斜三角形的一個性質及應用
——從一道2022年聯考壓軸題談起

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學,山東 泰安 271400)

題目(2022年雅禮十六校第一次聯考第16題)在銳角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是____.

本題考查解三角形、三角恒等變換以及多元函數最值等問題,突出考查邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.試題設計清新簡潔,構思別具匠心,解法靈動多變,飽含數學思想,呈現出較強的綜合性與選拔性,具有較高的挖掘價值[1].

1 試題解答

思路1 運用消元思想轉化為一元函數最值問題.

對于多元函數的最值問題,消元是最常見的思維方向和解題原則.

解法1 (借助三角形內角和定理消元)由sinA=2sinBsinC,即sin(B+C)=2sinBsinC.

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

等式兩邊同時除以cosBcosC,得

tanB+tanC=2tanBtanC.

令t=tanBtanC-1,又△ABC是銳角三角形,tanAtanBtanC>0,從而tanBtanC-1>0.

即t>0.

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

解法2 (構造等差數列消元)由sinA=2sinBsinC,即得sin(B+C)=2sinBsinC.

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

等式兩邊同時除以cosBcosC,得

tanB+tanC=2tanBtanC.

等式兩邊再同時除以tanBtanC,有

設此等差數列的公差為d,即

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

思路2 運用斜三角形正切恒等式求最值.

本題探求三角形內角正切值之積的最值問題,聯想到斜三角形的一個性質:tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(以下簡稱“正切恒等式”),利用此等式可實現內角正切值“積”與“和”的互相轉化.

解法3 (化積為和構造不等式)由sinA=2sinBsinC,即得sin(B+C)=2sinBsinC.

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

兩邊同時除以cosBcosC,得

tanB+tanC=2tanBtanC.

又△ABC是銳角三角形,tanB>0,tanC>0,由正切恒等式及基本不等式得

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點評解法3巧妙運用性質tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,“化積為和”,結合已知條件“tanB+tanC=2tanBtanC”與基本不等式構造了關于乘積式tanAtanBtanC的不等式,使問題獲解.在運用基本不等式求解最值時,要注意“一正、二定、三相等”條件的檢驗.

解法4 (化和為積構造不等式)由sinA=2sinBsinC,得sin(B+C)=2sinBsinC.

即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

兩邊同時除以cosBcosC,得

由基本不等式,得

2tanAtanBtanC=tanA(tanB+tanC)

由正切恒等式,得

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點評本題探求三個內角正切乘積的最值,為此應用正切恒等式實現了“化和為積”,構造了關于乘積式tanAtanBtanC的不等式,解題效益大幅提高.

比較上述幾種解法,解法1借助三角形內角和定理實現首次消元,再令t=tanBtanC-1進行二次消元,再結合基本不等式求得一元函數的最值,思維跨度較大,運算過程較為繁瑣;解法2經歷多次變形,敏銳發現了等差數列模型,進而設出等差數列的公差d,并最終將問題轉化為關于d的一元函數最值,方法不可謂不妙,但需要考生豐富的想象能力和較強的運算求解能力;而思路2中的兩種解法充分應用性質tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC,“化積為和”或“化和為積”,回避了思路1多次消元及換元的繁瑣,思維簡練,進退自如,簡捷明快[2].

2 深化研究

思路2的正切恒等式源于普通高中標準實驗教科書《數學·必修4·B版》(人民教育出版社2007年第2版)第154頁第7題:

在斜△ABC中,求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

即tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanB·tan(π-C).

即有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

正切恒等式揭示了斜三角形的一個獨特、奇妙的結論:三內角正切值的乘積等于正切值的和.適時應用正切恒等式,對于解決三角求值、三角極值等問題發揮著重要作用.具體應用概括如下.

2.1 挖掘內涵,橫向聯系

正切恒等式溝通了斜三角形三個內角正切值的和與積的關系,利用它可實現二者的相互轉化,便于解決一些問題.

例1 (2021年北京大學優秀中學生寒假學堂測試卷第17題)在銳角△ABC中,求tanAtanB+2tanBtanC+3tanAtanC的最小值.

解析由題意知,tanA,tanB,tanC>0,又tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可得

由柯西不等式,得

解析由(b-sinC)cosA=sinAcosC,得

bcosA=sinAcosC+cosAsinC.

即bcosA=sin(A+C)=sinB.

由正切恒等式,得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

即2tanBtanC=2+tanB+tanC.

在銳角△ABC中,tanB>0,tanC>0,由基本不等式,得

2tanBtanC=2+tanB+tanC

2.2 特殊賦值,演繹精彩

通過對正切恒等式中的角賦值,可得系列特殊三角形,衍生出諸多有趣結論.

①

解析①式中令A=20°,B=40°,可得

例4 (2006年第17屆“希望杯”全國數學邀請賽高一年級第1試第17題)

解析①式中令A=24°,B=36°,可得

解析①式中令A=10°,B=50°,可得

tanA+tanB-1=tanAtanB·(-1).

即tanA+tanB+tanAtanB=1.

即(1+tanA)(1+tanB)=2.

②

例6 (2008年南京大學自主招生第2題)(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)=____.

解析②式中令A=1°,B=44°,可得

(1+tan1°)(1+tan44°)=2.

令A=2°,B=43°,可得

(1+tan2°)(1+tan43°)=2,

…

令A=22°,B=23°,可得

(1+tan22°)(1+tan23°)=2,

于是(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)=223.

2.3 歸納推廣,發現事實

通過對正切恒等式推廣,可得如下結論:

等式兩邊同時取正切,得

tan(α+β)=tan(kπ-γ).

進而tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.

證明在△ABC中,A+B+C=π,可得

易知結論1的逆命題亦成立,即得結論2[3].

例8 (2015年全國高中數學聯賽新疆賽區預賽高一第4題)已知α,β均為銳角,且(1+tanα)(1+tanβ)=2,則α+β=____.

解析由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得

1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2.

即tanα+tanβ-1=-tanαtanβ.

又α,β均為銳角,0<α+β<π,

例9 (河南省中原名校2017-2018學年第一次質量考評高三理科第17(1)題)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(1-tanA)(1-tanB)=2,求角C.

解析由(1-tanA)(1-tanB)=2,得

tanA+tanB+1=tanAtanB.

通過以上分析可以看出,應用正切恒等式無疑會有效突破思維瓶頸,降低思維難度、大幅減少運算量,加快解題進程,促使問題順利解決.