關(guān)注知識生成　滲透數(shù)學思想

鄒勇泉　袁小強

數(shù)學概念教學在數(shù)學教學中處于核心地位，概念學習過程是一個探究的過程.近期筆者有幸參加了江蘇省第十七屆“藍天杯”課堂教學展評課，展示了一節(jié)“平均變化率”教學課，授課對象是普通高中高二學生，本文結(jié)合蘇教版普通高中教科書《數(shù)學》選修（2-2）第一章“導數(shù)及其應用”第一課時“平均變化率”的教學設計談談關(guān)注知識生成，滲透數(shù)學思想，幫助學生構(gòu)建探究一般數(shù)學概念的方法.

本課時的內(nèi)容是平均變化率，變化率包括平均變化率和瞬時變化率，平均變化率是研究瞬時變化率和導數(shù)的基礎，經(jīng)歷位移的變化、速度的變化、曲線的上升與下降等具體想象，抽象出研究函數(shù)的改變量和變化率等數(shù)學理論.通過實際背景和應用實例引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從而認識和理解導數(shù)的概念和本質(zhì).

一、課堂教學實錄

1.創(chuàng)設情境，問題導入

世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺，而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼.

情境1 播放歌曲《可可托海的牧羊人》，《Mojito》.感受這兩首春晚熱門歌曲旋律節(jié)奏有何不同？

（初步感受節(jié)奏變化不一樣，第一首節(jié)奏變化慢，第二首節(jié)奏變化快）

情境2 某市4月20日最高氣溫為33.4℃，而4月19日和4月18日的最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時間，氣溫陡增14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”

該市3月18日到4月18日的日最高氣溫變化曲線，如圖1：

設計意圖：通過圖片、音樂、文字、表格、圖象展示，讓學生感受到生活中存在大量“變化快慢的量”，激發(fā)學生的學習興趣，體現(xiàn)數(shù)學教學的美育價值.

2.新課探究，學生活動

問題1 你能說出圖1中A、B、C三點的坐標所表示意義嗎？

問題2 你可以分別計算AB、BC段溫差嗎？可以用數(shù)學語言解釋一下“天氣熱得太快了”嗎？（從數(shù)與形兩方面）

小結(jié)：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度.

問題3 如何“量化”（數(shù)學化）曲線AB、BC的陡峭程度呢？（小組合作討論）

生：不好直接研究曲線AB、BC的陡峭程度，只能“大致”研究.

追問：怎么“大致”研究呢？

生：只能研究線段AB、BC的陡峭程度.

追問：如圖2，如何研究線段AB、BC的陡峭程度呢？我們前面研究過如何刻畫線段或者直線的陡峭程度嗎？

生：斜率.連結(jié)AB兩點的直線斜率為kAB=18.6－3.5/32－1=151/310；連結(jié)BC兩點的直線斜率為kBC=33.4－18.6/34－32=7.4.

小結(jié)：33.4－18.6/34－32=7.4就表示時間在“第1天到第32天”這段時間內(nèi)氣溫的平均變化率.

問題4 你能用數(shù)學的語言來表達一下：曲線上升的陡峭程度嗎？（從數(shù)與形兩方面）

設計意圖：通過問題串的設置，在自主探究、小組合作、師生互動中， 抓住學生有價值的知識生成，展開教學. 通過問題2引起學生的認知沖突，通過討論，讓學生得到結(jié)論：氣溫差不能反映氣溫變化的快慢程度. 通過問題3的討論，找出研究“陡峭程度”的數(shù)學方法，會用數(shù)學語言來表達世界，為得出函數(shù)平均變化率概念提供了案例基礎.

3.數(shù)學建構(gòu)，形成概念

我們通過分析氣溫的變化的圖象，研究了氣溫的變化情況，思考：

問題5 已知函數(shù)y=f（x），從x1到x2的平均變化率如何計算？由此，你能總結(jié)出求函數(shù)平均變化率的一般步驟嗎？

一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率為f（x2）－f（x1）/x2－x1.

問題6 函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么？

如圖3，平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線的陡峭程度是平均變化率的“視覺化”. 用平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”，但應注意當x2－x1很小時，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”.

設計意圖：從實例探究抽象出一般性函數(shù)問題，通過問題5抽象概括出函數(shù)平均變化率的一般定義，問題6通過分析函數(shù)和圖象兩個角度理解平均變化率的意義.

4.數(shù)學運用，深化概念

課堂練習1：某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖5所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率，由此你能得到什么結(jié)論？

例1 如圖6，水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的體積V（t）=5e－0.1t（單位：cm3），試計算第一個10s內(nèi)V的平均變化率.

課堂練習2：已知函數(shù)f（x）=x2，分別計算函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，3］，［1，2］，［1，1.1］，［1，1.001］上的平均變化率.

例2 已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=－2x，分別計算函數(shù)f（x）及g（x）在區(qū)間［－3，－1］，［0，5］上的平均變化率.

思考：從上例中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間［m，n］上的平均變化率有什么特點嗎？

設計意圖：練習1和練習2是函數(shù)平均變化率的簡單應用，檢驗學生在不同情境中對平均變化率的理解，例1通過在新情境下，幫助學生理解平均變化率的實際意義，例2和思考，通過由特殊到一般的數(shù)學歸納的思想方法，從而進一步幫助學生理解平均變化率的幾何意義.

5.課堂小結(jié)，總結(jié)提升

本節(jié)課你學到了什么？你可以從基本知識，基本技能，基本數(shù)學思想方法等不同的角度談談.

設計意圖： 關(guān)注學生在課堂中的學習體驗中學到了哪些，讓學生從基本活動經(jīng)驗的學習過程中有所收獲，有所得，可以從基本知識，基本技能，基本數(shù)學思想方法等不同的角度談談自己的收獲.

二、教學思考

1.問題驅(qū)動，促進概念生成

數(shù)學是各類科學中最抽象的科學，張奠宙教授提出：知識的基本形態(tài)分為知識的科學形態(tài)和知識的教育形態(tài)，也就是知識的發(fā)生形式和知識的呈現(xiàn)形式. 問題是數(shù)學的心臟，因此教學中需要把知識發(fā)生形式的過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，使學生學會思考，使概念學習變?yōu)閷W生內(nèi)在需求. 同時問題的設計要充分了解學生的認知水平和心理發(fā)展特點，注意選擇新穎有趣的活動作為刺激模式，激發(fā)學生主動觀察、思考、歸納、總結(jié)，積極開展探究活動. 通過情境1兩首不同的歌曲刺激學生思考它們的不同屬性，情境2通過“溫度變化曲線圖”感受氣溫變化的快慢，教師適時提出一系列的探究問題，讓學生借助這些“腳手架”討論如何研究變量變化的快慢，再結(jié)合前面所學的直線斜率相關(guān)知識形成“平均變化率”的概念.

2.五育并舉，自然融入課堂

良好的審美素養(yǎng)影響人對社會、對他人、對事物積極的人生態(tài)度，同時良好的審美素養(yǎng)對培養(yǎng)人的創(chuàng)造能力也十分重要. 開頭過山車的圖片，情境1的音樂設置，使學生學會用數(shù)學的眼光度欣賞美，讓學生開闊視野，感悟?qū)嶋H中的美，數(shù)學中的美，激發(fā)學生培養(yǎng)藝術(shù)素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學學科素養(yǎng)，從而讓學生會用數(shù)學的眼光欣賞世界的美，會用數(shù)學的思維思考世界的美，會用數(shù)學的語言表達世界的美.

3.數(shù)形結(jié)合，滲透數(shù)學思想

認知心理學家羅斯認為，記憶中的概念是以這些概念的具體實例來表示的，而不是以某種抽象的規(guī)律或一系列相關(guān)特征來表示的. 本課的實例“氣溫變化曲線圖”在學生的知識形成過程中起著重要的作用，“氣溫變化曲線圖”也就是學生 “平均變化率”的意象表征或心理表征，于是學生在生成“平均變化率”概念過程中，自然滲透了數(shù)學結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要的數(shù)學思想，以形解數(shù)，以數(shù)助數(shù)，形成研究數(shù)學問題可以從數(shù)形兩個角度尋求兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得兩者在認識結(jié)構(gòu)中共存，以后在適當時機發(fā)揮重要的作用，在概念形成過程中滲透數(shù)學思想，潤物細無聲.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］教育部考試中心.以評價體系引領內(nèi)容改革 以科學情境考查關(guān)鍵能力［J］.中國考試，2020（8）.

［3］涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學教學論［M］.上海：華東師范大學出版社，2006.