考慮執行器最優分配的空間站艙內機器人位姿耦合控制

李鳴昊，王 輝，伍思歡，馬 克，張錦繡

(中山大學航空航天學院，深圳 518107)

0 引 言

隨著中國空間站夢天實驗艙順利完成轉位,中國空間站建造任務即將完成收尾,在空間探索的方向上又向前邁出了一步。在這一背景下,航天員身心健康的問題需要被重點關注。在已有的空間站和空間實驗室內,航天員承擔了絕大多數的實驗任務,較長時間的工作和較多的任務可能會給航天員帶來一些身心負擔,而空間站艙內機器人可以為航天員提供協助和陪伴,減輕他們的工作壓力和心理壓力。

自20世紀80年代以來,隨著空間技術的發展,各國對于艙內機器人的研究也在不斷推進。國外部分機構最早對艙內機器人展開了研究。如:NASA研制出一種個人輔助衛星[1](PSA),并在此基礎上研發了攜帶機械臂的艙內機器人“宇航蜜蜂”[2-3](Astrobee);美國麻省理工大學研制了艙內同步定位、執行與重定向試驗衛星(SPHERES),并進行了六自由度控制算法的實驗[4];日本宇宙航空研究開發機構(JAXA)研制出一種可以輔助航天員拍攝照片的智子球形機器人[5](Int-ball)。以上國外的研究內容表明艙內機器人具有為航天員提供輔助的功能,具備作為空間站艙內擴展實驗平臺的能力,有較高的研究價值。

目前,國內也有不少研究團隊對空間站艙內機器人開展了研究。劉金國等[6]設計了一種球形的艙內輔助機器人(AAR),并在其基礎上改進設計了一種多面體外形的AAR2艙內機器人[7],還為其設計了快速穩定的六自由度控制算法;張琦等[8]設計了一種由多個推力器作為執行器的艙內機器人并驗證了其空間站內的適用性;程瑞洲等[9]提出了一種面向在軌服務的人機交互方法,可為空間站艙內機器人擴展人機交互服務功能和提高艙內機器人的應用價值提供重要參考;岳程斐等[10]針對在軌工作機器人的三維路徑規劃問題提出了一種拓鄰域蟻群搜索算法,并進一步提出一種用于多臂航天器的多層次路徑規劃方法[11-12],有效解決了多臂空間機器人的軌跡規劃問題,對艙內機器人的工作軌跡規劃方法研究有重要參考價值。

空間站艙內機器人六自由度靈活運動的特性決定了需要對其進行六自由度的位姿耦合動力學建模,以往有關艙內機器人研究中的動力學描述通常較為復雜,目前,許多學者采用對偶四元數進行六自由度運動空間系統的描述,可以極大簡化空間六自由度系統動力學方程的復雜形式。王劍穎等[13]采用對偶四元數的方法建立了空間兩航天器的追蹤模型;馬可鋅等[14]基于對偶四元數給出了編隊飛行衛星相對位姿的描述。

空間站艙內機器人優秀的輔助性能和運動特性需要有足夠靈敏的控制算法作為支撐。對于此類機器人常見的控制算法有PID控制、模糊滑?？刂?、自適應控制等。劉金國等[6]設計了一種PID神經網絡算法對艙內機器人進行姿態控制,并設計了一種模糊滑?？刂品椒╗7]進行了空間站艙內機器人六自由度的控制;張琦等[8]采用具有二次函數型切換面的滑?？刂频姆椒▽ε搩葯C器人設計了位姿一體化控制器;王輝等[15]針對氣驅柔性臂空間站艙內機器人設計了一種無模型魯棒跟蹤控制器;張鑫等[16]針對攜帶臂體的艙內機器人設計了一種基于時延估計(time-delay estimation)的無模型解耦控制方法,解決了艙內機器人“基體-臂體”耦合問題并實現了二者的協調運動;陶東等[17]針對自由漂浮的服務機器人,提出一種考慮模型不確定情況下的無力傳感器阻抗控制方法,并通過數值仿真驗證其可以在保證控制精度的情況下降低空間服務機器人動力學建模精度要求,提高了工程可行性。圍繞空間站艙內機器人的控制問題,很多學者已經開展了深入的研究。然而,空間站艙內機器人執行器的冗余特性以及考慮執行器最優分配的位姿耦合控制方法仍是工程化過程中亟需解決的問題。

因此,本文針對空間站艙內機器人考慮執行器分配的位姿耦合控制問題,首先建立艙內機器人相對于空間站平移與旋轉的統一性的描述,解決了以往有關艙內機器人研究中的動力學描述通常較為復雜的問題;經過優選,確定一組具有均衡控制能力的最優冗余布局方案,并建立相應的執行器模型;在此基礎上,設計考慮執行器最優分配的位姿耦合控制器,采用罰函數法對系統冗余的執行器構型進行力和力矩的分配優化。最后,經過仿真驗證該方法的有效性。

1 艙內輔助機器人與空間站相對運動方程

1.1 坐標系定義

(1) 地心赤道慣性坐標系OI-XIYIZI該坐標系以地心為原點,OIXI軸沿著赤道面和黃道面的交線指向春分點,OIZI軸指向北極點,OIYI軸與它們構成右手螺旋。該坐標系用于描述空間站與機器人的運動方程。

(2) 空間站本體坐標系Ot-XtYtZt該坐標系以空間站質心為原點,OtXt軸與空間站過道平行,指向空間站前進方向,OtZt軸垂直于實驗艙過道指向實驗艙頂部,OtYt軸與它們構成右手螺旋。該坐標系作為參考系用于描述空間站艙內機器人在空間站艙內的相對運動狀態。

(3) 機器人本體坐標系Ob-XbYbZb該坐標系以艙內輔助機器人質心為原點,ObXb軸平行于機器人底面指向機器人正面中心,ObZb軸垂直于機器人底面指向頂面中心,ObYb軸與它們構成右手螺旋。該坐標系作為本體系,與作為參考坐標系的空間站本體坐標系一同用于描述空間站艙內機器人在空間站艙內的相對運動狀態。

1.2 基于對偶四元數描述的艙內輔助機器人相對動力學方程

(1)

式中:ε是對偶算子,表示Banach空間下與實數域垂直的某一維度單位向量,并且滿足ε2=0。對偶四元數方程為

(2)

(3)

(4)

(5)

對偶四元數方程為

(6)

(7)

(8)

對式(7)求導,空間站本體坐標系下輔助機器人的對偶四元數方程可寫為

(9)

(10)

(11)

對相對速度旋量求導得:

(12)

代入動力學方程得:

(13)

式中:

(14)

(15)

根據作用力的種類,本體系下的對偶力旋可以拆為

(16)

(17)

(18)

其中,阻力旋量可寫為

(19)

由于艙內飛行機人姿態變換時轉速較小,產生的氣動阻力矩近乎為0,可認為τf=03×1,運動時的所受的氣動阻力與運動速度相關。

(20)

式中:空間站艙內的空氣密度ρ=1.27 kg/m3,v為艙內輔助機器人在各個方向上的瞬時速度矢量。將阻力分解至3個方向后,各方向的特征面均為正方形,特征面積記為S,其特征面長度記為d;CD為阻力系數。

(21)

1.3 艙內輔助機器人控制系統執行器布局優化

將艙內輔助機器人視為質量均勻分布的立方體,其上分布有若干作為控制器的微型風扇,微型風扇由無刷直流電機驅動,可以產生垂直于輔助機器人表面的一定大小的推力。

艙內輔助機器人的運動控制能力由微型風扇的個數、每個微型風扇的位置以及微型風扇所能產生的推力共同決定。二者的關系可表示為

Ur=Af

(22)

式中:Ur∈R6×1表示機器人本體受到的控制力與控制力矩在三維空間內各方向的分量。

Ur=[Tx,Ty,Tz,Fx,Fy,Fz]T

(23)

A=[A1(β1),A2(β2),…,An(βn)]

(24)

式中:{β1,β2,…,βn}表示推力器所在平面的位置。β的全部取值集合表示為

{β1,β2,…,βn}?{x+,y+,z+,x-,y-,z-}

(25)

對于1≤j≤n,j∈N,第j個風扇的推力配置向量[19]定義為

(26)

式中:{lxj,lyj,lzj}分別表示本體系下第j個風扇推力器中心距X,Y,Z軸的距離。此外,f=[f1,f2,…,fn]T表示實際推力大小。由控制力方程可知,當微型風扇的數目大于等于6,且每一風扇可以至少獨立控制一個方向的控制力或者控制力矩時,冗余系統控制力與推力矩陣f不是一一映射的,且推力分配結果與裝配矩陣和推力分配模式二者均相關。

為了使用最少的推力器得到最優控制效果,可以對裝配矩陣進行優化。為保證式(22)解不為空集,至少使用6個風扇各自分布于機器人X,Y,Z3個方向處于正負軸兩側的面上。在此基礎上將每3個風扇分為一組,各自加裝在與X,Y,Z軸分別垂直的3個面上,比較增加后與增加前的結果。又因為在安裝矩陣的后3項成比例時,風扇的位置越靠近邊緣,在相同推力的條件下產生的力矩越大,可以起到節省能量的作用,因此在尋優的過程中考慮風扇都裝在機器人的邊緣處。由裝配矩陣形式可知,當某一風扇位于過機器人質心的垂直于機器人表面的平面與機器人表面的交線上時,該風扇會產生非耦合力矩;反之,則該風扇會產生耦合力矩。圖1至圖2表示了給定每個風扇最大為1 N的推力時,兩種裝配方式的逆求解控制力范圍。

圖1 力矩耦合式裝配逆求解結果

圖2 力矩非耦合式裝配逆求解結果

表1 各裝配方式評價函數值

由于空間站中各個方向外界條件相同,各個方向具有相同控制能力的控制器可以讓艙內機器人擁有更多種運動形式。因此,將各個方向和各個面上控制能力均等作為約束條件,導出以下評價函數:

Θ=c(D(pfi)+D(pmi))

(27)

式中:pfi和pmi分別表示第i域內的概率;c為放大因子,取為100;D(·)表示方差。按照這一評價函數,Θ越小說明該裝配矩陣下的控制能力越均勻。

根據評價函數計算結果,最終確定采用十二風扇推進的力矩非耦合式裝配方案,其裝配矩陣為

(28)

式中:d代表艙內輔助機器人每一特征面上幾何長度的一半。這一裝配矩陣的物理意義是每一個風扇均裝在輔助機器人特征面對稱線上的邊緣處。風扇裝配形式如圖3所示。

圖3 風扇裝配示意圖

2 基于對偶四元數的位姿耦合控制器設計

2.1 控制系統基本原理

對于該考慮執行器最優分配的空間站艙內機器人位姿耦合控制系統,基本架構[20]如圖4所示。

圖4 控制與分配邏輯

首先,根據目標位置和姿態信息與初始位置和姿態信息得到目標狀態的對偶四元數與初始狀態的對偶四元數,以此獲得對偶誤差。再根據對偶誤差與擾動力進一步獲取控制力的,但此時控制力不一定能夠滿足執行器的物理限制,因此加入分配器作為分配力和給定執行器物理限制的約束,對控制力進行二次規劃,進一步得到系統實際控制力,再由此實際控制力,根據艙內機器人的運動學與動力學方程得出機器人的當前對偶四元數,最后由當前對偶四元數可以解算出艙內機器人的實際位置、速度、姿態和姿態角速度信息。

2.2 控制器設計與穩定性驗證

本節將對控制器和分配器進行設計,采用式(29)中的控制力作為控制器輸入[21]：

(29)

(30)

kp與kd分別為控制器的比例系數與微分系數,它們具有對偶數形式:

(31)

(32)

定理1：對于式(9)與式(13)所描述的基于對偶四元數描述的位姿耦合空間站艙內機器人,采用式(29)中的控制力作為控制器輸入[21]的控制系統是穩定的。

證明：基于李雅普諾夫穩定性定理,選擇式(33)所示的李雅普諾夫函數[21],可通過證明其函數正定,且其導數負定,說明系統的漸近穩定性。

(33)

(34)

將式(13)代入式(34)后可得:

(35)

進一步可得:

(36)

通過消去反對稱陣[21],該導數值最終可化簡為

(37)

說明系統是漸近穩定的。也即引入式(29)所示的控制力后,由式(9)與式(13)確定的系統可以達到收斂。

2.3 基于內罰函數法尋優的力和力矩分配器模型

通過明確基于能量最優的評價函數,可以建立起基于該評價函數的執行器分配尋優方法。首先計算系統的能量損耗。按照以下方法建立微型風扇能耗計算模型[22]：微型風扇推力f與轉速n之間的關系表示為

(38)

式中:D為扇葉直徑;ρ為空氣密度;KF為推力系數。式(38)中右邊前3項在確定了推力器選型與工作環境后均不發生變化,可以設為常數LF：

(39)

電機轉速與推力之間的關系可描述為

(40)

單個推力器的工作功率可描述為

(41)

式中:P是無刷電機功率;Tq是電機轉矩;η是電機效率倒數。通過計算某一時刻構成空間站艙內機器人控制系統執行器的全部12個風扇的瞬時總功率引入功耗最小的價值評價函數:

(42)

式中:fi表示第i個風扇的電機的推力;N為電機個數。系統總功耗是對整個工作時間內系統總功率進行積分得到的,因此,?值越小,代表系統耗能越小,具備越高價值。

根據控制律得到控制力以后,分配力公式為不具有唯一解的冗余方程組。依據式(42)建立起的能量最優評價函數,進行式(22)所示線性方程組的最優解搜索,即可得到能量最優條件下的分配力結果[23]。該問題可描述為

(43)

其中,lb與ub是自變量的最小值和最大值。本例中約束由控制力與分配力的關系決定,其中控制力與分配力的關系如式(22)所示,其中安裝矩陣形式已在式(28)中確定。由于微型風扇產生的最大推力不超過1 N,又因風扇無法產生負向的推力,故存在如下約束:

0≤fi≤1 N,i=1,2,…,12

(44)

尋優過程如下:

首先根據式(42)所示能量評價函數,建立內罰函數[24]：

(45)

進一步構建增廣函數:

(46)

式中:τ為罰參數。

取可行域內的初始點f0=[f01f02…f012]T并在取定初始罰參數后繼續求解無約束子問題:

(47)

無約束子問題可采用牛頓迭代法進行求解。首先求解子問題中的增廣函數H(f,τk+1)的Hessian矩陣Hk：

(48)

根據Hessian矩陣求解第k+1步的fk+1值:

(49)

當fk+1-fk滿足精度要求時,即可停止迭代,得到無約束子問題的最小解fmk。求得子問題的最小解fmk后,根據式(50)所示的終止條件來進行進一步的判斷:若該條件不成立,則令τk+1更新為ρkτk,重新計算minH(f,τk+1);若條件成立,則令fmk為近似最優解[25]。

(50)

按照這種方法,可以在有限時間內搜索得到滿足式(42)所示耗能計算值最小的評價函數,并給出對應該評價函數的最優分配力。該分配力經過計算可以得到系統的實際控制力。

3 仿真校驗

艙內機器人整體質量m=5 kg,特征面邊長l=0.232 m,空間站運行軌道視為近圓軌道。艙內機器人含執行器在內的轉動慣量設置為

(51)

研究系統在初始角速度ω0,初始歐拉角E0,初始速度v0與初始位置p0按下式設置,并在該初始條件下進行姿態回正。

(52)

控制參數設置為

(53)

空間站內由排氣和人為引起的干擾氣流流速[8]一般不會超過0.5 m/s,假設同時不會存在超過4股干擾氣流,由于擾動氣流的作用位置是隨機的,氣流擾動可以設置為隨機大小的力螺旋,其大小限制根據式(20)可計算為

(54)

仿真時間步長選為0.1 s,分配尋優中的精度δ取為10-6,采用定步長四階RK法作為求解方法進行仿真,仿真結果圖5至圖7所示。此外,分配結果將與去除式(42)所示評價函數但保留式(44)所示執行器限制條件隨機取值的只考慮執行器性能隨機分配結果進行對比,仿真對比結果如圖8所示。

圖5 速度與角速度變化仿真結果

圖7 控制力與控制力矩誤差曲線

圖8 加入分配器對執行器功率的影響

圖5至圖7中的結果表明,在控制器作用下,艙內機器人穩定時各方向的速度絕對誤差小于5×10-4m/s;角速度絕對誤差小于1×10-4rad/s;位置絕對誤差小于5×10-3m;歐拉角絕對誤差小于3×10-4rad。

推力分配的結果均滿足式(43)所示約束,為驗證該分配方式滿足功耗最小的尋優目標,進一步考慮執行器功耗進行仿真。考慮風扇效率為0.9,空氣密度為1.294 kg/m3。根據文獻[22]簡化的小風扇模型,在空氣中的推力系數KF可按式(55)進行估算:

(55)

式中:Nf為小風扇扇葉數目;pf為小風扇螺距;Df為小風扇直徑。取小風扇扇葉數目為6,螺距為10 mm,則推力系數KF可估算為0.000 87。由此,從執行器功率的角度驗證分配器的性能。

圖8表明,考慮執行器性能同時加入分配器后,該控制器仿真中功率大幅加降低。這是由于加入分配器后,根據能量最優策略執行器會尋找能耗較小的分配方案進行推力分配所致。通過對整個工作時間內積分可以得到系統總能耗變化情況,表2給出的功耗結果表明,40 s內加入分配器的能量最優分配與隨機分配相比降至11.12%,可以從減小功率消耗的角度得到合適的分配結果。

4 結 論

針對空間站艙內微型服務機器人工作時位姿耦合控制的問題,本文設計了一種可以提供各方向均勻控制力的執行器布局模式,采用對偶四元數的建模方法給出了該布局模式下的艙內機器人六自由度耦合動力學模型,并基于該模型設計了控制器和力分配器,最終實現了收斂結果較好的穩定控制。同時,相比于隨機的分配模式,加入本文所設計的力分配器后,可以從功率最優的角度得到最優分配結果。因此,本文所設計的考慮執行器最優分配的空間站艙內輔助機器人位姿耦合控制方法能夠為后續更多的研究提供參考。