基于下記錄值的逆指數分布模型的Bayes估計

程 丹,席吉富,羅子怡,蘇彥玉,龍 兵

(荊楚理工學院數理學院,湖北 荊門 448000)

0 引言

逆指數分布是可靠性試驗中一類重要的壽命分布,關于此分布的統計推斷問題受到諸多學者的關注。文獻[1]基于完全樣本,在復合LINEX損失下研究了逆指數分布模型參數的Bayes估計,通過蒙特卡洛模擬對估計的優良性進行評估。文獻[2]在刻度平方誤差損失函數下討論了逆指數分布參數的Bayes估計,通過隨機模擬方法說明了刻度參數對Bayes估計的影響。文獻[3]選取參數的先驗分布為無信息先驗分布,分別在平方損失、LINEX損失及熵損失下研究了逆指數分布參數的Bayes估計,并對三類損失函數下的風險函數進行了比較。文獻[4]在平方損失、LINEX損失下討論了逆指數分布參數的經驗Bayes估計,通過隨機模擬方式,論證了估計量的性質。文獻[5]以逆指數分布模型為例,研究了損失函數及風險函數的Bayes 估計,說明了Bayes估計的合理性。國外也有許多關于逆指數分布統計性質的研究成果,如文獻[6-8]。

設隨機變量X服從參數為θ的逆指數分布,其概率密度函數及累積分布函數分別為:

(1)

(2)

其中,θ(>0)為未知參數。

根據式(1)及式(2),則可靠度函數R(t)及失效率函數h(t)分別為:

(3)

(4)

定義1 假設{Xn,n≥1}是獨立同分布隨機變量序列,令

U(1)=1,U(n+1)=min{j:j>U(n),Xj

記錄值是一種特殊的次序統計量,由觀測值和出現順序決定,其在工程、壽命試驗、體育、經濟等方面都有著十分重要的應用。許多學者對記錄值進行了統計分析并得到了一些重要的結論,文獻[9]基于下記錄值對廣義指數分布進行了統計推斷。文獻[10]基于記錄值討論了Kumaraswamy分布參數的區間估計問題。文獻[11-12]基于記錄值用Bayes方法研究了模型參數的估計。我國也有一些關于記錄值樣本的研究成果,如文獻[13-15]。但目前還未見到在下記錄值下關于逆指數分布統計性質的研究成果,故對這一問題進行討論。

1 頻率估計

設XU(1)=x1,…,XU(n)=xn是來自逆指數分布(1)的n個下記錄統計量,根據文獻[14]可得到似然函數為:

(5)

將式(1)與式(2)代入式(5)可以得到:

(6)

根據式(6),對數似然函數為:

根據文獻[14]可知,統計量XU(n)的概率密度函數為:

因此對于逆指數分布模型來說,可以進一步得到XU(n)的概率密度函數為:

2 Bayes估計

在Bayes統計推斷中,需事先確定先驗分布及損失函數,Gamma分布經常被用作未知參數的先驗分布,因此取θ的先驗分布為Gamma分布,其概率密度函數為:

(7)

超參數a>0,b>0,Γ(·)表示Gamma函數。

在統計決策理論及Bayes分析中,平方誤差損失函數是一種經常被采用的對稱損失函數,其優點是可以較容易地計算出被估計量的Bayes估計。平方誤差損失被定義為:LS(φ(β),δ)=[δ-φ(β)]2,其中δ是φ(β)的一個估計。

在平方誤差損失函數下,φ(β)的Bayes估計為 :

(8)

其中,Eφ(·)表示關于φ(β)的后驗密度函數求后驗期望。

平方誤差損失函數是一類對稱損失函數,過高及過低估計帶來的風險是相同的。在某些情況下,高估與低估會有不同的估計風險,因此對稱損失函數可能是不合理的。考慮一類非對稱損失函數,即熵損失函數,它被定義為:

在熵損失函數下,φ(β)的Bayes估計為:

(9)

根據式(6)及式(7),可得θ的后驗密度函數為:

(10)

根據式(10)可得以下定理:

證明:根據式(8)可得:

證明:根據式(9)可得:

由式(9)可得熵損失函數下h(t)的Bayes估計為:

(i)在平方誤差損失函數下未知參數θ的E-Bayes估計為:

(ii)在熵損失函數下未知參數θ的E-Bayes估計為:

證明:(i)根據E-Bayes估計的定義,利用超參數a,b的概率密度函數,對θ的Bayes估計再求一次數學期望就可以得到θ的E-Bayes估計,因此在平方誤差損失函數下未知參數θ的E-Bayes估計為:

類似地也可以證明(ii)。

3 數值例子

利用頻率方法已經得到了逆指數分布中未知參數的極大似然估計及一致最小方差無偏估計。利用Bayes方法得到了模型參數、可靠度及失效率的Bayes估計。針對具體的樣本進行數值計算,文獻[4]中給出了參數θ=2的逆指數分布樣本:8.709 4,45.335 6,3.081 9,15.665 2,1.139 8,97.746 9,1.533 8,1.452 4,15.073 4,6.562 7,1.004 4,0.450 1,17.831 1,1.239 3,1.655 3,4.838 7,1.590 7,2.643 1,0.730 8,170.450 2。

由此可以得到樣本總數為 5 的下記錄值:8.709 4,3.081 9,1.139 8,1.004 4,0.450 1。

表1 Bayes估計

4 結束語

基于下記錄值,討論了逆指數分布參數、可靠度、失效率的極大似然估計及Bayes估計,研究了未知參數的一致最小方差無偏估計。根據E-Bayes估計的定義,討論了未知參數在平方誤差損失及熵損失函數下的E-Bayes估計。為了解各類估計的效果,利用數值例子計算出各類估計的值,對于同一個被估計量在平方誤差損失函數下的估計值要大于在熵損失函數下的估計值。可以考慮計算可靠度及失效率的E-Bayes估計,由于沒有顯式表達式,可通過隨機模擬的方法計算出近似值。利用本方法基于上記錄值也可研究逆指數分布參數、可靠度及失效率的估計問題。