點差法與圓錐曲線第三定義的應用舉例

尹偉云

(貴州省仁懷市周林高中,貴州 仁懷 564599)

圓錐曲線中的中點弦和直徑問題是高考經常考查的對象．在某些與中點及直徑有關的相交弦問題中,利用點差法或圓錐曲線第三定義可快速得到兩直線的斜率之積,尤其是在小題中,直接利用結論求解,可大大地節省解題時間．下面就這些問題進行探討．

1 點差法的原理

1.1 點差法在橢圓中點弦問題中的應用

圖1 橢圓焦點在x軸 圖2 橢圓焦點在y軸

如圖2,當橢圓的焦點在y軸上時,同理得

1.2 點差法在雙曲線中點弦問題中的應用

圖3 雙曲線中點弦問題 圖4 雙曲線中點弦問題

根據結論1和結論2,容易知道橢圓、雙曲線中點差法的統一公式:

1.3 點差法在拋物線中點弦問題中的應用

圖5 拋物線中點弦問題

即得y0·kAB=p．

2 圓錐曲線的第三定義

由上知,λ=e2-1,其中e為對應軌跡的離心率．

將圓錐曲線第三定義進行推廣,得到如下結論:

圖6 結論4圖

當橢圓的焦點在y軸上時,有

證法1 設P(x0,y0),A(x1,y1),則B(-x1,-y1),從而直線PA,PB的斜率之積為

證法2取AP的中點M,連接OM,由點差法,得

當橢圓的焦點在y軸上時,同理可證

圖7 結論5圖

當雙曲線的焦點在y軸上時,有

證法1設P(x0,y0),A(x1,y1),則B(-x1,-y1),

3 實例分析

解析由題意知,直線AB與l互相垂直,所以kAB·kl=-1,得kAB=-m．

設線段AB的中點為M(x0,y0),由點差法,得

解析設線段MN與其垂直平分線交于點P,連接OP,如圖8．

圖8 例2解析圖

①

②

又由①得

解得y0=5b.

圖9 例3解析圖

解得x0=4kAB=4.

即得kAB=1,從而y0=4+m.

由垂徑定理,得AB⊥MI.

所以kAB·kMI=-1.

x2-8x-20=0.

解析在橢圓C中,由橢圓第三定義,得

所以kPA=kQA.

又直線PA與QA共點A,所以A,P,Q三點共線．

圖10 例5解析圖

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x．

評注本題由雙曲線第三定義快速得到關于a,b的齊次分式與kMN,kQN的等量關系,再由直線MN的傾斜角及條件中的已知角求得kQN,從而得到關于a,b的齊次方程,即得雙曲線的漸近線方程．利用雙曲線第三定義解題,首先要尋找過雙曲線中心的相交弦,其次在雙曲線上另找一點,向弦兩端點引直線,再將這兩直線的斜率轉化為可求的量．