發散思維 一題多解

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學,新疆 烏魯木齊 830002)

最近在某資料上看到一道2021年的模考題,題設簡單、背景常見、問題常規,但是仔細推敲此題出口甚廣,可以依托二次函數、三角函數、均值不等式、向量、正余弦定理、平面幾何、解析幾何等知識解答,對于鞏固基礎知識、開拓解題思路、提高解題的實戰水平均有一定的意義.

1 題目呈現

2 解法探究

解法1 設AB=2x,則AD=x.

在△ABD中,由余弦定理知

評析設邊長變量,巧用余弦定理,把面積最值問題轉化為函數最值問題,即可求出面積的最大值[1].

解法2 設BC=a,AB=2b,則AD=DC=b.

由海倫公式,得

①

在△ABC和△ABD中,分別由余弦定理可得

整理,得a2+2b2=6.

②

由①②,得

評析等式②是在研究同一個角,從而產生等式,學生一般不太在意,我們平時教學應當多強調.多角度看待問題、思考問題,尋找隱形等量關系是一種技巧[2].

=2x2sinA

整理,得5S=6sinA+4ScosA

所以25S2≤36+16S2,解得S≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評析輔助角公式的應用使得關于面積的不等式應運而生,顯得十分自然,運算也簡潔,最值成立的條件也一目了然[3].

解法4設AB=2x,則AD=DC=x,BC=2y.

在△ABD和△CBD中,由余弦定理可得

又∠ADB+∠BDC=π,

所以cos∠ADB+cos∠BDC=0.

化簡,得2x2+4y2=6.

③

評析等式③容易出現視而不見的狀況,而高考命題專家恰好經常在這個技巧上做文章,我們平時教學應當強調到位.這個關系式還可以通過四點共圓產生,有異曲同工之妙.

=4cosα·sinα

=2sin2α≤2.

所以△ABC面積的最大值為2.

評析引進變量α建立三角函數,目標函數簡單,最值易求.對學生的函數應用意識要求較高,等價轉化的能力要求較高.

④

由基本不等式,得

即ab≤1,

所以S=2ab≤2.

經過以上計算,可求得小數時延Δt1和幅度參數α1的初始值。先求出每個信號參數的初始值,然后采用迭代的方法依次對各參數進行更新以求得準確值。

所以△ABC面積的最大值為2.

解法7設G為△ABC的重心,

又AB=AC,

所以S=3S△BCG

=2sin∠BGC≤2,

所以△ABC面積的最大值為2.

解法8設BC中點為E,則AE⊥BC,G為△ABC重心.

設BE=x,GE=y,

在Rt△BEG中,BE2+GE2=BG2,

解法9設BC中點為E,G為△ABC重心,則AE⊥BC.

平方,得

所以△ABC面積的最大值為2.

評析重心的引入非常巧妙,學生需要長時間的修煉方可達成這種意識,形成這種能力.等價轉化思想顯得尤為重要.解法7、8、9屬于非常規的巧妙解法[3].

設A(x,y),由AB=2AD,得

所以△ABC面積的最大值為2[4].

設A(-a,-b),C(a,b),(a>0,b>0),

因為AB=AC,

整理,得

所以△ABC面積的最大值為2[5].

評析解法10、11引入了解析幾何,解法新穎.不僅可以訓練學生三角問題,也能鞏固解析幾何的核心知識,思維顯得十分發散,對學生的創新能力培養不可小覷.

3 解后反思

對于習題的處理,通常有兩個誤區:一是做對就好,二是多多益善(刷題).殊不知,很多問題的背后還有豐富的內涵,有知識的,有方法的,有能力的.數學各個模塊之間存在千絲萬縷的聯系,這種聯系只有在主動應用中才能織密織牢,只有掌握了理解了這些內在的聯系才能應對千變萬化的試題,才能培養學生分析問題、解決問題的能力,才能有創新的意識,才能在將來的工作中得心應手,高分高能.因此,解題研究,是我們教學的一個重要工作.