基于問題為主線的探究式教學(xué)

孫強(qiáng)　章建榮

一元線性回歸模型是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，而“相關(guān)系數(shù)”是一元線性回歸模型中判斷線性相關(guān)性的一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，其產(chǎn)生過程蘊(yùn)含著統(tǒng)計(jì)學(xué)探究的一般思維方式，推導(dǎo)過程中的類比、特殊化等數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)思維、符號運(yùn)算能力、邏輯推理能力及數(shù)據(jù)處理思維等素養(yǎng)的落地點(diǎn).然而，很多教學(xué)課在統(tǒng)計(jì)量的出現(xiàn)以及公式推導(dǎo)探究過程中并沒有很好地體現(xiàn)出“相關(guān)系數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)量的必要性以及公式的生成過程，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得不到良好的發(fā)展，難以體現(xiàn)和落實(shí)核心素養(yǎng).基于這些問題，筆者開展了相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐.旨在通過“相關(guān)系數(shù)”這一統(tǒng)計(jì)學(xué)概念的教學(xué)，探究其在教學(xué)過程中自然生成，同時(shí)以問題探究為主線，引導(dǎo)學(xué)生思考和探索“相關(guān)系數(shù)”的計(jì)算公式，幫助學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的探究過程，感悟其中的數(shù)學(xué)思想，從而營造高效的數(shù)學(xué)課堂.

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“相關(guān)系數(shù)”是北師大版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（選擇性必修一）》第七章“統(tǒng)計(jì)案例”第二節(jié)的內(nèi)容，它既是之前一元線性回歸的延續(xù)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型，對今后的統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的要求是：①結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.②結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.因此，本節(jié)課的主要任務(wù)是了解樣本相關(guān)系數(shù)這一概念為什么會(huì)出現(xiàn)，為什么需要相關(guān)系數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量，如何研究一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型；其次是如何定義和計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù).

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一元線性回歸方程，對成對數(shù)據(jù)的一元線性擬合有了基本的了解.也會(huì)利用散點(diǎn)圖來觀察成對數(shù)據(jù)是否相關(guān)，但是這種對于相關(guān)的感知僅僅停留在直觀的認(rèn)知上，而并非在科學(xué)意義上的嚴(yán)格計(jì)算，對于許多成對數(shù)據(jù)是否相關(guān)，相關(guān)性有多大，還沒有一個(gè)明確的概念.因此本節(jié)課應(yīng)該從學(xué)生已有相關(guān)性的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，給出直觀觀察解決不了的問題，讓學(xué)生感知到相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)的必要性，從而引出沖突，讓概念自然生成.

三、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)思考

問題1 給定兩個(gè)隨機(jī)變量（x，y）的7組成對數(shù)據(jù)：（1，0），（4/5，3/5），（0，1），（－4/5，3/5），（－1，0），（－4/5，－3/5），（0，－1），利用最小二乘法，可以得到Y(jié)關(guān)于X的線性回歸方程Y=0.143X+0.102.這時(shí)，X和Y是否具有線性關(guān)系呢？

教師畫出散點(diǎn)圖，讓學(xué)生進(jìn)行觀察，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)7組成對數(shù)據(jù)均位于單位圓上，所以X和Y不具備線性關(guān)系，用這一組數(shù)據(jù)建立的線性回歸方程無法精確刻畫這組數(shù)據(jù).

師：對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行直線擬合之前先應(yīng)該做什么？

生：先要判斷這組數(shù)據(jù)是否適合進(jìn)行直線擬合.

師：應(yīng)該如何進(jìn)行判斷？

生：可以畫出散點(diǎn)圖直接看所有的點(diǎn)是不是大概在一條直線上.

師：對了，對于數(shù)據(jù)量較小且散點(diǎn)圖較規(guī)則的數(shù)據(jù)確實(shí)可以畫散點(diǎn)圖來進(jìn)行觀察判斷，那不妨看看的散點(diǎn)圖1及圖2，這個(gè)散點(diǎn)圖是否適合直線擬合？那如果再多幾個(gè)樣本點(diǎn)呢？這樣是否適合呢？

師生互相討論后得出要引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來定量的刻畫樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析一組數(shù)據(jù)是否能進(jìn)行直線擬合不能僅僅通過肉眼觀察，而是需要一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來定量刻畫線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，進(jìn)而引出本節(jié)課的研究目標(biāo).讓學(xué)生初步感受構(gòu)建一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的必要性，從定性向定量過渡，從而自然引出相關(guān)系數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例鞏固線性相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式的使用以及線性相關(guān)性的知識(shí)概念，在實(shí)際應(yīng)用中深化學(xué)生對公式以及概念的理解.

5.課堂小結(jié)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是否明白了什么是線性相關(guān)系數(shù)？為什么要計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)？標(biāo)準(zhǔn)化的過程是怎樣的？如何用線性相關(guān)系數(shù)來判斷成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)弱？

四、實(shí)踐反思

在課堂設(shè)計(jì)與教學(xué)中，以解決不斷出現(xiàn)的問題為主線，自然的進(jìn)行教學(xué)，更有利于學(xué)生的思考，在問題的解決過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)解決問題的能力.本節(jié)課從細(xì)微處著手，從特殊的例子以及直觀感受出發(fā)，以問題為主線進(jìn)行串聯(lián)，同時(shí)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)中的研究方法，將概念呈現(xiàn)給學(xué)生.

一方面，教師通過問題為主線，可以將統(tǒng)計(jì)量的整個(gè)探究過程講述的更加清晰，概念的講解的更透徹，教學(xué)過程更方便，同時(shí)整個(gè)課堂自然樸實(shí)而又高效，體驗(yàn)并揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，幫助學(xué)生自主建構(gòu)前后貫通的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

另一方面，學(xué)生通過問題為主線進(jìn)行學(xué)習(xí)，概念生成更自然，思考方向更具體，學(xué)習(xí)方向更明確，在問題鏈中感受相關(guān)系數(shù)這一概念的生成，發(fā)展，進(jìn)化以及應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的自主探究能力，提升數(shù)學(xué)思維水平，獲得統(tǒng)計(jì)學(xué)的一般性研究方法，為后續(xù)的其他概率模型的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

本文系江西省教育科學(xué) “十四五”規(guī)劃2022年度課題《高中數(shù)學(xué)“一課四研”教研范式的研究》（編號：22PTZD035）的研究成果.