雙變量問題的身份識別及破解策略

吳志鋒

(廣東省佛山市順德區青云中學)

雙變量函數不等式問題是近年高考或模擬考試中的常見題型,常以壓軸題的形式出現.處理此類問題的關鍵是消元,由于雙變量的類型不同,消元方法也不同.通過對近年高考試題及模擬試題的分析,不難發現雙變量的類型主要有三類,下面舉例分析.

1 兩個變量沒有限制條件

兩個變量沒有限制條件是指題目中所給的兩個變量為函數定義域中任意兩個變量,二者地位等價.處理此類問題時可將其中一個變量視為主元,構造關于主元的函數,利用導數研究函數的性質解決問題.

2 兩個變量為函數的零點

3 兩個變量為函數的極值點

對于可導函數來說,極值點即導函數的零點,即兩個變量為導函數的兩個零點,f′(x1)＝f′(x2)＝0.此類問題,除了可利用作差、作商消元外,若導函數為二次函數,也可利用根與系數的關系消元.

點評

本題中的雙變量為導函數的兩個極值點,求導后可知導函數的零點,即為二次函數的零點,故雙變量為二次函數的兩個零點,即一元二次方程的兩根,進而利用根與系數的關系找到兩個變量之間的關系,從而將一個變量用另一個變量表示.此類問題也可利用對數均值不等式求解.

(完)