洞析教材內涵 把握高考題實質
——以兩道立體幾何高考題為例

俞新龍

(紹興市柯橋區越崎中學,浙江 紹興 312050)

部分高考題源于教材、高于教材已經形成一種共識,但大多數認識僅停留在認為是課本題的改編或變式或引申等,實際上這樣的認識是不夠的,我們也應該對教材中的概念、定理、公式等引起足夠重視,很有必要像研究語文段落一樣,來討論、研究它們的內涵與外延,并采用類比思維方式,從更廣的范圍來思考、探討相關知識點或方法的可行性,從而更好地來指導、幫助學生數學解題[1].本文以數學教材立體幾何中線面角、面面角的定義為例,結合2020年和2021年高考題來談談對該認識的研究,旨在拋磚引玉,引起大家的共鳴.

1 兩道高考題及解答

題1(2020年全國新高考Ⅰ卷)如圖1,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.

圖1 題1圖 圖2 題1解析圖

(1)證明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析(1)因為AD∥BC,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,由線面平行性質知l∥BC.

因為PD⊥BC,CD⊥BC,PD∩CD=D,

所以BC⊥平面PDC.

所以,l⊥平面PDC.

(2)如圖2建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1).

設平面QCD法向量為n=(x,y,z),則

可取n=(-1,0,m).

設PB與平面QCD所成角為θ,

當且僅當m=1時取等號.

題2(2021年全國甲卷)如圖3,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.

圖3 題2圖 圖4 題2解析圖

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當B1D為何值時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

解析(1)由AB∥A1B1,BF⊥A1B1知AB⊥BF.

在Rt△ACF中,AC2=AF2-FC2=8,

所以A1E2=6,EF2=3,A1F2=9.

由勾股定理知A1E⊥EF.

又由面面垂直性質知BE⊥面AA1C1C.

所以A1E⊥BE.

于是A1E⊥面BEF.

所以可得A1E⊥BF.

又已知BF⊥A1B1,故BF⊥面A1B1E.

而DE?面A1B1E,所以BF⊥DE.

于是可取平面DFE法向量為n=(3,x+1,2-x),于是得

2 洞析教材內涵

以上兩高考題考查的是線面角、面面角有關最值,題材相似,但卻不落窠臼,考出了新意,具有一定的綜合性.因為具有比較好的空間直角坐標系結構,所以絕大多數都會選擇向量坐標方法求解,鮮有常規幾何法求解,這就造成了一種錯覺:常規幾何法無法求解前述兩高考題,或者說這樣就掩蓋了常規幾何法的精妙,這是由于對教材中相關知識點理解不到位、不深入造成的.

2.1 教材中線面角、面面角的定義

(人教A版必修第二冊151頁)如圖5,一條直線l與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.

圖5 線面角定義圖 圖6 二面角的平面角定義圖

(人教A版必修第二冊156頁)如圖6,在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.

2.2 定義分析,洞析內涵

(2)如圖7,若另有一包含直線AB的平面β,若PO1⊥β,作O1B1⊥AB1,所以∠PAO1<∠PAB.這就告訴我們,∠PAB比直線l與經過直線AB的任意平面所成的角都要大;進一步可以知道,若另有一條平行于直線AB且與直線l異面的直線CD,則異面直線l與CD所成的角是直線l與經過CD的任意平面所成角的最大角.

圖7 線面角內涵圖

面面角內涵分析根據這個描述性作法可知平面角不僅唯一而且還是兩個半平面α和β內任意各一條直線所成角中最大的角(若另有CA和CB構成∠ACB,則由初中知識就能知∠AOB>∠ACB).因此,二面角的平面角應該大于等于其中任何一個半平面中任意一條直線與另一個半平面所成的角[2].

3 把握高考題實質

理解清楚這些后,我們再回到高考題來找尋“神奇”的常規幾何解法.

圖8 題1的線面角圖

圖9 題2的線面角

又因為EF?面DFE,且EF位置具有固定不變的特點,所以面BB1C1C與面DFE所成的平面角大于等于EF與平面BB1C1C所成的角,因此問題便成為了是否存在點D,使得∠EFG就是面BB1C1C與面DFE所成的平面角.

如圖9,因為A1A,FE共面且不平行,所以A1A,FE必相交于一點A2,且AA2=1,同樣地,A2D,BB1共面且不平行,所以A2D,BB1必相交于一點P,連接PF,又因為P∈面DFE,P∈面BB1C1C,所以PF是面BB1C1C與面DFE的公共棱.

因為EG⊥PF,所以當FG⊥PF時必有EF⊥PF(或者EF⊥PF時必有FG⊥PF),此時∠EFG就是面BB1C1C與面DFE所成的平面角.下面通過FG⊥PF來確定點P的具體位置,從而再確定點D位置[3].

在Rt△FCG中,FG2=2,在Rt△PBG中,PG2=1+(2+B1P)2,在Rt△PSF中,PF2=4+(1+B1P)2,在Rt△PFG中,PG2=FG2+PF2,解得B1P=1.

4 教學啟示

高考題以解答對得滿分為原則,但教學卻應該以學生數學核心素養發展為目的.回顧兩立體幾何高考題常規方法的解答過程,無疑給我們數學教學帶來一些啟示.

4.1 研讀數學教材永遠都不過時

數學教材是師生學習數學知識的藍本,大多數知識都是顯性呈現的,但也有相當一部分知識是隱性呈現的,需要師生一起去努力挖掘找出來,雖然說“師傅領進門,修行靠自身”,但數學教師的引領和示范作用絕對是不能缺失的,因為“一個專心備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領域”(波利亞).上述兩高考題的命題者連續兩年提醒教師,要重視教材知識發生的核心要義,即知識的內涵與外延,這就要求我們在平時的教學中,要通過同伴互助、教研組協作、專家引領等各種方式認真研讀數學教材.

4.2 數學學習需要跳出題海研究問題的規律性

茫茫題海扼殺了一大批優秀學生的數學創新思維發展,使他們缺少了用自己獨特的解題眼光去解題的機會,十分不利于數學核心素養的獲得.對同一個數學問題,不同水平的學生會有不同的解題方法,最好的方法肯定是明了問題本質、掌握問題規律的獨特方法,但現在學生囿于刷題,無暇思考,缺少了探究問題間存在聯系的能力,也就缺少了發現問題背后所隱藏某種規律的機會.數學的最大魅力就是變化之中往往含有不變性,這才應該是師生著重探究的.