跨學科融合培養高中數學建模素養的探究

楊光

數學建模是高中數學學科核心素養之一，其培養需要在問題應用情境中開展。除本學科模型之外，其他學科中也有豐富的模型可以引導學生加以發現和解決。通過跨學科融合探究，提升學生數學建模素養，幫助學生掌握研究問題的基本方法路徑。

一、問題提出的背景

人教版高中物理必修第一冊第三章第一節中涉及重心知識。在跨學科聽評課活動中遇到如下題目：

例題：一個水桶裝滿水，桶底部有一個小孔，在水從小孔不斷流出的過程中，桶連同桶中水的共同重心將（）

（A）一直下降（B）一直上升（C）先升后降（D）先降后升

答案是重心先下降后上升。從物理學科角度，該知識點學生可以定性的分析清楚就已經達成了教學目標，但是問題也隨之出現。下降的過程重心是勻速變化嗎？重心最低可以降到什么位置？重心回升的過程是什么樣的規律呢？可以引領學生發現和提出問題，并將這個物理問題抽象為數學模型，進一步進行更加精準的定量分析，最終對物理結論重新加以解釋，體現從數學角度對問題進行觀察、思考、表述的現實意義。

二、水桶重心變化模型的解決過程

（一）模型假設

水桶和桶內變化的水體構成了物質系統。質心是整體認知這個系統質量重心的假想平均位置，本文中用高中生更為熟悉的重心概念代替表述。

（二）模型建立

經過師生研討，使用解析幾何的思路在模型假設基礎上建立模型。如圖1所示，將水桶軸截面放置在平面直角坐標系xoy內，重心在y軸上。桶底重心為固定點O，設G為水桶重心位置，此點位置不變，G1為桶內水體的重心，雖然位置不斷變化，但是始終位于水體正中，用其點的縱坐標進行表示。設定G2為桶與水視為整體時的重心（質心）。m′表示變化過程中的質量，根據比例可以表示為hm。

由質心公式建立數量關系：

代入數據即得到：

整理成yG2關于h的函數，并記為f（h），得到：

，h∈［0，1］

至此得到水桶中水流出過程中重心變化的函數模型。

（三）模型求解

由于學生接觸這個物理問題是在高一年級，因此根據學生知識基礎，可選擇以下方法進行解決。

將函數? ? ? ? ? ? 變形可以得，? ? ? ? ? ，這個函數符合“對勾函數”的形式特征。對于這個函數可以使用基本不等式求取最小值，當且僅當時? ? ? ? ? ，即? ? ? ? ?時取得最小值。

隨著學生掌握數學知識方法的不斷豐富，也可以采用求導的方式對函數性質進行解決。

（四）模型意義的解釋

以上過程利用數學方法解決了從物理問題抽象出的數學模型，均是在? ? ? ?時取得最小值? ? ，即重心下降到最低時距離桶底距離為? ? ?。現在需要將數學結論回歸到物理背景下進行解釋。面對得出的結論，由于一般化結果比較抽象，不夠直觀，學生遇到了困難。此時引導學生思考將一般結論進行特殊化的方法——使用特殊值輔助直觀理解。

以m=5時為例，即當? ? ? ? ? ? ? ?時，重心降低到距離桶底0.29時開始回升直到水全部排空后回到距離桶底? 處。

為了能讓學生更加直觀的看出變化規律，利用軟件《GeoGebra》做出m=5時的圖象，坐標系的橫軸意義是水面距離桶底的高度h，縱軸意義是整體重心距離桶底的距離。通過圖2可以看出函數的單調性變化規律和極值情況。

對于一般規律和特殊值直觀結論，鼓勵學生從不同角度解釋結論，師生通過討論得到以下對物理結論：

1.由函數圖象單調性，特別是每點處切線斜率變化規律得出結論：重心回升速度比下降時快，顯然這是符合客觀事實的。

2.由一般結論到特殊值驗證，發現無論m取何值，函數f（h）的極（最）小值點都落在直線f（h）=h的圖象上，由此得到了一個令人“難忘”的結論：隨著水面下降，水體重心下降導致整個物理系統（桶和水）的重心下降，當水面下降到恰好“追及”整體重心時，重心開始回升。這是一個體現了變化中不變的規律。

三、跨學科融合建模實踐的價值與意義

經歷在實際情境中發現、提出、分析問題，建立模型，確定參數計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題的過程，進而發展“四能”，幫助學生實現“三會”，即會用數學的眼光看、會用數學的思維想、會用數學的語言表達現實世界。

當數學建模基于問題研究的廣泛性、基礎性涉及其他學科時，其價值與意義再一次得到擴展和提升。

（一）體現數學基礎學科的學科價值

“數學是有用的”應當在使用中體現，而且不能拘泥于數學本身知識與方法，更要運用數學原理和思想方法描述和解決現實世界中規律性的東西。

對于高中階段的學生最直觀的感受就是能用數學方法解釋其他學科中的具體問題，例如用球面距離的計算解決地理中兩城市航線最短問題，用概率計算解決生物遺傳規律。但這其實遠遠不夠，還有很多類似本文中提出的問題，其學科的教學目標僅要求學生做了解，做定性分析即可，但是學生的求知欲有時不止于教學目標，學生希望看到更多的現象背后的本質與規律。此時，數學建模教會了學生如何運用數學方法和知識探究本質與規律，這也幫助學生實現了深度學習。

（二）體現數學建模育人的價值意義

對于數學建模的育人價值和作用，《普通高中數學課程標準（2017版）2020年修訂》中有如下概括：

通過高中數學課程的學習，學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗；認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神。

跨學科融合建模可以使學生有更加寬廣的眼界，有普遍聯系認知世界的觀點。在師生跨學科融合建模教學經驗不斷積累中，激發學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發展學生創新精神，培養學生應用意識與實踐能力，最終把學生培養成為適應現代社會要求的可持續發展的建設者。

（三）實現整體單元教學設計的途徑

高中新課程處處體現單元教學設計的思路，這更加體現知識與思想方法的邏輯性線索，有利于學生整體掌握知識，理清知識之間的內在聯系，以及不同知識章節之間的關聯。單元教學設計可以按照主干知識概念為線索開展，也可以按照數學的思想方法主線梳理，甚至可以將某些貫穿教學始終的知識作為主題，統領各章節與其相關知識，形成跨章節單元教學設計。

這些實踐經驗幫助我們進一步擴展思路，嘗試基于問題的單元教學設計，開展課程延伸類的校本教學，生發點始于師生在各學科教與學中發現的問題，目標指向學生綜合素養的提升。

學科設置的目的一定不是阻隔知識之間的聯系，但是現階段師生教與學事實上是各行其是，跨學科融合建模研究應該成為現階段比較具有可行性的一個途徑。

（徐德明）