基于深度學習的課堂教學實踐與思考

戈敏

數學深度學習是指在理解學習的基礎上，在教師的引領下，學生帶著自己的想法，圍繞具有挑戰性的學習任務，積極主動參與，并將它們融入原有認知結構，進而將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習.它是觸及數學知識本質，探究數學知識間相互關聯，在理解的基礎上更多關注分析、評價與創造層面的高階思維的學習［1］.筆者以在全市研討活動中開設的公開課“二項式系數的性質及應用”為例，闡述基于促進學生深度學習的課堂教學實踐與思考.

1 教材解讀

“二項式系數的性質及應用”是蘇教版《高中數學選擇性必修第二冊》第7章第4節第二課時的內容.本課時內容蘊含著豐富的數學文化、數學模型和數學規律，對本課時內容的深度學習有利于增強學生的愛國情感和學好數學的信心；四條性質的歸納過程可以促進學生觀察發現、抽象概括及分析解決問題能力的發展；其中性質（3）和性質（4）的證明因需要扎實的學識基礎和敏捷的思辨能力故為本節課的教學重難點，同時這也是促進學生發展邏輯推理素養和數學運算素養的良好素材.

2 教學目標

（1）經歷從特殊到一般，歸納猜想、合情推理得到二項式系數的性質，讓學生感受數學符號語言的簡潔美，發展學生的數據分析和數學抽象核心素養.

（2）通過對二項式系數性質的嚴格求證，培養學生問題解決能力、合作能力、創新意識和理性精神，發展學生的邏輯推理和數學運算核心素養.

3 教學過程

3.1 問題驅動，激發興趣

問題1 如何探究二項式系數C0n，C1n，C2n，…，Cnn具有的性質？

生1：由特殊到一般.

設計意圖：在對數學新知的探究過程中，若直接得到“通性通法”較困難，便可從特例出發，觀察出具體規律，進而歸納得到一般性的結論.從特殊到一般，由具體到抽象，既是重要的數學思想與核心素養，也是學生獲得四基、提升四能的基本途徑之一.

3.2 深度探究，提出猜想

問題2 請進行特殊化取值，觀察二項式系數的特點，你能得出哪些一般性結論？

生2：當n依次取0，1，2，3，4，5，6時，得到一系列特殊的二項式系數，計算出具體數值，觀察發現每一行的二項式系數都是對稱的.

生3：每一行的二項式系數都是兩端向中間逐漸增大，中間的是最大值.

生4：當n為偶數時，二項展開式有奇數項，中間一項的二項式系數最大，為Cn/2n；當n為奇數時，二項展開式有偶數項，中間兩項的二項式系數最大，為Cn-1/2n＝Cn+1/2n.

師生互動：大家橫向觀察的非常全面，還有其他觀察角度嗎？還能得出哪些結論？

生5：縱向觀察，有1，2，3，4，5，6，…是等差數列.

生6：為了便于縱向觀察，可以對數據做“居中處理”，得到了“楊輝三角”.觀察發現除了兩端的1以外，每一個數都等于它“肩上”兩個數的和.

設計意圖：在上一節課“二項式定理”的學習中，學生已經經歷過從特殊到一般的數學思想的運用，此處，應充分挖掘學生的智慧潛能，鼓勵學生深度參與、深度探究，暢所欲言.依據學情，學生對數據的處理通常采用“左對齊”和橫向觀察法，在此基礎上，通過深度思考和合作探究，實現向對數據做“居中處理”和縱向觀察法的最近發展區邁進，有利于強化學生的深度學習，提升學生分析問題和解決問題的能力，促進學生學會思考的思維品質的發展.通過插入視頻介紹“楊輝三角”相關數學文化發展史，使學生增強愛國情感和學好數學的信心.

問題3 你能把得出的結論用數學符號語言簡潔的表達出來嗎？

生7：Cmn＝Cn-mn.

生8：Cm-1n＋Cmn＝Cmn+1.

生9：當rCrn；當r>n-1/2時，有Cr+1n

生10：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.

設計意圖：數學符號語言是數學思維的外顯形式，它反映了數學思維的特征，簡化了數學思維的過程，是數學思維的載體［2］.它相較于文字語言更具形式化、公理化、抽象化、簡約化的特征.把數學敘述語言翻譯成數學符號語言的過程，既是對知識的生成深入理解、深度思維并深度加工概括的過程，也是把握事物本質、發展數學抽象素養的過程，有利于學生積累從具體到抽象的實踐活動經驗，同時也為下一步對所獲猜想正確性進行論證做好鋪墊.

3.3 科學求證，建構新知

問題4 由“結論”上升到“性質”，需要給出科學的論證過程.上面的結論1和結論2在組合數的性質學習過程中已經實現證明，你能證明結論3和結論4嗎？

生11：探究單調性，常用定義法和導數法.因為二項式系數為C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn，其中r＝0，1，2，…，n不是連續區間，所以應該用定義法去求單調性.

生12：因為Cr+1n－Crn＝n！/（r+1）！（n-r-1）！－n！/r！（n-r）！＝n！（n-r）-n！（r+1）/（r+1）！（n-r）！＝n！（n-2r-1）/（r+1）！（n-r）！，所以當rCrn；當r>n-1/2時，有Cr+1n

生13：可以構造函數f（r）＝Crn，r＝0，1，2，…，n來解決問題，函數單調性的推證過程與上面一致.

師：想得出和的性質，需去尋找源頭，源頭為二項式定理：C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cn-2na2bn－2＋Cn-1nabn－1＋Cnnbn＝（a＋b）n；想把上式變為C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，需消除掉其中的a，b，如何消除？

生14：賦值，令a=b=1.

設計意圖：性質的證明是本節課的教學難點，難點的突破需要學生扎實的知識儲備、良好的心理素質和善于合作的協作能力，難點的突破過程有利于學生關鍵能力的培養和邏輯推理素養、數學運算素養的提升，有利于學生理性思維品質的發展和嚴謹求實的科學精神的生長.在不久前結束的數列專題中“數列的單調性研究”帶來的正向遷移作用下，學生對于二項式系數的單調性研究能夠獨立突破.和性質的探究可借助多媒體技術，利用動畫技術實現二項式定理中參數向具體數值的變化，助力學生提煉出“賦值法”.

3.4 深度體驗，提升素養

例題 證明：在（a＋b）n的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和.

練習 已知在（a＋b）n的展開式中：

（1）第4項與第8項的二項式系數相等，則n=__________；

（2）只有第5項的二項式系數最大，則n=__________.

設計意圖：通過有針對性的習題訓練，促使學生對于剛剛突破的重難點知識再度進行梳理鞏固，促使四基落地生根，四能持續發展.通過練習，也促使學生形成規范化、嚴謹化的答題習慣，體悟數學學習的應用價值，發展數學運算核心素養.

4 教學思考

4.1 身臨其境——深度學習是以學生親歷知識為導入

著名數學教育家張奠宙先生在他的《張奠宙數學教育隨想錄》中說道：“學習數學，經過由薄到厚和由厚到薄的過程，對所學的東西做到懂，徹底懂，經過消化的懂，我們的基礎就算是真正打好了”.學習數學的第一步，是張先生所言的“懂”，是在親歷知識的發現、發生、發展過程中形成的對知識導入的必要性的深入理解，同時這也是學生思辨能力和創造能力培養的有效途徑.二項式系數性質的探究過程，既是分析處理多組數據、多角度歸納得出結論、把結論轉化為數學符號語言的過程，也是發展學生的數據分析、數學建模和數學抽象核心素養、培養學生的合作能力的過程.

4.2 漸入佳境——深度學習是以學生深度參與為主體

深度學習是學生感知覺、思維、情感、意志、價值觀全面參與的、全身心投入的活動.［3］在本課時的課堂教學中，學生帶著自己的想法，圍繞性質證明這一具有挑戰性的學習任務，積極主動參與，深入思考，嘗試用定義法和賦值法解決問題，最終用準確的數學語言給出科學論證，從而將感性認識上升到了理性思維.性質證明解決之后能夠將它們融入原有認知結構，進而將新學的知識與方法遷移到新的問題情境之中，解決新問題.這樣的深度學習過程既能助力學生的四基四能真正落地生根，又能激發學生的學習興趣與學習信心.

4.3 永無止境——深度學習是以學生終身發展為目標

深度學習既要“深”下去，也要“遠”開來.具體地說，學生通過深度學習獲得的求真的品質、求實的態度、充盈的精神文化和擅于思考與合作的習慣比知識本身更能促進學生全面地可持續地發展，這些高級素養應是教與學的核心，它會在學生走出校園之后引導學生終身學習，促使學生成為能夠創造未來美好生活的社會人.也如史寧中先生所言：數學教育的終極目標是，一個人學習數學之后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當會用數學眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界.

參考文獻

［1］陳學軍，金鵬.基于深度學習的深度教學——以“橢圓的幾何性質”為例［J］.中國數學教育（高中版），2018（4）：27-31.

［2］周宇劍.促進數學思維發展的有效途徑：數學符號語言教學［J］.湖南師范大學教育科學學報，2008（5）：99.

［3］劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養［M］.北京：教育科學出版社，2018：31.