指向深度學習的教學實踐與思考

金永濤

深度學習，是在教師引導下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習活動［1］.深度學習強調教師主導下的學生主動參與、積極建構、強調學生的教育性發展.在這一過程中，學生通過掌握學科核心知識，把握學科本質和思想方法，理解學習過程，形成積極的內在學習動機并獲得發展.

數學教學是思維的教學，羅增儒教授指出：數學家創造了數學知識，數學教師創造了對數學知識的理解.只有教師具有深度教研的意識、能力和素養，在日常教學中一貫堅持指向深度學習的教學設計與實踐，才能更好地培養和提升學生的數學思維能力和思維品質，落實數學核心素養.

1 問題提出

在高一指數函數與對數函數的教學中，經過系統研究函數性質后得到了它們的圖像.學生在完成課后練習時，常會遇到了函數y=2x－1/2x+1、y=log22－x/2+x、y=lg（x+x2+1）及相關的問題.借助換元法、整體代換與復合函數的方法對問題給出解答后，學生提出了一個共同的疑問：以往對函數的學習，都是通過研究函數的性質并作出圖像.能否系統研究上述函數的性質呢？基于這些函數的性質能作出它們的圖像嗎？學生提出的新設想，是嘗試應用函數性質的研究方法研究陌生函數的需求和愿望，這是開展深度學習、提升數學學習能力的最佳契機，本文筆者將自己的教學設計實施與大家分享交流.

2 指數相關函數的對稱性探究

題目1 研究函數f（x）=2x－1/2x+1的性質并作圖.

學生的解答過程如下：

研究可知，f（x）是定義域為R的增函數且為奇函數，函數的零點為x=0.在研究單調性時，觀察解析式代數結構，將其整理為f（x）=1－2/2x+1的形式，可識別出f（x）為增函數；通過判斷f（－x）與f（x）的關系得到了奇函數這一結論.結合上述性質，學生基于經驗作出了f（x）的一個錯誤的圖像（圖1）.

2.1 學生的困惑與疑問

雖然得到了f（x）的圖像，但學生并不能理解，為何指數函數不具有對稱性，而f（x）卻具有對稱性；指數函數存在漸近線，f（x）是否存在漸近線.

2.2 指向深度學習的教學設計

為了引導學生深入探究f（x）的函數性質及其內在聯系，提出如下思考問題.

引導思考1 你知道哪些與指數函數有關的奇函數、偶函數？

學生回顧并給出形如y=2x、y=2x+2－x是偶函數，y=2x－2－x、y=2－x－2x是奇函數.引導學生梳理已有知識儲備和學習經驗，為進一步發現、探究指數相關函數的對稱性做好鋪墊和準備.

引導思考2 上面的奇函數和偶函數與f（x）有什么關系呢？怎么探究它們之間的關系呢？

學生分析后發現，由熟悉的奇函數和偶函數可以構建出新的奇函數、偶函數.如y=2x+2－x/2x－2－x、y=2x－2－x/2x+2－x均為奇函數，在形式上與f（x）很類似；學生進一步探究發現，如果將函數y=2x－2－x/2x+2－x的分子、分母同時乘以2x，變形可得y=4x－1/4x+1，這與f（x）的解析式的結構是一樣的. 類比可知，對f（x）進行如下變形，f（x）=2x－1/2x+1=2x/2－2－x/2/2x/2+2－x/2，這樣f（x）就化成了一個奇函數與一個偶函數的商的形式.

引導思考3 f（x）是否存在漸近線？

引導學生回顧指數函數的漸近線，不僅在函數圖像上有所呈現，也可以借助解析式從數量關系上給出描述，啟發學生借助f（x）的解析式研究漸近線的數量關系.

學生思考后指出，由f（x）=1－2/2x+1可知f（x）<1，圖1是錯誤的.因為當x→+∞時，f（x）<1且f（x）→1，即y=1是函數的一條漸近線，再由奇函數可知

y=－1也是函數的漸近線，從而得到函數f（x）的圖像應該是圖2. 教師指出，基于函數性質的作圖過程，是對函數性質的深刻理解與準確應用，是對函數性質的最佳呈現.

2.3 教學反饋與評價

為了鞏固、強化學生的認識和理解，教師提出下列問題.

探究思考 研究函數f（x）=2x/2x+1的性質并作圖.

學生整理得到f（x）=1－1/2x+1，定義域為R；可判斷出f（x）在R上單調遞增；當x→+∞時，f（x）<1且f（x）→1；當x→－∞時，f（x）>0且f（x）→0，即y=1和y=0是函數的兩條漸近線，作出函數圖像（圖3），觀察圖像，學生給出猜想：f（x）的圖像關于點0，f（0）成中心對稱. 學生觀察圖像大膽猜想，是對函數性質的深度思考.教師鼓勵學生進一步探究：怎么檢驗這一猜想呢？

學生嘗試1 判斷f（x）的圖像是否關于點0，f（0）成中心對稱，等價于驗證函數是否滿足f（－x）+f（x）=1恒成立，整理可得上述結論是成立的.

學生嘗試2 運用聯系的觀點，借助奇函數與中心對稱的關系，判斷f（x）的圖像是否關于點0，f（0）成中心對稱，只需驗證y=f（x）－1/2是否為奇函數即可.

3 對數相關函數的奇偶性探究

題目2 判斷函數f（x）=log22－x/2+x的奇偶性.

學生的解答：函數的定義域為（－2，2），且對任意的x∈（－2，2），都有－x∈（－2，2）；f（－x）=log22+x/2－x=－f（x），所以f（x）是奇函數. 或者，可化為f（x）=log2（2－x）－log2（2+x），也能判斷出f（x）是奇函數.

3.1 學生的困惑與嘗試

雖然問題給出完整解答，但學生不能準確理解f（x）為何是奇函數，函數的什么性質是使其成為奇函數的核心因素；既然f（x）是奇函數，能否進一步研究函數的性質，嘗試作出函數的圖像.

嘗試1 函數f（x）中的真數u（x）=2－x/2+x的圖像具有中心對稱，整理可得u（x）=－1+4/2+x，所以u（x）的對稱中心為點（－2，－1），圖像如圖4. 但由定義域為（－2，2），只涉及圖4的實線部分， u（x）的這部分圖像不具有對稱性. 這說明函數u（x）的中心對稱性不是f（x）為奇函數的原因.

嘗試2 系統研究f（x）的其他性質（單調性、零點、漸近線等），嘗試作出f（x）的圖像.

（1）函數的單調性：由u（x）在（－2，2）上遞減；根據單調性的定義，對任意的x1，x2∈（－2，2）且x1u（x2），進而一定有f（x1）>f（x2），所以f（x）在區間（－2，2）上單調遞減.

（2）函數零點：易知x=0是函數唯一的零點.

（3）漸近線：當x>－2且x→－2時，u（x）→+∞則f（x）→+∞；當x<2且x→2時，u（x）>0且u（x）→0則f（x）→+∞. 可知，x=－2和x=2是f（x）的兩條漸近線.

根據f（x）性質可作出函數的圖像（圖5）.

3.2 指向深度學習的教學設計

基于上述嘗試，引導學生從“數”與“形”兩個方面，探究、思考f（x）成為奇函數的影響因素.

引導思考1 觀察函數u（x）、f（x）的圖像（圖6），你能從u（x）的取值分布判斷出f（x）的奇函數性質嗎？

觀察圖像后，學生很難由u（x）判斷出f（x）為奇函數. 教師指出，函數圖像固然直觀，但有時很難呈現函數性質的深層次信息，要借助解析式從數量上給出精準的刻畫.

引導思考2 對于函數關系式f（－x）=－f（x），真數u（x）具有什么性質？

由f（－x）與f（x）互為相反數，可知u（－x）與u（x）互為倒數關系，即u（－x）=1/u（x）. 引導學生歸納出，對于定義域內任意的x和－x，當真數u（－x）與u（x）互為倒數時，f（x）是奇函數.

3.3 教學反饋與評價

為了鞏固、強化學生的認識和理解，教師提出下列問題.

思考問題1 你能給出一個與對數有關的函數且為奇函數的例子嗎？

學生從定義域的角度給出實例，如f（x）=log23－x/3+x，f（x）=log22－x/2+x（－1

思考問題2 研究函數f（x）=lg（x+x2+1）的性質，并試著畫出函數圖像.

有了前面的經驗積累，學生能夠有意識地研究函數性質，得到函數為奇函數這一結論.

（1）定義域為（－∞，+∞）.

（2）奇偶性：f（－x）+f（x）=lg（x2+1－x）（x2+1+x）=lg1=0，所以f（x）是奇函數.

（3）單調性：記u（x）=x+x2+1.當x∈［0，+∞）時，易知u（x）遞增，則f（x）遞增；

當x∈（－∞，0］時，由奇函數的對稱性，可知f（x）遞增，進而u（x）遞增.

（4）取值趨勢與漸近線：當x→+∞時，u（x）→+∞，u（x）→2x且u（x）>2x，則f（x）→+∞；當x→－∞時，u（x）→0且u（x）>0，則f（x）→－∞. 從上述分析可得y=2x與y=0是u（x）的兩條漸近線.

基于上述分析，作出u（x）的圖像（圖7），在繪制f（x）圖像時，很多學生參考u（x）的圖像作出f（x）的圖像（圖8）. 此時，教師進一步引導學生思考：①這樣作圖的根據是什么？②繪制f（x）圖像時，我們可使用的信息有哪些？學生思考后發現，由y=2x是u（x）的一條漸近線，當x→+∞時，f（x）→lg2x，從而判斷出圖8中f（x）的圖像是錯誤的；當x<0時，由f（x）是奇函數，作出f（x）的圖像（圖7）.

4 教學反思

4.1 發現問題和提出問題是開展深度學習的最佳支點

問題是數學的心臟. 發現和提出問題，是自主學習與深度學習的最佳支點. 對題目1和題目2的教學，都是在學習過程中發現并提出了學生普遍存在的一個共性問題，對學生有一定的挑戰性，學生通過解決問題實現了對知識與思維的深刻理解，有助于學生形成科學、規范的研究方式. 好的數學問題，不僅可以激發學生的學習興趣，還能啟迪學生的思維，促進學生對數學的深層次理解. 創設恰當的情境，鼓勵學生發現和提出問題，有利于提升數學思維能力，有利于提升學生的研究能力和創新意識，有利于培育學生的批判思維和理性精神.

4.2 深度教研是深度學習的根本前提

深度學習開展的效率與質量，究其根本取決于教師的深度教研意識、能力和素養. 只有教師不斷踐行指向深度學習的教學設計與實踐，以學生的認知發展規律為基礎，以實現知識理解的系統性和深刻性、探究和把握數學知識本質為根本，以揭示知識蘊含的數學思維、靈活運用數學思想方法創造性地分析和解決問題為核心，才能更好地培養學生的高階思維能力，落實數學核心素養.

4.3 學法指導是深度學習的根本保障

教師不僅要研究教學，還要研究學法，站在學生的視角審視數學學習.在題目1中，學生習慣于“就題論題”，通過設置有梯度、有層次的思考問題，引導學生將思考不斷引向深入，逐步探究問題的本源，有助于培養學生的理性精神與批判思維.引導學生有效開展觀察與分析、數學運算與邏輯推理、交流與反思，提升學生的數學綜合能力.培養學生深度學習的意識，提升高階思維能力；培養學生的探究意識，努力揭示知識的本質和問題的本源；培養學生的多元思維，提升遷移能力、發散思維和創新意識.

參考文獻

［1］ 郭華.深度學習及其意義［J］.課程·教材·教法，2016（11）25-32.

［2］ 程華. 數學課堂思維教學若干問題的思考［J］.數學通報 2018（3）.

［3］ 姜志遠，潘超.理解越深刻 解題越高效［J］.數學教學，2020（10）：33-37.