“猜想—驗證”的價值意蘊及其教學策略

胡新猛

［摘 要］“猜想—驗證”是一種重要的探究方式，在小學數學課堂中得到廣泛應用。分析當前“猜想課堂”教學中存在的問題，基于波利亞解題理論、弗萊登塔爾“再創造”理論和建構主義學習理論，提出改進策略。

［關鍵詞］數學猜想；課堂教學；數學驗證；思維能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）14-0073-04

美國數學家波利亞認為，數學既要教證明，又要教猜想。“猜想—驗證”是當前小學數學課堂教學中常見的探究方式，其本質內涵是學生通過“提出猜想，然后進行求證，最后得出結論”這一途徑進行學習。不同于傳統的教學模式，“猜想—驗證”的探究方式旨在幫助學生在解答數學問題時，經過猜想、探索、思考和驗證的過程，找到問題的本質，進而更好地理解數學知識點。在當前的小學數學學習中，猜想是重要的學習方式，教師要引導學生大膽猜想、積極求證。

一、“猜想—驗證”的本質內涵及價值意蘊

1.猜想的內涵釋義

所謂猜想，就是從未知事物出發做出某種推測或判斷。人們通常認為數學猜想是對未知問題做出的一種假想假設，一般是一個命題或者是對某個概念進行演繹推理。

數學猜想其實是人們在探究數學規律時產生的一種發散思維，它是一種數學想象，是數學發展的動力。學生在解題過程中，通常會根據解題需要提出某種猜想。據此，已有的知識經驗和新問題在猜想過程中碰撞出火花，對數感的提高、推理能力的發展、數學思維的鍛煉等方面都有一定的積極作用。

2.驗證的內涵釋義

驗證是在學習新知識時，學生借助相關材料和知識經驗形成有一定根據的猜測后，通過有效的活動完善自己的猜測，發現并掌握新知識的過程。

在小學數學中，驗證主要有兩個方面的含義。一方面，是指對事物進行證實的過程，它與證明類似。數學上“證”是指找出矛盾，或者找出某種關系然后確定它正確與否，“證”也包括對理論、法則、規律、原理等的檢驗過程。另一方面，驗證是證明的一個組成部分。

在數學證明中，首先要找到一個合理的根據來證明命題正確與否，然后再得出結論，驗證就是驗證有無矛盾。因此，在小學數學教學中，教師不僅要重視猜想，還應該重視驗證，讓學生在數學學習過程中充分經歷探究、推理的過程，從而發展數學思維，形成數學思想。

3.“猜想—驗證”的價值意蘊

數學猜想蘊含著對未知事物做出可能為真或可能為假的判斷，是一種以實踐中的已有經驗為基礎形成的、與實際問題密切聯系的想象思維過程。通過開展“猜想—驗證”活動，能夠有效地激發學生學習熱情，培養他們的自主學習技巧，促進他們的知識建構和思維能力的發展。

（1）激發學生好奇心，讓學生勇于質疑問難

“猜想—驗證”活動可以幫助學生從日常生活中發掘難題，喚起他們的好奇心，讓他們在提出猜想的過程中，體驗探究的快樂，增強自主學習的積極性和自信。通過這種方式，學生可以更好地理解和解決問題。通過“猜想—驗證”活動，學生可以更加積極地探索、發現、思考和探究，從而培養出強烈的探索欲、求知欲，讓他們在數學中得到更多的快樂。

（2）提高學生學習能力，讓學生掌握學習策略

“猜想—驗證”是一種極具價值的學習方式，它能夠為學生提供一種有效的學習策略，從而讓他們更好地理解和掌握知識，并且能夠有效地提高他們的學習能力。

（3）構建學生認知結構，讓學生完善知識體系

學習者可以利用已有的認知經驗，深入探索知識點之間的聯系，并將所學的數學知識運用到實際中，從而發現并解決問題，有效地提升學習者對知識點的理解，有助于建立和完善自身的知識體系。

（4）促進學生思維發展，讓學生拓寬思維空間

“猜想—驗證”是一種有效的思維方式，它有助于學生從日常生活中發現問題，并進行想象、創造和思維的再加工，進行合理推測再驗證，從而提高學生的思維。因此，“猜想—驗證”可以被視為一種想象與創造的過程。驗證是一個嚴密的思考過程，它有助于培養學生的邏輯思維能力，從而讓學生更好地理解和應用知識。在數學學習過程中，學生經歷豐富、有效的猜想、驗證等探究活動，能夠發展思維能力，進而不斷地拓展思維空間。

二、數學“猜想—驗證”的理論基礎

1.波利亞解題理論

波利亞認為學生學習思考的方法才是更重要的。他強調學生的發現學習和主動學習，同時強調要大膽猜想，激發學習動機，要經歷啟發、探究、證明、定義的闡明以及消化吸收知識的過程。波利亞解題理論提供了教學設計的基本環節和重要方式。首先，透過創造好玩的場景來引起學生的學習興趣；其次，提出有意思的問題，引導學生思考；最后，鼓勵學生積極探究、仔細推敲，最終得出有價值的結論。

2.弗萊登塔爾“再創造”理論

弗萊登塔爾的“再創造”理論強調在數學活動中學生的主體性以及激發學生主動學習的重要性，還有“再創造”意義的重要性。“再創造”的核心是“數學過程再現”，教師不應將新的知識灌輸給學生，而應讓學生在學習活動中，自己通過觀察思考對知識有一個創造過程。相比傳統教學形式，學生在自己的主動發現、創造中所收獲的數學思維、數學能力更豐富，更有助于學生數學思維的可持續發展。

3.建構主義學習理論

建構主義教學理念強調培養學生的創造力、主動性和獨立思考能力。它重視學生已有的知識和經驗，并將其作為教學過程中不可或缺的一部分。在課堂教學中要強調學生的主體地位，教師是引導者，學生是學習者，教師引導學生運用已有的知識和經驗，通過創設恰當的情境和有價值的問題來建構新知識，在這個過程中增強學生的推理能力，發展他們的數學思維。

三、小學數學猜想教學現狀分析

1.猜想缺乏關聯性材料

數學猜想的形成需要一定的基礎，比如已有的事實材料和數學基礎知識。然而，教師往往不會提供這些材料來幫助學生形成數學猜想，因此學生很難自己去推斷。當前課堂上的教學素材大多與學生的生活經驗缺乏聯系。因此，學生的數學猜想缺乏依據。沒有可靠證據支撐的猜想只會是毫無根據的空洞想法，毫無意義。

2.猜想缺乏驅動的核心問題

數學課堂要想引起學生認知沖突，數學教材應該設置各種有挑戰性的活動。在當前的數學課堂中，教師應當以培養學生的認知基礎為根本，引導學生探索知識，激起他們探索的興趣。然而，由于當前教材編排的情境內容不夠豐富，學生的思維受到了限制，因此教師在引導和啟發學生思考時，往往只能停留在對教材的基本要求上。這樣，自然就限制了學生猜測和驗證的思維空間，不利于數學思維的發展。

3.猜想不能抓住問題本質

皮亞杰認知發展階段論指出，小學階段的兒童尚未能夠完全理解事物之間的相互聯系，他們的思維受到自身已有經驗的限制，仍然以直觀形象為主，而且這些形象事物是他們思考的基礎。例如，在學習抽象的規律探索類知識時，教學模式大多以教師直接講授為主，教師在課堂上干預得多，探索過程相對瑣碎。大多數學生學完這類知識后不久就忘記了，努力回憶卻不能準確再現。究其原因，學生是被動地、機械地學習，并不理解規律背后的道理。因此，學生不能抓住問題的本質進行猜想。

4.猜想淡化規律的探究過程

在當前的小學數學猜想課堂中，教師往往會過于注重對基礎知識的講授，忽視學生對結論和規律的理解。這樣的課堂變成了授受式的，學生只是被動地接受知識，這種情況導致學生在學習過程中缺乏探究精神，無法充分利用時間和空間進行觀察、試驗、猜想和證明等數學活動。因此，教師應該更加重視學生的探究能力，并給予他們足夠的時間和空間來完成這些數學活動。學習數學不僅僅是記住一些規律和結論，更重要的是要深入理解數學思想方法，積累豐富的實踐經驗，以便更好地掌握數學知識。因此，課堂教學不能忽略探究規律的過程，更應該科學地凸顯數學內在邏輯。

猜想是學習中最具創造力的一環，它可以啟發學生的智慧，讓他們在解題過程中勇于探索、大膽猜想，并且積極求證，從而使思維朝著更深層次的方向發展。因此，教師應該采取有效措施，改進教學方式，讓學生在解題過程中更加自信、勇敢地探索，從而提高學習效果。

四、“猜想—驗證”的教學策略

1.優選研究素材，開啟發現之窗

在實際教學中，一些教師只是通過舉例來驗證結論，這使得學生無法有效地思考并有根據地解釋這些結論，從而導致他們的思維沒有得到鍛煉。那么，什么樣的素材能更好地激發學生進一步探索特征背后的規律？什么樣的研究素材更能引導學生通過猜想、驗證、質疑等思維方式開展研究？

比如教學“3的倍數的特征”時，筆者在否定了“判斷一個數是不是3的倍數，只看個位上的數”的猜想之后，組織學生研究第二種猜想“是不是要看各個數位上的數字之和”。同時根據學生“多找一些3的倍數來研究”的意見，筆者對教材上的百數表（如圖1）進行改編，推出如圖2所示的百數表。

筆者引導學生從改編的百數表中找出3的倍數，觀察表中3的倍數的排列情況并說出自己的發現。學生發現3的倍數都排成了斜線；每條斜線上相鄰的兩個數都相差9；從上往下看，每條斜線上的數，個位上的數依次減1，十位上的數依次加1；每條斜線上的數，個位上的數與十位上的數相加的和都是3的倍數。學生由此提出猜想：“一個數各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數。”接著筆者組織學生在更大范圍內驗證猜想。

教材在編排“3的倍數的特征”這一內容時，設計了百數表作為研究素材，組織學生在百數表中圈3的倍數，再通過觀察、比較、交流等活動，找出3的倍數的特征。筆者在教學實踐中發現，雖然3的倍數在教材的百數表上也排成了斜線，但由于整十數都在最右邊一列，導致有的斜線上各位上的數相加之和不全相等。為了便于學生歸納3的倍數的特征，筆者讓整十數在表格最左側，這樣規律更明顯，學生更容易從某一類現象中找出一些相同的特征，從而得出與特征相適應的結論。因此，選擇適合的研究素材是必不可少的，而對學生來說，優秀的研究素材更能幫助他們打開發現之窗。

2.問題驅動，起疑思理

優秀研究素材的呈現更容易凸顯數學知識背后的規律，打開學生的探究之窗。探究之窗打開后，還需好問題驅動，好問題更能引發學生猜想，讓學生思考結論背后的道理。問題能夠激發學生的思考和深度學習。比如教學“積的變化規律”時，筆者首先出示20×3，接下來出示表1，固定第一個乘數20不變，改變另外一個乘數，讓學生觀察思考積的變化情況。

學生通過觀察、比較提出猜想：“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，所得的積等于原來的積乘幾。”

筆者再出示表2，轉換視角：“如果第二個乘數不變，改變第一個乘數，猜想是否還成立？”

學生獨立完成，討論交流后提出猜想：“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，所得的積就等于原來的積乘幾。”在此基礎上，筆者出示表3，用驅動性問題組織學生自主探究進行驗證：“我們從20×3這個算式的變與不變中發現了積的變化規律。在其他乘法算式中是不是也存在著同樣的規律？這個規律是否具有普遍性？請用表3探究。”

最終學生得出結論：“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，所得的積等于原來的積乘幾。”

學生從上課開始到這個環節結束，說過三次“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，所得的積等于原來的積乘幾”這樣的結論，但每次認識的程度都不一樣。初說結論，僅僅是初悟規律；第二次說出結論則是在完整感知的基礎上提出猜想；第三次是通過探究得出的結論。但僅憑一個例子所得的結論是不可靠的，因此筆者在前面學習的基礎上引導學生進行思考，筆者用“是不是在其他的乘法算式中也存在著同樣的規律？這個規律有沒有普遍性呢？”這組問題帶動學生大膽猜想并主動進行舉例驗證。雖然學生的推理論證并不嚴密，但舉例有利于增強規律的可信度，有利于培養學生理性的精神。

優秀的問題是深入探究的基礎，沒有這些問題就無法進行更深入的數學研究。學生可以通過學習過的數學知識來探索新的問題，這樣就會激發他們的探究欲望，并且促使他們以積極的態度參與到規律探究的活動中來。

3.追本溯源，直面本質內涵

有效的問題能切入學生的最近發展區，激活已知、溝通聯系、聚焦困惑，引導學生自主探究知識的本質，闡明其背后的道理。真正的數學學習，是學生能知道知識的來龍去脈，知其然并知其所以然，在學習的過程中領悟數學思想方法，積累數學活動經驗。

比如教學“和的奇偶性”時，在自主探索中內化規律這一環節，筆者首先請學生分別觀察黑板上的兩組算式：奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數。學生提出疑問：“為什么‘奇數+偶數=奇數，偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數？為什么和是奇數的情況只有一種，而和是偶數的情況卻有兩種？”筆者舉例進行啟發：“人數為偶數的班級中，學生兩個兩個地坐在一起是什么情況？人數為奇數的班級中，學生兩個兩個地坐在一起又是什么情況？”學生說出對結論的理解：“因為一個數除以2，余數一定比除數2小，所以沒有余數或余數是1，沒有余數就代表正好除完沒有剩余。”接著筆者出示6個活動小組人數的模型圖（如圖3），讓學生判斷每個小組的人數是奇數還是偶數。

在此基礎上筆者追問：“如果把①組和④組兩個小組的學生合起來，還要求大家兩個兩個地坐在一起，會是什么樣子？”然后引導學生用“加余數”的方法判斷，通過這樣的直觀展示，學生很容易明白和的奇偶性中蘊含的數學道理。

教學過程中教師引導學生將已有的生活經驗和數學知識進行結合分析，在活動中層層突破難點，幫助學生慢慢發現其中的規律，通過富有層次性的活動，引導學生一步一步走向深度探究，實現思維進階、深度建構。

數學教學的本質是思維過程。猜想與驗證有助于思維的提升，而有效的教學則是提升學生思維品質的途徑。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 符夢云.在小學數學課堂中培養學生的猜想驗證能力[J].新課程，2020（16）：194.

[2] 李琴.驗證讓學生的心里有桿“秤”：小學數學教學中學生驗證能力培養的誤區與對策[J].新課程，2021（32）：142-143.

[3] 潘小福，陳美華. “猜想”應用于教學的問題與對策[J]. 上海教育科研，2016（7）：82-86.

【本文系江蘇省中小學教學研究第14期重點自籌課題“基于測試分析的區域性小學數學學業質量提升策略的研究”（2021JYJC14-ZB12）階段性成果之一。】

（責編 楊偲培）