圓錐曲線中兩相交弦中點連線的統一性質

章海輝 邱 云 張奇鳳

1.福建省漳州市廈門大學附屬實驗中學(363123);2.福建教育學院數學教育研究所(350025)

1 引言

過圓錐曲線上點B的兩直線l1和l2,斜率分別k1,k2,當k1+k2、k1k2為定值時,第三條直線過定點問題,已有作者進行探討,見文[1].得出了結論: 當兩直線斜率和或斜率積為定值時,第三條直線斜率為定值或過定點.高考卷多次出現此背景下的試題,如2017 年高考全國Ⅰ卷理科20 題、2020 年高考山東卷第22 題和2022 年新高考Ⅰ卷第21 題等.當點B不在圓錐曲線上時,就是相交弦問題,已有相關結論,如文[2-4].本文從點B位置的任意性角度,研究兩相交弦中點連線的相關性質,推廣了文[4] 中的結論,即證明了當兩直線l1和l2的斜率k1,k2滿足線性方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2?=0)時,兩相交弦中點所成直線斜率為定值或過定點;且得出文[1]結論的推廣: 當點B在圓錐曲線上且兩直線l1和l2的斜率k1,k2滿足r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2?=0)時,第三條直線斜率為定值或過定點.

2 主要結論和證明

證明設直線GH的方程為y=kx+m,直線l1的方程為y=k1x+n,因過點B(x0,y0),所以n=y0?k1x0.將l1與橢圓的方程聯立消去y整理得

(b2+a2k21)x2+2a2k1nx+a2(n2?b2)=0.

(a2x0k+a2m)k21+(b2x0?a2y0k)k1+(b2m?b2y0)=0,

同理

(a2x0k+a2m)k22+(b2x0?a2y0k)k2+(b2m?b2y0)=0,

因此,k1,k2是一元二次方程

(a2x0k+a2m)x2+(b2x0?a2y0k)x+(b2m?b2y0)=0

的兩根,則有

(a2x0k+a2m)k21?(a2y0k+b2x0)k1+(b2y0?b2m)=0,

同理

(a2x0k+a2m)k22?(a2y0k+b2x0)k2+(b2y0?b2m)=0,

因此,k1,k2是一元二次方程

(a2x0k+a2m)x2?(a2y0k+b2x0)x+(b2y0?b2m)=0

的兩根,則有

綜上,結論成立.

注1在定理1-3 中,當s=0 時,兩直線斜率之和為定值的情形,特別地,當s=0,t ?=0 時,就是文[4]中的結論1,3,5;當r=0 時,兩直線斜率之積為定值的情形,特別地,當r=0,t ?=0 時,就是文[4]中的變式2,4,6.

注2當點B在圓錐曲線Γ 上時,易知過B的直線與Γ的相交弦中點軌跡仍為同一種類型的圓錐曲線.由上述定理證明方法,可得文[1]結論的推廣.

推論已知圓錐曲線Γ,過Γ 上點B(x0,y0)作兩條斜率分別為k1,k2的直線l1和l2,分別與Γ 交于點C和點D,若k1,k2滿足方程r·(k1+k2)+s·k1k2=t(r2+s2+t2?=0),則直線CD的斜率為定值或直線CD過定點.