基于LASSO 算法的波束空間信道估計

張珍鳳,張文芳

(山西能源學院 電氣與控制工程系,山西 太原 030006)

0 引言

在5G 及以上頻段毫米波(mmWave)大規模的移動通信中,多輸入多輸出(MIMO)是其中的關鍵技術之一[1]。 為了降低大量天線的硬件成本和相關射頻鏈所帶來的功耗,透鏡天線陣列作為一種高效節能的混合預編碼在毫米波大規模MIMO 技術中得到廣泛應用[2-3]。 因為透鏡天線陣列可以用不同加權系數的天線實現發射或接收空間不同方向的信號。 透鏡天線陣列線由于具有空間波束賦形能力,它可以將空間信道轉換為波束空間信道,對信號進行空域濾波[4]。 由于在毫米波頻率下,只有少數具有較大路徑增益的主導傳播路徑,因此,毫米波大規模MIMO 系統的波束空間信道中很多值為零,只有部分值不為零,所以波束空間信道是稀疏的[5]。 因此,通過選擇增益較大的主要波束連接到數字基帶的射頻鏈(Radio Frequency,RF),可以使頻鏈數量大大減少。由于信道維度高,而且波束選擇需要波束空間中準確的信道狀態信息(Channel State Information,CSI)[6],特別是當射頻鏈的數量遠遠小于天線的數量時[7],如何獲得波束空間信道是一個非常具有挑戰性的問題。

1 系統模型建立

1.1 空間波束信道

基于毫米波的時分雙工(Time Division Duplex,TDD)系統如圖1 所示。 基站(Base Station,BS)是一個由N 根天線和NRF條射頻鏈路組成的透鏡天線陣列,此透鏡天線陣列為K 個單天線用戶服務。

圖1 透鏡天線陣列多波束空間發射系統

為得到波束信道估計問題,首先,在傳統的毫米波MIMO 信道中,根據廣泛使用的Saleh-Valenzuela信道模型[8],在第k 個用戶和M 根天線的基站之間大小為M×1 信道矢量hk表示為:

其中, Lk是可分辨的信道路徑數,ck,l=是第l 條路徑,其中,分別是第l 條路徑的水平角、俯仰角和復增益。是一個M × 1 維的陣列導向矢量,它和陣列幾何結構有關。 對于均勻線性陣列(Uniform Linear Arrays,ULAs),陣列導向矢量與一個角度有關,表示如下[10]:

其中,m = [0,1,…,(M - 1)]T。 空間域信道使用透鏡天線陣列轉換成波束信道。 透鏡陣列相當于空間離散傅里葉變換矩陣F 大小為M × M。 對于ULAs,矩陣F 表示為:

1.2 波速信道估計問題形成

為了獲得信道狀態信息(CSI),通過Q 個時隙,所有用戶把已知的導頻符號發送給基站(BS)。 由于TDD 信道的互易性,只考慮上行鏈路來獲得信道估計。 然后,根據估計的上行通道直接得到下行通道。本文采用了廣泛使用的正交導頻傳輸策略,其中由于導頻的正交性,每個用戶的上行信道估計是獨立的。 因此可以逐個估計所有K 個用戶和BS 之間的波束空間信道向量。 一般情況下,以第k 個用戶和BS 之間的波束空間信道向量為例來描述信道估計問題。

在導頻傳輸的第q 時刻,基站側基帶經過波束選擇后,NRF×1 維的測試信號yk,q表示為[9]

其中,Ak,q是NRF× M 波束選擇網絡,sk,q是傳送的導頻信號,是有效的噪聲向量,其中是M × 1 噪聲向量,其中為噪聲功率。

在經過Q 時刻的導頻傳輸后,假定sk,q=1,q=1,2,…,Q,可以得到N×1(N=QNRF)維的測試信號yk為

由于導頻的正交性,所以信道估計算法對于K 個用戶是相同的,問題可以進行簡化,表示為:

由于l0-范數的非凸性,上式中的問題為NPhard[10]。 因此,通常用l1范數代替l0范數[11],將該問題轉化為凸優化問題。 目前已有一些傳統的貪心算法, 如有正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[8]算法,它可以從帶噪測量信號中獲得稀疏的空間波束信道信息,還有基于壓OMP 改進的縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)[11]算法等都可以實現稀疏信號恢復。 但是,這些貪心算法不能達到令人滿意的估計精度。 特別是隨著稀疏度的增加,這些貪心算法的計算復雜度也會增加。

2 LARS 算法和改進LASSO 算法

2.1 LARS 算法

最小絕對收縮和選擇算子(LASSO)問題描述的是一類有約束的優化問題[12]。 具體定義如下:

其中,X=[x1,…,xm]∈Rn×m是自變量矩陣,y =[y1,…,yn] ∈Rn×1是因變量,取常數。 用xi∈Rn對yi∈Rn進行線性回歸,并且回歸系數β 的l1范數不超過ε 值。 LASSO 問題是在回歸系數β 的l1范數滿足一定約束條件下的線性回歸問題。 目前,在壓縮采樣(Compressive Sampling,CS)技術中大多采用LASSO 問題的方式描述。

對于線性壓縮采樣信號恢復問題,可以用下面的方程描述:

其中,Φ∈Rn×m,n ?m 為采樣矩陣。 y ∈Rn為經過壓縮采樣后得到的數據。 為了獲得原始被測信號x ∈Rm需要求解下面一個優化問題:

或存在誤差時

在近似求解方程(11)的所有解中,當x 的l1范數最小時,得到的就是最優稀疏解。 由上可知,LASSO問題中回歸系數β 的最優解問題就是稀疏信號恢復優化問題的最優x 求解。 由于波束信道估計問題本質上是一個稀疏信號恢復的問題。 因此,通常在波束信道估計中,把l0- 范數非凸優化問題轉化為l1- 范數凸優化問題后,波速信道估計優化問題的求解就和信號恢復優化問題對應,只要把原始被測信號x 換做h,采樣矩陣Φ 換做感知矩陣A。 那么就可以使用求解LASSO 問題的方法進行波束信道估計。

最小角回歸(Least Angle Regression, LARS)算法能夠高效地求解LASSO 問題。 LARS 算法利用高維向量的“角分線”,先找到與因變量相關度最大的自變量,并用其對因變量逼近。 多次逼近直到殘差足夠小或已取得了所有自變量,算法結束。 下面將介紹LARS 算法解決LASSO 問題(波束信道估計)的具體過程[12]。

在前向逐步回歸算法中,它按順序構建子空間,每次向子空間添加一個變量。 在每一步中,它都確定要在活動集中添加最佳變量,然后更新最小二乘擬合以包含所有活動變量。 LARS 采用相似的策略。 首先,它確定與測量值最相關的活動變量。 LAR 不是完全擬合該活動變量,而是將該活動變量的回歸系數連續地沿其最小二乘值方向移動。 在移動的過程中,其與殘差的相關性減弱。 當有新的自變量在與殘差的相關性“相同”時,這個過程就會停止。 然后,將第二個新自變量加入活動集,將它們構成的回歸系數移動到一起,使它們的相關性保持緊密和殘差的相關性遞減。 這一過程一直持續到所有自變量都在子空間中,并在完全最小二乘擬合時結束。 具體如算法1 所示。

在第k 步開始時,設Jk為活動變量集,hAk為系數變量;將會有k - 1 個非零值,并且剛剛輸入的值將為零。 如果當前的殘差為rk=y - AJkhJk,則這一步的方向為:

則預測參數將變為hJk(α)=hJk+αδk。 如果這一步開始時的擬合向量是,那么它就演變為+ α·uk,其中,uk=AJkδk是新的擬合方向。 “最小角”這個名字來源于對這個過程的幾何解釋;uk與Jk中的每個預測值形成最小(且相等)的角度。

算法 1:最小二乘回歸(LARS)

(1)將自變量因子A 標準化,使之具有零均值和單位范數。 以殘差開始。

(2)找到與r 最相關的自變量aj。

(3)將hj從0 移向其最小二乘系數〈aj,r〉,直到其他自變量ak與當前殘差的相關性與aj相同。

(4)沿著〈aj,ak〉 上當前殘差的聯合最小二乘系數定義的方向移動hj和hk,直到其他自變量al與當前殘差有相同的相關性。

(5)按照這種方式繼續下去,直到輸入了所有k個自變量。 經過min(N - 1,k) 步,得到完整的最小二乘解。

2.2 改進LARS 算法求解LASSO 問題

LAR(LASSO)算法是一種高效的算法,因為它與使用k 個自變量的單個最小二乘擬合具有相同的計算順序。 最小角度回歸總是需要k 步才能得到完整的最小二乘估計。 雖然兩種算法有相似之處,但LASSO 算法需要經過多于k 步才能得到最小二乘估計的解。 為此對算法1 進行修正得到算法2。 算法2是計算任何LASSO 問題解的一種有效方法,特別是當k 遠遠大于N 的時候。 Osborne 等[12]還發現了計算LASSO 問題的分段線性路徑,稱之為同倫算法。

算法2:最小二乘回歸(LARS)——改進LASSO如果非零參數達到零,則將其自變量從活動變量集中刪除,并重新計算當前聯合最小二乘方向。

2.3 近似消息傳遞算法

迭代近似消息傳遞(Approximate Message Passing,AMP)算法收斂速度快,可以恢復計算復雜度低的稀疏信號,特別是對高維稀疏信號。 在本小節中,將介紹AMP 算法如何估計波束空間信道,如算法3 所示。

在算法3 中,步驟1 中的項btvt-1和被稱為Onsager 修正,它們被引入AMP 算法以加速收斂。AMP 算法的關鍵步驟是步驟4,通過軟閾值收縮函數ηst獲得第t 次迭代中估計的。 收縮函數ηst是非線性元素運算,它考慮了矢量的稀疏性,使得的估計值更稀疏。 對于第i 個元素rt,i=| rt,i| ejwt,i(i=1,2,…,N) 的輸入向量rt,有

其中,wt,i為復值元素rt,i的相位,λt為第t 次迭代中預先確定的固定參數,通過估計步驟2 中的噪聲方差來更新。 由(15) 可以發現,軟閾值收縮函數ηst可以將低功率復值輸入的幅值縮小到零。 在步驟5 和步驟6 中,分別計算了收縮函數ηst在輸入向量r 及其共軛向量r?處的逐元素導數,得到bt+1和ct+1。 AMP 算法能很好地處理大規模稀疏信號恢復問題。

算法3:近似消息傳遞(AMP)

輸入:測量矩陣y,感應矩陣A,迭代數目T

初始化:v-1= 0,b0= 0,c0= 0,

for t = 0,1,…,T - 1 do

end for

3 實驗仿真

在仿真實驗中,筆者認為BS 有M=256 個透鏡天線陣列和NRF=16 個射頻鏈。 單天線用戶數設置為K=16。 測量次數設置為N=128。 上行信道估計的信噪比定義為1/σ2m。 然后,根據Saleh-Valenzuela 信道模型生成空間信道樣本。 對于(1) 中的Saleh-Valenzuela 信道模型,路徑數為Lk= 3,βk,l~ CN(0,1),,l =1,2,3。 筆者為每個用戶k設置相同的信道參數驗證LARS 算法和改進LASSO算法。 最后,利用歸一化均方誤差(NMSE) 評價LARS 算法的性能。

為了找出訓練階段的最佳信噪比設置,筆者對不同信噪比下算法的NMSE 性能進行了比較,如圖2 所示。 在 本 小 節 中, 筆 者 考 慮 了 ULA 的 Saleh -Valenzuela 通道模型,并提供了OMP 算法、改進LASSO 算法和LARS 算法的波束空間信道估計性能比較。 圖2 中為在不同信噪比下上述3 種算法的NMSE 性能比較。 如圖2 所示,隨著信噪比增加,波束空間信道估計精度逐漸提高。 同時,從圖1 可以得出與傳統的OMP 算法相比,所提出的改進LASSO 算法和LARS 算法在所有考慮的信噪比區域都具有更低的估計誤差,改進LASSO 算法比LARS 算法具有更好的NMSE 性能。

圖2 基于Saleh-Valenzuela 信道模型的ULAs NMSE 性能比較

在圖3 中,筆者進一步比較了OMP 算法、改進LASSO 算法和AMP 算法在不同信噪比下的NMSE 性能。 如圖3 所示,隨著信噪比增加,波束空間信道估計精度逐漸提高。 與傳統的OMP 算法相比,AMP 算法和所提出的改進LASSO 算法在所有考慮的信噪比區域都具有更低的估計誤差。 而且AMP 算法和所提出的改進LASSO 算法具有相似的NMSE 性能。 仿真結果表明,LARS 算法和所提出的改進LSSSO 算法能夠獲得比傳統OMP 算法有更好的波束空間信道估計精度。

圖3 基于Saleh-Valenzuela 信道模型的ULAs NMSE 性能比較

4 結語

本文提出了基于LARS 算法和改進LASSO 算法來解決毫米波大規模MIMO 系統中的波束空間信道估計問題。 仿真結果表明,與現有的OMP 和其他傳統的波束空間信道估計方案相比,考慮基于LARS算法和改進LASSO 算法的信道估計能夠以較低的導頻開銷獲得更好的估計精度。 在未來的工作中,筆者將遵循所提出的LARS 算法的思想,通過考慮太赫茲信道特性來解決太赫茲通信中的信道估計問題。