基于橢圓拉普拉斯公式壓力套截面壓強(qiáng)分布

沈曉琪 侯欽華 陳郁

摘 要：壓力套對(duì)于多種病癥有輔助治療效果，而壓強(qiáng)的合理分布至關(guān)重要。針對(duì)現(xiàn)有基于正圓截面拉普拉斯公式計(jì)算的壓強(qiáng)分布不能準(zhǔn)確表述近似橢圓的人肢體截面壓強(qiáng)分布問(wèn)題，采用以橢圓截面模型的拉普拉斯公式，確立了壓力套在截面上的壓強(qiáng)分布計(jì)算公式；本文使用3種不同材質(zhì)和厚度的面料，各縫制了4種不同壓縮比的壓力臂套，測(cè)量橢圓截面不同位置的壓強(qiáng)，并與計(jì)算值進(jìn)行比較。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的結(jié)果表明，基于橢圓的拉普拉斯公式能夠很好地描述肢體截面的壓力分布，可為壓力套的設(shè)計(jì)提供壓強(qiáng)分布參考。

關(guān)鍵詞：壓力袖套；拉普拉斯公式；壓力預(yù)測(cè)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TS941.17? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-2346（2023）02-0009-07

壓力套通過(guò)對(duì)體表施加適當(dāng)壓力以達(dá)到預(yù)防或治療部分病癥或進(jìn)行運(yùn)動(dòng)保護(hù)的目的[1]。壓力的確定成為壓力套設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，也成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。

影響服裝壓強(qiáng)的因素可分為人體因素和服裝因素[2]，目前，國(guó)內(nèi)外普遍將人體橫截面視作標(biāo)準(zhǔn)圓，在此基礎(chǔ)上加入各種影響因子以提高壓強(qiáng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。Leung等[3]在研究時(shí)增加了面料的彈性模量與橫截面積因素，Tomas[4]研究壓力繃帶時(shí)增加考慮了繃帶層數(shù)與拉伸后寬度對(duì)壓力的影響；Sikka等[5]將人體假設(shè)為圓錐體來(lái)計(jì)算；Barhoumi H等[6]將拉普拉斯公式進(jìn)行修正，得到關(guān)于面料彈性模量、厚度、圍度、應(yīng)變等參數(shù)的壓力預(yù)測(cè)公式：? ? ? ? ? ? ? ? ?，其中 為織物伸長(zhǎng)量，E為彈性模量，e為織物厚度，C為測(cè)量部位圍度。

事實(shí)上，由于人體各部位曲率并不相等，同一截面不同部位受到的壓強(qiáng)大小也不同。例如在治療瘢痕增生時(shí)常使用折減系數(shù)法[7]來(lái)確定壓力服的尺寸，但由于身體特定部位形態(tài)不同，因此曲率也有所差異，當(dāng)對(duì)該部位仍然使用相同的折減系數(shù)時(shí)，病患部位可能因身體曲率不同而受到非設(shè)計(jì)期望的服裝壓。以手臂為例，手臂的橫截面的形狀更接近于橢圓形而并不是正圓形，橢圓長(zhǎng)軸部位曲率半徑小，服裝壓大，短軸相反。韓紅爽等[8]提出了基于不同曲率的服裝壓力數(shù)學(xué)模型，將不同曲率處的壓力計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)該處等效圓形拉普拉斯公式推導(dǎo)，提升了拉普拉斯公式在非圓柱表面預(yù)測(cè)的精確性，但該公式未將面料的參數(shù)包含在內(nèi)，略顯不足。

本文基于Barhoumi H等[6]的修正拉普拉斯公式，推導(dǎo)在橢圓柱體模型上的壓強(qiáng)模型，從而對(duì)拉普拉斯公式進(jìn)行修正，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證公式的有效性。

1? ? 模型推導(dǎo)和理論計(jì)算

由于壓力臂套的半徑小于人體手臂的半徑，在圍度方向上，人體皮膚受到外力作用將發(fā)生形變，隨著壓力的增加，壓力臂套的形狀會(huì)趨向于人體手臂形狀，這種對(duì)人體表面的壓力是由服裝面料的彈性形變所引起的，穿著壓力臂套后，截面形狀更加接近橢圓形，建立模型（圖1）。

在該模型中，為截面壓力，為服裝單位長(zhǎng)度張力，為橢圓長(zhǎng)軸，即手臂寬的一半，為橢圓短半軸，即手臂厚度的一半，O為橢圓中心，表示人體手臂截面的中心， 角為橢圓參數(shù)方程的參數(shù)，當(dāng) =0時(shí)，對(duì)應(yīng)手臂曲率最大的位置，當(dāng) =0或 = 時(shí)，表示手臂長(zhǎng)軸兩側(cè)的位置，當(dāng) = /2或 =3 /2時(shí)，表示手臂短軸兩側(cè)的位置，M為手臂上任意一點(diǎn)，R表示任意點(diǎn)M上對(duì)應(yīng)曲率圓的半徑，為臂套厚度。

2? ? 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1? ? 臂套制作

取3種不同材質(zhì)的面料，使用4種不同的折減系數(shù)縫制了12件壓力臂套，利用氣囊式壓力傳感器測(cè)量不同位置的壓力值并記錄，比較正圓截面和橢圓截面的拉普拉斯表達(dá)式的差異。臂套選用彈性較好的氨綸面料，實(shí)驗(yàn)面料選取購(gòu)物網(wǎng)站中銷(xiāo)量較高的壓力袖套所用的3種不同的面料，氨綸含量分別為25%、39%、52%。

面料的強(qiáng)度和厚度測(cè)試分別采用YG026D型電子織物強(qiáng)力機(jī)和寧波紡織儀器廠生產(chǎn)的YG141織物厚度儀，測(cè)量袖套對(duì)手臂上不同位置的壓力則采用日本AMI 公司生產(chǎn)的AMI3037-10壓力傳感器。

表1為所得到各實(shí)驗(yàn)面料物性參數(shù)。

2.2? ? 手臂尺寸測(cè)定

在GB/T 10000-1988《中國(guó)成年人人體尺寸》中，由于未對(duì)手臂圍度尺寸進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定，為了確定手臂尺寸數(shù)據(jù)，選取20名年齡22？周歲，身高160？cm，體重50？kg的成年女性作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，實(shí)驗(yàn)者需保持手臂展開(kāi)45海玖⒆聳啤Ｊ褂檬殖質(zhì)餃頌逕枰嵌允笛檎叩氖直勱猩瑁璧玫降牡閽剖蕕既隚eomagic軟件中進(jìn)行處理，以腕關(guān)節(jié)向上1cm的圍度作為手臂圍度尺寸，測(cè)量得出所需圍度數(shù)據(jù)，并求出數(shù)據(jù)的平均值。

根據(jù)市面上常見(jiàn)壓力袖套中使用的折減系數(shù)，分別設(shè)置折減系數(shù)為30%、25%、20%、15%的臂套，經(jīng)計(jì)算確定臂套尺寸。表2為手肘處手臂圍度尺寸及臂套的圍度尺寸，其中0號(hào)代表測(cè)量得到的手臂圍度平均尺寸，其余為折減后的臂套尺寸。

選定壓力測(cè)試點(diǎn)時(shí)，由于手腕處的形狀更具代表性，選取手腕關(guān)節(jié)為測(cè)量對(duì)象，但為了不受腕骨凸的影響，則以腕關(guān)節(jié)凸起處以上3cm為測(cè)量位置，每一圍度測(cè)4個(gè)點(diǎn)，如圖2。

在被掃描人中選取圍度不同的5人為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其中長(zhǎng)軸a與短軸b的測(cè)量位置如圖所示，使用Geomagic軟件測(cè)量出手腕處測(cè)量點(diǎn)長(zhǎng)軸a與短軸b半徑，取Oa1和Oa2的平均值作為a，取Ob1和Ob2的平均值作為b，其中3號(hào)受試者為標(biāo)準(zhǔn)體型。見(jiàn)表3。

2.3? ? 理論計(jì)算

將所測(cè)得的數(shù)據(jù)代入公式（8），求出不同尺寸、面料臂套對(duì)不同身體部位的理論壓強(qiáng)值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分別表示折減后臂套的4個(gè)尺寸， 1、 2表示手臂的不同部位， 1為 =0， = ，即手臂長(zhǎng)軸兩側(cè)壓力的平均值， 2為 = /2， =3 /2，即手臂短軸兩側(cè)壓力的平均值，1、2、3為面料編號(hào)。結(jié)果表4所示。

2.4? ? 壓力測(cè)量

使用AMI氣囊式壓力傳感器對(duì)5人的實(shí)驗(yàn)部位進(jìn)行壓力的測(cè)量。受試者穿戴臂套后臂自然下垂站好，將傳感器固定在標(biāo)記點(diǎn)處，待數(shù)據(jù)穩(wěn)定后開(kāi)始測(cè)量，測(cè)量時(shí)間為每次1分鐘，每人每個(gè)臂套每個(gè)標(biāo)記點(diǎn)測(cè)量3次，取平均值。測(cè)量結(jié)果整合見(jiàn)表5。

3? ? 比較與討論

3.1? ? 相關(guān)性分析

將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值代入Spss軟件中進(jìn)行相關(guān)性分析，得出理論值與實(shí)際值的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差與相關(guān)性參數(shù)等數(shù)據(jù)，見(jiàn)表6。

由表6可知預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值接近，標(biāo)準(zhǔn)差能夠表示一組數(shù)據(jù)的離散程度。這些誤差是可以接受的，故在織物參數(shù)及手臂長(zhǎng)短半軸已知的情況下，可以利用公式（8）計(jì)算出界面壓力的變化，這對(duì)于醫(yī)學(xué)臨床實(shí)驗(yàn)是非常有用的。通過(guò)測(cè)量患者肢體的長(zhǎng)半軸和短半軸尺寸，醫(yī)生可以為患者選擇合適的壓縮服裝，為患者提供更好的護(hù)理，也可以根據(jù)該模型預(yù)測(cè)壓縮服裝在肢體表面的壓力變化。

3.2? ? 數(shù)據(jù)分析

使用Python軟件，將5名受試者的手腕數(shù)據(jù)及3種面料的參數(shù)分別代入公式，取P的平均值并畫(huà)出平均壓強(qiáng)P與 之間的關(guān)系圖，觀察規(guī)律，其中 表示手臂圍度的各個(gè)位置，P為5名受試者各位置對(duì)應(yīng)壓強(qiáng)的平均值，如圖３所示。

由圖可知，將3種面料制成的臂套穿戴在手臂上，在同一截面不同角度上的表面壓力是不同的，當(dāng)臂套的曲率變小，表面壓力逐漸減小，說(shuō)明手臂上的壓強(qiáng)與截面上的不同位置有關(guān)。在 = 0 和=/2 時(shí)，P分別有最大和最小值。當(dāng)面料不同時(shí)，在同一位置的壓力也不同，證明臂套對(duì)手臂的壓力與面料的參數(shù)有關(guān)。

3.3? ? 準(zhǔn)確性分析

為進(jìn)一步證明本文預(yù)測(cè)公式的誤差情況，使用公式（8）分別對(duì)不同的壓縮比例、不同的受試者、不同的面料分別計(jì)算誤差的百分比，如圖（4）所示。

圖中縱坐標(biāo)均為誤差百分比，橫坐標(biāo)分別為不同折減系數(shù)、不同受試者、不同面料的誤差情況。3個(gè)對(duì)比圖中 1區(qū)域準(zhǔn)確性高于 2區(qū)域，其中，圖4（a）的誤差百分比從左到右依次增大，說(shuō)明在不同折減系數(shù)的情況下，折減系數(shù)越大，準(zhǔn)確性越高，反之準(zhǔn)確性降低；圖4（b）的誤差百分比從左到右總體呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，說(shuō)明測(cè)量者的手腕圍度越大，誤差越大；圖4（c）為不同面料參數(shù)的誤差情況，其中包括了面料的彈性模量與面料厚度，由圖可看出，使用面料1，彈性模量較高，厚度較薄時(shí)的誤差相對(duì)較小。

為進(jìn)一步驗(yàn)證預(yù)測(cè)公式的準(zhǔn)確性，將研究結(jié)果與Barhoumi H[6]修正的公式：? ? ? ? ? ? ? ? 進(jìn)行比較，該修正公式經(jīng)過(guò)驗(yàn)證預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性比拉普拉斯公式得到了提升，但所求得的壓力為截面平均值，考慮到手臂的同一截面也存在不同壓力情況，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)公式進(jìn)行修正，通過(guò)計(jì)算誤差的百分比對(duì)兩者預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性進(jìn)行比較。誤差百分比公式如下：

兩者預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性如表7所示，選取最接近標(biāo)準(zhǔn)體的3號(hào)受試者為例，將3種面料的計(jì)算結(jié)果取平均值，其中Pex為實(shí)際壓力，Pl為Barhoumi H[6]修正公式計(jì)算求得壓力，Pm為本文修正公式計(jì)算求得壓力，Er1為Barhoumi H修正公式預(yù)測(cè)壓力與實(shí)際壓力的誤差百分比，Er2為修正公式預(yù)測(cè)壓力與實(shí)際壓力的誤差百分比，誤差值越小，則公式的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性越高。

由表7可看出文本預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性要比Barhoumi H的修正模型準(zhǔn)確性高。原預(yù)測(cè)公式雖然在曲率較大的a區(qū)域能保持較好的準(zhǔn)確性，但在曲率較小的b區(qū)域準(zhǔn)確性明顯下降，處于13.45%～28.16%之間。推導(dǎo)公式不僅在a區(qū)域的準(zhǔn)確性有所提高，在曲率較小的b區(qū)域準(zhǔn)確性也顯著提高，處于0.44%～6.5%之間。這種差異可以解釋為Barhoumi H的修正模型在考慮到張力、手臂半徑以及其他力學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系還是不夠的，修正后的模型考慮到手臂并不是標(biāo)準(zhǔn)圓柱體，從而引入長(zhǎng)半軸和短半軸與界面壓力之間的新關(guān)系，使之更加精確，這在壓力服的定制與精準(zhǔn)施壓方面提供了有力參考。另外當(dāng)預(yù)測(cè)公式中a=b時(shí)，即將橢圓還原成標(biāo)準(zhǔn)圓形，預(yù)測(cè)公式與Barhoumi H的修正模型相同，進(jìn)一步驗(yàn)證了預(yù)測(cè)公式的有效性。

韓紅爽等修正的圍度方向上的數(shù)學(xué)模型[8]在拉普拉斯公式的基礎(chǔ)上考慮到胸寬（橢圓長(zhǎng)軸）和胸厚（橢圓短軸）的因素，使預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性得到提升，但并未考慮面料的彈性模量E，織物的厚度，及面料應(yīng)變，本文在此基礎(chǔ)上將公式進(jìn)一步修正，從而使預(yù)測(cè)模型更為精確。

4? ? 結(jié)束語(yǔ)

本文選取人體手臂部位，建立壓力套在橢圓截面上的壓強(qiáng)分布數(shù)學(xué)模型，修正了拉普拉斯公式。通過(guò)修正公式計(jì)算得到的理論值與實(shí)驗(yàn)得到實(shí)際壓力值比較，驗(yàn)證了修正公式的有效性和準(zhǔn)確性。模型可應(yīng)用在人體其他圍度方向上不同a、b值的任意截面，也可作為進(jìn)一步研究的理論基礎(chǔ)。

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Abstract： Pressure sleeve have adjuvant therapeutic effects for a variety of diseases，and the proper distribution of pressure is crucial.Aiming at the problem that the pressure distribution based on the Laplace formula calculation of the regular circular section cannot accurately express the pressure distribution of the human limb section that is approximately elliptical，the Laplace formula based on the elliptical section model is used to establish the pressure distribution calculation formula of the pressure sleeve on the cross-section. In this study，four pressure arm sleeves with different compression ratios were sewn by using three different materials and thicknesses of the fabrics.The pressures at different positions in the elliptical section are measured and compared with the calculated values.The results of theoretical calculations and experimental verification reveal that the ellipse-based Laplace formula can well describe the pressure distribution of the limb cross-section，which can provide a reference for the pressure distribution of pressure sleeve design.

Key words： pressure sleeves;Laplaces formula;pressure prediction model