為底面直角頂點(diǎn)圖

例1 (2019年全國Ⅰ卷理12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

圖3 2019年全國Ⅰ卷理12圖 圖4 兩直角三角形共斜邊圖

所以EF⊥平面PAC.

氟桂利嗪是臨床中較為常用的一種雙苯酰胺類鈣離子拮抗劑，其對腦血管具有較高的選擇性，在進(jìn)入機(jī)體后，能夠通過調(diào)節(jié)機(jī)體細(xì)胞內(nèi)的鈣水平降低患者的細(xì)胞鈣失衡所帶來的影響，同時其對于鈣通道也具有較好的拮抗作用[2-3]。

從而PB⊥平面PAC.

速凍。保證冷凍食品食物感覺處于良好狀態(tài)極為重要，為實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)，在冷凍食品時主要可以應(yīng)用兩種方法：一種為快速凍結(jié)，另一種為深度凍結(jié)。同時嚴(yán)格控制凍結(jié)溫度，使其位于-35℃-45℃。設(shè)定一定時間限制，通常為30秒，使中心溫度上升到-18℃。

通過對項(xiàng)目的“打包”和“抓包”，地方政府既能將多項(xiàng)常規(guī)工作納入到運(yùn)動式治理的項(xiàng)目框架內(nèi)，完成上級政府的指令和要求，又能夠從上級部門獲得各種資金支持。地方政府可以將這些項(xiàng)目和資金投到對自己的政績和形象提升幫助最大的村莊，在投放(實(shí)際上是轉(zhuǎn)發(fā))過程中，能夠通過對投放對象的取舍達(dá)成對村莊的控制。

故選D.

1.2 兩直角三角形共斜邊

綜上所述，通過種子貯藏技術(shù)的概念可以認(rèn)識到種子貯藏技術(shù)是需要將多種因素相結(jié)合，然后針對不同農(nóng)作物種子貯藏性能的不同進(jìn)行相應(yīng)的貯藏管理措施。當(dāng)然最重要的還是要結(jié)合當(dāng)?shù)貧夂蛏鷳B(tài)環(huán)境的不同，采取更加合理的種子貯藏技術(shù)。當(dāng)然這還需要相關(guān)的人員進(jìn)行深入的探究才能更好的實(shí)現(xiàn)對種子良好的貯藏。

圖5 2017年北京卷文6改編圖

解析如圖3,依題意P-ABC為正三棱錐,PB⊥AC,又E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF∥PB,EF⊥AC.

1.3 對棱相等

如圖6,如果三棱錐的每組對棱的長度都相等,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題.

圖6 對棱相等圖 圖7 2006年山東卷理12圖

例3 (2006年山東卷理12)如圖7,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點(diǎn),將ΔADE與ΔBEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為( ).

對心臟彩超求得的TGI指數(shù)為:≥51歲TGI=288,男性TGI=138,已婚TGI=108。可知年齡最大的一組對心臟彩超的偏好性最強(qiáng),且遠(yuǎn)超其它年齡段,男性比女性對心臟彩超的偏好性強(qiáng)。

如圖4,如果三棱錐的兩個直角側(cè)面有公共斜邊,并且底面是一個直角三角形,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題[1].

關(guān)于翻譯的研究，從“信、達(dá)、雅”到后來的“三美”理論，都有他們的必要性。但是總的來說，不論是什么作品的翻譯，都不僅僅需要傳達(dá)字面的意思，還應(yīng)該根據(jù)不同國家的文化背景做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。對于英文電影字幕翻譯，有它自己的特色。字幕是為了讓觀影者了解電影情節(jié)，有文化交際的功能。與此同時，字幕翻譯的語言一般比較大眾化，在邏輯性與藝術(shù)性等方面有著特殊的要求。

2 四棱錐

如果是從長方體8個頂點(diǎn)中選5個頂點(diǎn),則可構(gòu)成的幾何體是以下兩種特殊的四棱錐.

2.1 側(cè)棱垂直長方形底面

如圖8,如果四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面,并且底面是一個長方形,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題[2].

圖8 側(cè)棱垂直長方形 圖9 直角三角形側(cè)面垂直 底面圖 長方形底面圖

又因?yàn)镋F⊥CE,CE∩AC=C,

對于音標(biāo)教學(xué)，現(xiàn)如今人教版英語教材的編排是十分科學(xué)合理的，但是作為一名一線教師特別是農(nóng)村英語教師卻在教學(xué)實(shí)踐中遇到如何把控音標(biāo)教學(xué)“度”的困惑。

例2 (2017年北京卷文6改編)某三棱錐的三視圖如圖5所示,則該三棱錐外接球的表面積為( ).

2.2 直角三角形側(cè)面垂直長方形底面

如圖9,如果四棱錐有一個直角三角形側(cè)面垂直底面,并且底面是一個長方形,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題.

例5 (2018年天津卷文11改編)如圖10,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D外接球的表面積為____.

加快儲氣能力相關(guān)政策的落地。從目前來看，完成2020年“供氣企業(yè)10%、城鎮(zhèn)燃?xì)馄髽I(yè)5%、地方日均3天”的儲氣能力目標(biāo)的難度較大，部分城鎮(zhèn)燃?xì)馄髽I(yè)對政策理解不到位，仍處于觀望狀態(tài)。建議進(jìn)一步出臺更為具體的配套支持措施和考核辦法，例如提供儲氣能力建設(shè)補(bǔ)貼資金；同時盡快理順價格機(jī)制，加快促進(jìn)調(diào)峰市場化運(yùn)作，逐步建立儲氣庫調(diào)峰服務(wù)市場。

圖10 2018年天津卷文11改編圖

3 三棱柱

如果是從長方體8個頂點(diǎn)中選6個頂點(diǎn),則可構(gòu)成的三棱柱只有一種.如圖11,如果三棱錐是一個直三棱錐,并且底面是一個直角三角形,則其可以通過補(bǔ)形成長方體來求解外接球問題.

圖11 三棱柱圖

例6 (2013年遼寧卷文10理10)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( ).

4 其他

以上幾種類型是大家比較熟悉的多面體,在高考中出現(xiàn)的頻率也比較高.借助分類思想,我們發(fā)現(xiàn)從長方體8個頂點(diǎn)中選5個頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體其實(shí)還有圖12,選6個頂點(diǎn)還有圖13、圖14兩種,如果選7個頂點(diǎn)則還有圖15這種.其實(shí),這些類型除了常見于外接球問題中,還常出現(xiàn)在三視圖問題中,甚至是成為大題的考查背景.

圖12 選5個頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖 圖13 選6個頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖

圖14 選6個頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖 圖15 選7個頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體圖