空間垂角坐標(biāo)系的創(chuàng)立與論證

陸曄鳴

(湖南省新化縣第四中學(xué),湖南 武漢 417607)

從書本中我們得知,空間直角坐標(biāo)系的定義是首先要在空間中設(shè)立一個(gè)原點(diǎn),然后過原點(diǎn)畫出三條兩兩互相垂直的直線,每條直線選定一個(gè)方向作為正方向,三條直線就變成了可以標(biāo)注數(shù)值的坐標(biāo)軸,由此空間中任意一點(diǎn),都可以通過投影的方式,變成具體的數(shù)值來固定方位和距離,一個(gè)原點(diǎn)與三條坐標(biāo)軸便組成了我們熟知的空間直角坐標(biāo)系[1](如圖1).

圖1 空間直角坐標(biāo)系

而本文首次提出空間垂角坐標(biāo)系,是為打破傳統(tǒng)空間直角坐標(biāo)系建立之方法,卻依然能夠?qū)崿F(xiàn)空間直角坐標(biāo)系的所有功用,并將空間直角坐標(biāo)系作為一種特殊形態(tài)納入其中.本文通過遞進(jìn)式提出觀點(diǎn),并加以論證,最終完成空間垂角坐標(biāo)系的創(chuàng)立.

1 空間垂角坐標(biāo)系的提出

1.1 提出的第一個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,x軸和y軸保持不動(dòng)的情況下,z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸O點(diǎn)(Oz)始終在x軸或y軸上[z⊥平面xOy∩(Oz∈y∪Oz∈x)],z軸就可以在該空間隨意移動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算沒有任何影響.

論證過程:此觀點(diǎn)可以通過投影予以證明,所有移動(dòng)后的z軸,都能原封不動(dòng)地投影到原來的z軸上.因此,我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第一個(gè)變種Oxyz′(如圖2),此時(shí)的Z軸點(diǎn)O(Oz)為原點(diǎn)O的分身.

圖2 空間直角坐標(biāo)系變種Oxyz′

1.2 提出的第二個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,y軸保持不動(dòng)的情況下,x軸和z軸只需要保持x軸與平面yOz垂直且x軸點(diǎn)O始終在y軸上、z軸與平面xOy垂直且z軸O點(diǎn)始終在y軸上[(x⊥平面yOz∩Ox∈y)∩(z⊥平面xOy∩Oz∈y)],x軸和z軸就可以在該空間隨意移動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算依然沒有任何影響.

論證過程:此觀點(diǎn)同樣可以通過投影予以證明,所有移動(dòng)后的x軸和z軸,都能原封不動(dòng)地投影到原來的x軸和z軸上.此時(shí)的空間直角坐標(biāo)系Ox′yz′在樣式上與第一個(gè)變種區(qū)別不大(如圖3),x軸O點(diǎn)(Ox)、z軸點(diǎn)O(Oz)均為原點(diǎn)(O)的分身.

圖3 空間直角坐標(biāo)系變種Ox′yz′

1.3 提出的第三個(gè)觀點(diǎn)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,z軸只需要保持與平面xOy垂直且z軸點(diǎn)O(Oz)始終在平面xOy上(z⊥平面xOy∩Oz∈平面xOy),z軸就可以在該空間隨意移動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算沒有任何影響.

論證過程:此觀點(diǎn)還是可以通過投影予以證明,所有移動(dòng)后的z軸,都能原封不動(dòng)地投影到原來的z軸上.因此,我們得到了空間直角坐標(biāo)系的第二個(gè)變種Oxyz″(如圖4).

圖4 空間直角坐標(biāo)系變種Oxyz″

1.4 提出空間垂角坐標(biāo)系猜想

有了前兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系的變種作為參考,我們大膽提出第三個(gè)變種的猜想,即空間垂角坐標(biāo)系猜想.所謂的空間垂角坐標(biāo)系,就是指在空間中取三條兩兩互相垂直的直線作為坐標(biāo)軸,每條坐標(biāo)軸各自任意選定一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn),各自選定一個(gè)方向作為正方向,由此組成的坐標(biāo)系即為空間垂角坐標(biāo)系(如圖5).

圖5 空間垂角坐標(biāo)系猜想圖

2 空間垂角坐標(biāo)系的論證過程

根據(jù)空間垂角坐標(biāo)系猜想,現(xiàn)需要對(duì)空間垂角坐標(biāo)系是否可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)完整的空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行論證,論證過程如下:

設(shè)空間中兩兩互相垂直的坐標(biāo)軸分別為x,y,z,每條坐標(biāo)軸的原點(diǎn)分別為Ox,Oy,Oz,建立空間垂角坐標(biāo)系(如圖6).

圖6 空間垂角坐標(biāo)系

從設(shè)定條件中已知:x⊥y,y⊥z,z⊥x.

過點(diǎn)Ox作一個(gè)與x軸垂直的平面,設(shè)為平面a;

過點(diǎn)Oy作一個(gè)與y軸垂直的平面,設(shè)為平面b;

過點(diǎn)Oz作一個(gè)與z軸垂直的平面,設(shè)為平面c,

所以x⊥平面a,y⊥平面b,z⊥平面c.

此時(shí),平面a中的任意一點(diǎn)在x軸上的坐標(biāo)值均為0;平面b中的任意一點(diǎn),在y軸上的坐標(biāo)值均為0;平面c中的任意一點(diǎn)在z軸上的坐標(biāo)值均為0.

因?yàn)閤⊥平面a,x⊥y,x⊥z,

所以y∥平面a或y?平面a;

z∥平面a或z?平面a.

又因?yàn)閥∥平面a或y?平面a,y⊥平面b,

所以平面a⊥平面b.

又因?yàn)閦∥平面a或z?平面a,z⊥平面c,

所以平面a⊥平面c.

因?yàn)閥⊥平面b,y⊥z,

所以z∥平面b或z?平面b.

又因?yàn)閦∥平面b或z?平面b,z⊥平面c,

所以平面b⊥平面c.

綜上,平面a⊥平面b,平面a⊥平面c,平面b⊥平面c,故平面a、平面b、平面c兩兩互相垂直.

兩兩互相垂直的三個(gè)平面,有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),該公共點(diǎn)既屬于平面a,也屬于平面b和平面c,所以該公共點(diǎn)的坐標(biāo)值為(0,0,0),即我們通常所理解的坐標(biāo)系原點(diǎn).由此得出,任意一個(gè)空間垂角坐標(biāo)系,它都能夠以過坐標(biāo)軸原點(diǎn)作垂直平面的方式找到坐標(biāo)值為(0,0,0)的坐標(biāo)系原點(diǎn).三條坐標(biāo)軸均可按各自坐標(biāo)軸原點(diǎn)到公共點(diǎn)(坐標(biāo)系原點(diǎn))的方向和距離進(jìn)行平移,進(jìn)而得到一個(gè)完整的空間直角坐標(biāo)系.此時(shí),反觀三個(gè)坐標(biāo)軸原點(diǎn),均為坐標(biāo)系原點(diǎn)的分身.

空間直角坐標(biāo)系及其兩個(gè)變種Oxyz′,Oxyz″的建立,都符合空間垂角坐標(biāo)系的定義,而空間直角坐標(biāo)系的定義,無法涵蓋空間垂角坐標(biāo)系.由此看來,與其說空間垂角坐標(biāo)系是空間直角坐標(biāo)系的第三個(gè)變種,不如說空間直角坐標(biāo)系及其變種,都是空間垂角坐標(biāo)系的特殊形態(tài),即坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合時(shí)的特殊形態(tài).二者之間最大的區(qū)別在于,空間垂角坐標(biāo)系考慮的首要因素是三條坐標(biāo)軸的空間垂直關(guān)系,摒棄了必須先設(shè)立坐標(biāo)系原點(diǎn)的傳統(tǒng)觀念.熟練掌握空間垂角坐標(biāo)系,對(duì)學(xué)生理解空間中的線線、線面、面面關(guān)系,解決復(fù)雜立體幾何難題(如圖7),啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維,具有重要意義.

圖7 空間中的線線、面面、面面關(guān)系圖

3 空間垂角坐標(biāo)系的應(yīng)用前景

從結(jié)果來看,似乎與空間直角坐標(biāo)系區(qū)別不大,仿佛人們也更習(xí)慣于用空間直角坐標(biāo)系來解題,但從第一個(gè)變種Oxyz′到第二個(gè)變種Oxyz″以及“空間垂角坐標(biāo)系”的形成,打破了“直角”的束縛,引入了“垂角”的概念,既是對(duì)建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新,也是思維上的一次巨大跨越.一般人很難想到在空間中憑空建立一個(gè)三條坐標(biāo)軸互不相交的垂角坐標(biāo)系.而事實(shí)也證明,確實(shí)如此,從作者于2008年首次在試題中建立本文中的第一個(gè)變種至今,未曾有過“空間垂角坐標(biāo)系”這一提法.

這種思維上的巨大跨越,好比螺紋應(yīng)用于螺絲釘,在當(dāng)代人看來很簡單的一顆螺絲釘,卻在人類漫長的歷史上遲遲沒有出現(xiàn),直至五百年前才開始出現(xiàn)在人們的視野,而螺紋卻在海螺身上存在過上億年.由此可見,這需要具備發(fā)散性思維,可遇而不可求,極其難得.螺絲釘對(duì)現(xiàn)代工業(yè)而言,所起的作用不言而喻,空間垂角坐標(biāo)系在數(shù)據(jù)加密、深空探測(cè)等領(lǐng)域也必定會(huì)有它的發(fā)揮空間.至少對(duì)教學(xué)而言,可以根據(jù)這個(gè)原理,開發(fā)出一種新的題型,即區(qū)分兩個(gè)不同的空間垂角坐標(biāo)系收集的數(shù)據(jù)是否代表同一幾何體.

綜上所述,空間垂角坐標(biāo)系的出現(xiàn),打破了“直角”的束縛,引入了“垂角”的概念,將空間直角坐標(biāo)系歸為空間垂角坐標(biāo)系在坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合時(shí)的一種特殊形態(tài),既是對(duì)建立空間坐標(biāo)系認(rèn)知上的一次更新,也是思維上的一次巨大跨越.對(duì)教學(xué)實(shí)踐而言,能夠啟迪學(xué)生的發(fā)散性思維,對(duì)生產(chǎn)生活實(shí)際應(yīng)用而言,也有其發(fā)揮空間.