L-fuzzy逆子半群

趙立軍 趙晗

文章編號：1003?6180（2023） 03?0005?03

摘? 要：給出[L]-fuzzy子逆半群和[L]-fuzzy弱逆子半群的定義，借助[L]-Fuzzy集的截集給出其等價刻畫.

關鍵詞：[L]-fuzzy子半群；[L]-fuzzy正則子半群；[L]-fuzzy逆子半群；[L]-fuzzy弱逆子半群

[? ?中圖分類號? ? ]O159 [? ? 文獻標志碼? ?]? A

L-fuzzy Inverse Subsemigroups

ZHAO Lijun1，ZHAO Han2

（1.College of Mathematics and Statistics ，Shaoguan College，Shaoguan 512005 ，China；

2.Mathematics Group， Guangdong Nanxiong School， Nanxiong 512400， China）

Abstract：In this paper， the concept of L-fuzzy inverse subsemigroup and L-fuzzy weak inverse subsemigroup are given. The characterizations of L-fuzzy inverse subsemigroup and L-fuzzy weak inverse subsemigroup are presented by means of cut sets of L-fuzzy sets.

Key words： L-fuzzy subsemigroup； L-fuzzy regular subsemigroup； L-fuzzy inverse

subsemigroup；L-fuzzy weak inverse subsemigroup

1 引言及預備知識

本文給出[L]-fuzzy逆子半群及[L]-fuzzy弱逆子半群的定義，給出[L]-fuzzy逆子半群與[L]-fuzzy正則子半群及[L]-fuzzy弱正則子半群之間的關系，并借助[L]-Fuzzy集的截集給出[L]-fuzzy逆子半群的等價刻畫.

本文[L]恒為完全分配格，[M（L）]表示[L]中所有非零并既約元之集，[P（L）]表示[L]中所有非單位素元之集.[X，S]表示非空通常集.[LX]表示[X]上的所有[L]-Fuzzy集的全體 .本文不區別分明集與其特征函數.對空集[??L]，定義[∧?=1]和[∨?=0].根據參考文獻[1]， [L]中的每一個元素[a]都有最大極大族和最大極小族，分別記作[α（a）]和[β（a）].記[α*（a）=α（a）?P（L）]，對于[A∈LX]與[a∈L]，沿用參考文獻[2]的記號.

[A[a]=x∈XA（x）≥a]，? ? ? ? ? [A（a）=x∈Xa∈β（A（x））]，

[A[a]=x∈Xa?α（A（x））]，? ? ?[A（a）=][x∈XA（x）?a].

定理1[2，3] 設[A∈LX]，則：

（1）[A=∨a∈La∧A[a]]=[∨a∈M（L）a∧A[a]]；

（2）[A=∧a∈La∨A[a]]=[∧a∈P（L）a∨A（a）].

定義1[4] 設[S]是半群，[A∈LS].若[A]滿足

[?x，? ? ? ?y∈S，? ? ? ? A（xy）≥A（x）∧A（y）]，

則稱為[A]為[S]的[L]-fuzzy子半群.

定理2[[3]]? 設[S]是半群，[A∈LS].則下列條件等價：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy子半群；

（2）[?a∈L，A[a]]是[S]的子半群；

（3）[?a∈M（L），A[a]]是[S]的子半群；

（4）[?a∈L，A[a]]是[S]的子半群；

（5）[?a∈P（L），A[a]]是[S]的子半群；

（6）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子半群.

定義3[7]? 設[S]是半群，若[?x∈S，]都存在[x∈S]，使得[xxx=x]，則稱[S]是正則半群.記[R（x）={x∈Sxxx=x}].

定義4[7]? 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），]都存在[x∈R（x）]，使得[A（x）≥A（x）]，則稱[A]是[S]的[L]-fuzzy正則子半群.

定義5[7]? 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），R（x）≠?]且[∨x∈R（x）A（x）≥A（x）].則稱[A]是[S]的[L]-fuzzy弱正則子半群.

2 L-fuzzy子逆半群及等價刻畫

定義6[6]? 設[S]是半群，若[?x∈S，]都存在唯一[x-1∈S]，使得[xx-1x=x，x-1xx-1=x-1]，則稱[S]是逆半群.記[I（x）={x-1∈Sxx-1x=x，x-1xx-1=x-1}].

定義7 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），]都存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，則稱[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

定理3 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，則下列條件等價：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群；

（2）[?a∈M（L），A[a]]是[S]的子逆半群；

（3）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子逆半群；

（4）[?a∈α（0），A[a]]是[S]的子逆半群；

（5）[?a∈α*（0），A[a]]是[S]的子逆半群.

證明? [（1）?（2）] [?a∈M（L）]， 若[x∈A[a]]，則[A（x）≥a>0]，故[0∈β（A（x））]，從而[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）≥a]，從而[x-1∈A[a]]，故[A[a]]是[S]的子逆半群.

[（2）?（1）] [?a∈M（L），x∈A（0）].若[A（x）≥a，]則[x∈A[a]].由（2）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A[a]]，從而[A（x-1）≥a，][A（x-1）≥A（x）.]故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

[（1）?（3）?a∈P（L），]若[x∈A（a）]，則[A（x）?a]，所以，[A（x）>0]，從而[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，所以，[A（x-1）?a]，即[x-1∈A（a）].故[A（a）]是[S]的子逆半群.

[（3）?（1）?a∈P（L），x∈A（0）].若[A（x）?a]，則[x∈A（a）].由（3）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A（a）]，所以，[A（x-1）?a]，從而[A（x-1）≥A（x）.]故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

[（1）?（4）?a∈α（0）.]若[x∈A[a]]，則[a?α（A（x））]，從而[A（x）≠0]，故[0∈β（A（x））]，所以，[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，故[α（A（x-1））?α（A（x））]，從而[a?α（A（x-1））]，所以，[x-1∈A[a]]，故[A[a]]是[S]的子逆半群.

[（4）?（5）]顯然.

[（5）?（1）]若[x∈A（0）]，即[0∈β（A（x））]，則[A（x）>0].[?a∈α*（0）]，若[a?α*（A（x））]，由于[a∈P（L）]，從而[a?α（A（x））]，即[x∈A[a]].由（5）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A[a]]，所以，[a?α（A（x-1））]，[A（x-1）≥A（x）].故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

定義8? 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），I（x）≠?]，且[∨x-1∈I（x）A（x-1）≥A（x）].則稱[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群.

定理4 設[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，則下列條件等價：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群；

（2）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子逆半群.

證明? [（1）?（2）] [?a∈P（L）]， 若[x∈A（a）]，則[A（x）?a]，從而[A（x）≠0]，故[0∈β（A（x））]，所以，[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，從而[A（x-1）?a]，即[x-1∈A（a）]，故[A（a）]是[S]的子逆半群.

[（2）?（1）] [?a∈P（L），x∈A（0）].若[A（x）?a，]則[x∈A（a）].由（2）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A（a）]，從而[A（x-1）?a]且[I（x）≠?]，所以，[A（x-1）≥A（x）.]從而[∨x-1∈I（x）A（x-1）≥A（x）].故[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群. 顯然有定理5.

定理5 （1）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy逆子半群，則[A]是[S]的[L]-fuzzy正則子半群，反之不一定成立；

（2）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy逆子半群，則[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群，反之不一定成立；

（3）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群，則[A]是[S]的[L]-fuzzy弱正則子半群，反之不一定成立.

參考文獻

[1]Wang G J. Theory of topological molecular latticces[J].Fuzzy Sets and Systems，1992，47：351-376.

[2]史福貴.[Lβ-]集合套與[Lα-]集合套理論極其應用[J].模糊系統與數學， 1995，9（4）：65-72.

[3]Shi F G.L-Fuzzy Relations and L-Fuzzy Subgroups[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2000，8（2）：491-499.

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[5] 趙立軍. L-Fuzzy子群的L-Fuzzy同態[J].數學雜志，2003，23（4）：503-506.

[6] 史福貴，王國民. L-Fuzzy子群與L-Fuzzy正規子群的表現定理[J]. 煙臺師范學院學報：自然科學版，1995，11（1）：16-19.

[7] 趙立軍. L-Fuzzy正則子半群的刻畫[J].韶關學院學報，2009（9）：1-3.

編輯：琳莉