突顯函數單調性的示范作用　發展學生數學核心素養

鄒信武

1 問題的提出

函數單調性是反映函數變化規律的一個基本性質，由于它的“抽象性”和“應用性”，歷來都是高中數學教師研究的重點教學內容.在以往的教學設計中，重點往往在于如何引導學生理解“符號化表示”和“任意性”上，誠然，這是學生學習函數單調性時的認知障礙，但是，從發展數學核心素養的角度，函數單調性還承載著更多的教育教學作用.

2 函數單調性教學作用

2.1 函數單調性是發展數學核心素養的優良載體

函數單調性是發展學生數學核心素養的良好教學素材.函數單調性概念的形成中，學生經歷了從圖形語言、自然語言再到符號語言表達的過程，從具體到一般，從“定性分析”到“定量刻畫”，可以發展學生數學抽象素養；在經歷具體函數圖象的單調性提煉和函數單調性在具體函數的“直觀圖象”中，發展學生直觀想象素養；在理解函數單調性概念中的“全稱量詞”、“特稱量詞”等邏輯用語中，發展學生邏輯推理素養；在利用函數單調性定義解決具體問題中，發展學生數學運算等素養.

2.2 函數單調性是后續學習函數性質的優良“示范”

學生在學習函數概念和函數的表示方法之后，在學生心中可以產生大量的問題，如下一步應該學習（思考）函數的什么呢？什么是函數的性質？如何尋找函數的性質？又應該表達它們呢？這樣做有什么作用呢？……這些問題恰恰利于發展學生的“理性思維”.因此，應該把握住這一教學契機，在函數單調性的探求過程中，引導學生逐步明了研究函數性質的基本框架和路徑，使數學中發展特有的目標取向、思考結構、思維方式和符號化表達有機的融入系列化數學活動中，形成一個完整的數學研究過程，為后續函數性質研究提供一個“示范”.

3 函數單調性的學習過程

函數的單調性概念的形式化過程，本質上就是數學概念的抽象過程.關于數學抽象，史寧中教授將它分成三個階段：一是簡約階段，即抓住事物特征，語言表達；二是符號階段，即抓住事物本質，符號表達；三是普適階段，即抓住事物關聯，模型表達.函數單調性的教學過程應尊重數學抽象的層次性，兼顧學生思維的發展水平，概念形成與概念同化相結合.如圖1，將函數單調性的概念學習分為四個階段：方法與途徑、辨別與提煉、表征與定義、完備與應用.

4 函數單調性教學設計

4.1 方法與途徑

引入：前面我們學習了函數的定義和表示法，知道函數是描述客觀世界中變量之間的一種對應關系.這樣，我們就可以通過研究函數的變量間的變化規律來把握客觀世界中事物的間的變化規律，變化中的不變性就是性質，變化中的規律性也是性質.因此，研究函數的性質，就是研究自變量在變化時，函數值呈現出什么樣的變化規律.那么，哪一種函數表示方法可以直觀的反映規律性呢？

設計意圖：承前啟后，交代清楚性質和函數性質的涵義.引出了本節課的主題——研究函數的性質，同時指出了研究的途徑：尋找自變量與函數值的變化規律；并且指出研究的出發點：函數的圖象.

4.2 辨別與提煉

問題1 觀察圖2中的三個函數圖象，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些性質嗎？哪些是三個函數圖象共有的性質？

設計意圖：這樣的處理，既體現了數學抽象中“簡約階段”的特征，又能統攝后續學習內容，體現“大單元”教學觀.學生從特殊的三個函數圖象中，分析變化規律，并進一步對它們進行提煉和類化，進而得到某些“規律性特征”.這幾個圖象中，有“上升”、“下降”——單調性，有中心對稱和軸對稱——奇偶性，有極值和最值，還有變化快慢等特征，這些都是今后要研究的性質.當學生提煉了種種性質之后，再指出“上升”、“下降”這樣的圖形特征我們稱為函數的單調性，本節課的目標就是準確的描述這樣的圖象特征.

4.3 表征與定義

問題2 我們從簡單的函數開始，先研究函數f（x）=x2，g（x）=x3的單調性.請同學們用描點法畫出它的圖象，并描述出它的單調性情況.

設計意圖：這是本節課的關鍵問題，設計主要從以下幾個方面考慮：

（1）從簡單到復雜，從特殊到一般，是我們研究問題的一種常見方法.利用特殊函數的圖象引導學生進一步明晰單調性的圖形直觀，并得出圖形直觀描述：從左往右看，y=g（x）圖象在“上升”；當x<0時，y=f（x）圖象“下降”，當x>0時，y=f（x）圖象“上升”.

（2）此處要求學生使用描點法作圖，使學生在列表描點過程中，能直接感受自變量變化時函數值的變化規律，并且把這樣的規律與圖象變化建立聯系，進而實現圖象描述向代數刻畫轉變.

（3）選擇f（x）=x2和g（x）=x3的原因還有兩個：一是通過對比，讓學生體會單調性是函數的局部性質，并且具有普遍性；二是為后面函數奇偶性的研究埋下伏筆.

追問1：函數是自變量與因變量的一種對應關系，對于f（x）=x2，你能用自變量x與函數值 f（x）描述剛剛大家得到的函數圖象的“上升”和 “下降”嗎？

設計意圖：學生經歷了描點法作圖過程，就不難從圖形描述轉向數學描述性語言：當x<0時，f（x）越小；當x>0時，x越大， f（x）越大.值得注意的是，雖然這樣的描述語言在初中已經出現，但是在以往教學實踐中，大部分學生依然不能精確地表述，因此這樣的復習還是有必要的.

追問2：結合繪制f（x）=x2的過程，請你舉例說明：當x>0時，x越大， f（x）越大.

設計意圖：函數單調性概念符號化過程中的一個難點就是如何讓學生自然地使用區間上兩點坐標去刻畫變化規律.在這個問題解決過程中，從一般到特殊，隨著學生不斷列舉實例（如1<2，則f（1）< f（2）等），進而發現“上升”圖象中的兩點坐標間的大小關系.

追問3：大家發現了“上升”部分兩點間存在大小關系，你能用剛才的發現來描述“當x>0時，x越大， f（x）越大”嗎？

設計意圖：從特殊到一般，引導學生用符號語言描述“上升”這一性質.這是達成抽象概念的重要過程，雖然描述不完善，但是描述脫離了圖象，完成了定性刻畫向定量刻畫的轉變.

追問4：請同學們判斷：當x1，x2∈［0，+∞），如果x1

設計意圖：引導學生逆向思考，完成函數單調性概念形成過程中的“完備性”.此處是本節課的難點之一，通過設置充分必要條件的判斷，使學生意識到“所有點都應滿足”，進而體會 x1、x2任意性的重要性.

追問5：請同學們用準確的語言刻畫f（x）=x2“上升”和“下降”的情況.對于g（x）=x3呢？

設計意圖：通過前面的層層鋪墊，達成數學抽象符號化.學生在使用嚴謹的符號語言刻畫f（x）=x2的g（x）=x3的單調性情況，體會符號語言的精煉與準確.

追問6：對于函數h（x）=|x|又有怎樣的單調性呢？你能描述出來嗎？

設計意圖：再通過一個特殊函數單調性的判斷，深化符號語言表達與理解.讓學生再一次體會“圖形語言→自然語言→符號語言”這一數學抽象的過程.

問題3 如圖3，對于一般的函數，你能寫出這兩種情況的定義.

設計意圖：師生一起歸納單調遞增（減）、增（減）函數的定義和單調區間的定義.關注學生符號語言的準確性，特別是在區間、任意、取點等地方的細節.

4.4 完備與應用

問題4 教材中的思考：

（1）設A是區間D上某些自變量的值組成的集合，而且？ x1，x2∈A，當x1

（2）函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你還能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增但在另一些區間上單調遞減的函數例子嗎？

設計意圖：這是概念同化的過程.因為函數單調性概念的抽象性，可以提供幾個問題給學生辨析，增強學生對概念的理解.教材中的兩個問題分別從函數單調性中的“任意性”和區間兩個方面進一步深化對函數單調性概念的理解.

問題5 例1：根據定義，研究函數f（x）=kx+b（k≠0）的單調性.

例2：物理學中玻意耳定律p=k/V（k為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試對此用函數的單調性證明.

例3：判斷函數y=x+1/x在區間（0，+∞）的單調性.

設計意圖：通過實例使學生體會單調性符號化定義的必要性和實用性，通過例1、例2歸納用單調性定義證明單調性的步驟，例3則是定義法證明單調性的推廣和應用.

例1和例2本質上分別是一次函數和反比例函數單調性的判斷，在初中我們一般采用圖象法進行判斷單調性，這樣判斷的弊端是圖像往往只能得到局部的特征，對于“無窮”位置，是無法解釋的.因此，引導學生使用定義法證明幾個簡單函數的單調性，有助于提升代數證明、推理能力，同時也有助于學生理解“無窮”的含義，體會“無窮”的數學處理方法，從中感受數學的美和力量.

例3則是通過一個學生相對陌生的函數，引導學生通過數學運算，進行恰當的變形，進而判斷函數單調性，使學生體會定義法判斷單調性的強大作用和價值.

問題6 請同學們思考并回答以下問題：

（1）什么叫函數的單調性？你能舉出一些具體例子嗎？

（2）你認為在理解函數的單調性時應把握好哪些關鍵問題？

（3）利用定義證明單調性的步驟是什么？有哪些注意事項？

（4）結合本節課的學習過程，你對函數性質的研究內容和方法有什么體會？

設計意圖：通過問題設置，將本節課的知識、方法、技能、過程等進行回顧與提煉，突出函數單調性的概念內涵和外延，歸納函數性質的研究過程，為后續函數性質研究的埋下鋪墊.

5 小結

通過函數單調性教學，我們希望給學生建立一種研究函數性質的“示范”，在這樣的“示范”下，后續性質的教學就變成有目的、有方法、有路徑的探究學習.學生在學習過程中，得到的不僅僅是函數性質本身，還有探尋和研究問題的思維不斷得到鍛煉和提升，進而達到“教會學生學習”的教學效果，最終發展學生數學核心素養.

參考文獻

［1］章建躍.如何幫助學生建立完整的函數概念［J］.數學通報，2020，59（09）：1-8.

本文系南寧市“十四五”規劃“品質課堂建設”專題課題《三新背景下高中數學品質課堂的探索與實踐》（2022PZKT003）階段性成果.