基于有限差分法的復合系泊鏈纜動力模型及其驗證

李欣怡，于立偉

（中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100）

隨著越來越多的深水和超深水油氣資源被發現，深水油氣資源開發已成為全球的熱點。然而，隨著水深的增加，平臺需要更長的錨鏈來進行系泊，這對于自重過大的傳統鋼制系泊鏈來說將非常困難。而合成纖維系泊鏈具有質量輕、系泊半徑小、軸向剛度低且可降低一階波頻張力的特點，有較好的系泊性能，因而被廣泛用于深水系泊中。在合成纖維系泊中，聚酯纖維系泊被廣泛使用，其制造和安裝規范也比較成熟。聚酯纜繩與傳統鋼纜的參數比較見表1。

表1 聚酯纜和傳統鋼纜的參數Tab.1 Parameters of polyester cable and traditional steel cable

由于纖維系泊材料的非線性以及復雜的黏彈性和黏塑性特性，使得其力學性能復雜，與傳統的鋼鐵材料完全不同，這給其模擬和分析帶來困難。其力學性能主要包括最小斷裂強度、動剛度、蠕變、蠕變恢復、蠕變斷裂和疲勞破壞等，其中剛度一直是學者們關注的重點。Del Vecchio［1］進行了合成纜剛度測試試驗，并以具體剛度模量計算結果為因變量，以平均載荷、載荷振幅和周期的對數為自變量，進行線性回歸分析，得到了不同的比模量回歸方程。Fernandes 等［2］對小直徑聚酯纜和直徑為5 英寸（0.127 m）的實際大直徑聚酯纜進行了動剛度測試，結果表明，平均荷載和荷載幅值對剛度有較大影響，而荷載頻率對平行結構纜繩的影響可以忽略不計。同時基于數據進行了線性回歸，并通過修正得到了無量綱的動剛度經驗公式。Bosman 和Hooker［3］進行了隨機加載和動態拉伸試驗，結果發現，動剛度經驗公式對小尺寸纜繩和全尺寸聚酯纜的動剛度測試都可做出很好的預測。Davies等［4］分別對聚酯、芳綸和高強聚乙烯（HMPE）纜繩進行了全尺寸試驗研究，其中包含靜剛度測量、低荷載和高荷載下的動剛度測量，以及一個蠕變循環。據試驗發現，所有材料的剛度都隨著加載幅值的增加而減小，而加載周期的影響卻非常小，HMPE 繩約為10%～15%，芳綸繩約為5%，聚酯纜甚至更小。Davies 等［5］采用彈性回復法對芳綸繩和HMPE 繩進行了拉伸試驗，發現纜繩的動剛度在初始階段增加較快，一段時間后趨于一個定值。HMPE繩對這些影響動剛度的參數比芳綸繩更加敏感，在卸載時有更大的殘余應變和滯后，且循環過程中HMPE 繩的阻尼也更高。Liu 等［6］系統地研究了聚酯、Aramid和HMPE 三種合成纖維纜在循環載荷下的非線性行為，并基于實測數據提出了一個同時考慮平均張力、應變幅值和荷載循環次數的經驗表達式。Liu等［7］對聚酯和HMPE系泊纜進行了系統的試驗研究，了解受損合成纖維系泊纜動態剛度的演變，試驗結果表明，動剛度隨平均張力和載荷循環次數的增加而增加，隨應變幅值和損傷程度的增加而減小。同時，Liu等［7］提出了一個考慮損傷效應、平均張力、應變幅值和加載循環次數的經驗表達式來描述損傷對合成纖維纜動剛度的影響，其中系數由最小二乘法確定，測量數據和經驗表達式計算結果的比較顯示了良好的一致性。Wibner 等［8］基于目前可用的試驗數據，利用動剛度值的上下限方法對聚酯繩的全尺寸特性進行估算。Huang 等［9］基于Schapery 理論和Owen 流變學理論，提出了一種新的應力—應變本構模型，該模型能夠很好地模擬非線性循環荷載作用下合成纖維纜的時變特性。喬東生和歐進萍［10］基于Del Vecchio［1］提出的動剛度經驗公式，用迭代法計算鏈—纜—鏈結構的剛度，并對復合錨泊線的動力特性進行比較分析。

目前，常用的系泊纜動力分析模型有集中質量模型和細長桿模型［11］。在集中質量模型中，系泊纜在建模的最開始被離散化，并由有限長度的無質量單元連接在一起的點質量代替，如圖1所示。可直接從牛頓運動定律導出常微分方程，并通過數值算法求解。集中質量—彈簧模型有以下優點：1）模型簡單，物理含義明確；2）系泊纜求解實現容易；3）應用條件不受系泊纜特性和波流狀況的影響。其難點在于彈簧剛度、阻尼系數、附加質量系數等參數的確定，當使用完全動態解時，會出現振蕩效應，導致多解。

圖1 集中質量—彈簧模型Fig.1 lumped-mass-and-spring model

細長桿模型包含有限元方法和有限差分法兩種求解方法。有限元方法方面，Garrett［12］首先提出了一種等主剛度不可伸直的彈性桿的三維有限元模型，如圖2所示。由于桿具有彈性和任意的幾何形狀，細長桿可以承受水下各種載荷和拉力。載荷包括由桿的運動和外部流體運動引起的水動力及重力。結合桿的經典理論［13］和Nordgren［14］的研究，根據線性動量守恒和角動量守恒，忽略轉動慣量和剪切變形的影響，得到以矢量形式給出的非線性運動方程。用伽遼金法將偏微分方程組簡化為常微分方程組進行求解。該模型有以下優點：1）應用范圍廣，可用于解決海洋工程領域的靜態和動態問題；2）描述簡單，采用矩陣形式表達，便于編寫計算機程序；3）計算結果穩定且收斂。但往往在建模和求解過程中需要大量時間，且在三維空間的幾何大變形動力學問題方面存在一定不足。

圖2 細長桿模型Fig.2 Slender-rod model

對于有限差分法，通過對桿單元動力學偏微分方程的直接有限差分離散進行求解，通常包含了顯式和隱式兩種格式。一般而言，隱式離散方法比顯式更可取，因為隱式方法對于長時間模擬更穩定、更準確，并允許較大的時間步長，這使得隱式方法更適合于系泊纜的斷裂后行為或拖曳應用模擬。通常采用Box 方法進行隱式有限差分，Wendroff［15］證明了該方法在空間和時間上都是二階的，并且是無條件穩定和收斂的。該方法需要解析計算方程組的雅可比矩陣，這需要大量的工作，但生成的代碼非常強大，并根據所需的精度，在每個時間步長迭代2到5次后即可收斂。該方法更加適用于空間大變形的纜結構和具有非線性應力應變關系的復合材料纜的數值模擬。

對于有限元法和有限差分法，兩者都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，有限元法是用插值函數來近似微分，而有限差分是用差分近似。在實際應用中，有限元方法主要在求解結構強度等橢圓型方程中適合，對帶有非定常時間項的方程求解有一定局限性，計算時間較長。而有限差分法簡單、靈活、通用性強，利用差分網格構造出高精度解，求解速度較快。因此文中采用有限差分法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，保證了求解精度的同時也最大限度地加快了運算速度。

文中基于細長桿模型，采用有限差分法建立可以考慮鏈—復合纖維纜—鏈結構動靜剛度的復合系泊鏈纜動力模型，并對該模型的準確性開展驗證研究。根據已有算例和在波浪水槽中進行單根鋼鏈模型試驗，驗證了數值模型應用于全鏈的準確性。對于復合系泊鏈纜，通過靜剛度和動剛度迭代，將數值模擬結果與算例結果進行比較，驗證了數值模型應用于鏈—纜—鏈結構的準確性。

1 系泊鏈纜動態模型

1.1 單根系泊纜的模型

文中采用最早由Tjavaras［16］提出的系泊纜有限差分動力模型，將其應用到具有鏈—纜—鏈結構的復合系泊鏈纜的數值模擬中。該模型由10個關于應變、力、速度和曲率的偏微分控制方程組成，方程保留了慣性項和彎曲剛度項。使用歐拉參數來描述拉格朗日參考系的相對旋轉，不受歐拉角公式奇異性的影響。模型中采用隱式有限差分法對由歐拉參數描述產生的控制方程進行離散化。

首先，建立兩個坐標系，即弧坐標系和大地坐標系，如圖3 所示，其中前者以弧長s為變量，單位向量為a=(τ，n，b)，后者為笛卡爾坐標系，單位向量為b=(i，j，k)，這兩個坐標系有如下關系：

圖3 坐標系Fig.3 Coordinate systems

式中：θ為系泊切線的外平面角，φ為系泊切線的內平面角。

那么，基于對錨泊線無限小段的動力學分析，系泊錨鏈的動力模型可以用一階偏微分方程組來描述，如圖4所示。

圖4 錨鏈動力模型Fig.4 Steel chain dynamics model

在動力模型中包含了力平衡方程、力矩平衡方程、兼容性方程和曲率方程，具體如下所示：式中：ω1、ω2、ω3分別為角速度的扭轉分量、法向（面外）分量、副法向（面內）分量；u、v、w分別為系泊單元的切向速度、法向速度、副法向速度；f(ε)為張力—應變關系；ε為應變；Sn、Sb分別為剪力的法向、副法向分量；E為楊氏模量，GPa；G為剪切模量；I為系泊橫截面的平面慣性矩；IP為系泊橫截面的極慣性矩；Mt，Mn，Mb分別為大地坐標系中內力矩矢量的切向、法向、副法向分量。

上述方程包含10個未知變量，即：

這些方程可以用矩陣形式寫成偏微分方程組：

式中：Y為因變量向量。

如圖5 所示，采用有限差分Box 法進行時間和空間的離散化，np個節點將錨鏈空間離散成np?1 個單元，其中心差分對應：

圖5 有限差分法Fig.5 Finite difference method

代入方程組得到如下離散矩陣方程：

該矩陣包含10（np?1）個方程和10np個未知數。在k=1（錨點）和k=np（導纜孔）處添加邊界條件，錨鏈在運動的過程中，滿足錨點和導纜孔處的曲率為零，錨點處速度為零，即：

導纜孔處的速度與上部剛性浮體在導纜點處的速度相等，即：

最終采用松弛法求解矩陣，即可得到未知變量，實現系泊纜的數值模擬。

1.2 合成纖維纜的剛度求解方法

對于合成纖維纜，其應力應變關系f（ε）為非線性，Del Vecchio［1］和Fernandes［2］推導出了在循環荷載作用下合成纖維纜的楊氏模量計算公式：

式中：α′，β′，γ′為與材料特性有關的參數；Lm為平均張力與最大破斷張力（MBL）的比率；La為動張力變化幅值與MBL的比率。

如圖6所示，采用迭代法［10］求解合成纖維纜的靜態和動態剛度，迭代步驟為：

圖6 合成纖維纜動剛度計算程序的實現Fig.6 Implementation of the procedure for calculating the dynamic stiffness of synthetic fiber cables

1）計算上部平臺在定常風、流和二階波浪力荷載作用下的運動響應，得到上部平臺的初始平衡位置，此時導纜孔處的張力就是合成纖維纜頂端的初始預張力。合成纖維纜頂端的初始預張力為平均張力Lm。

2）求解合成纖維纜的靜剛度，即合成纖維纜在初始平衡位置時的剛度（此時La=0）：預先給定合成纖維纜的初始迭代剛度E1，并計算合成纖維纜在初始平衡位置的頂張力Lm1，然后利用式（18）計算得到合成纖維纜的剛度E2，并重新計算合成纖維纜在初始平衡位置的頂張力Lm2，重復迭代計算n次，直到滿足|En?En?1|≤ε時停止迭代（ε為預先給定的容差），并將計算結果En作為合成纖維纜的靜剛度。

3）求解合成纖維纜的動剛度，即合成纖維纜圍繞平衡位置做給定簡諧振動時的剛度（此時Lm為步驟1）求解得到的固定值）：將合成纖維纜的靜剛度作為初始迭代剛度E1，給定合成纖維纜頂端簡諧運動時程后進行動力分析，并計算合成纖維纜的動張力變化幅值La1，利用式（18）計算得到合成纖維纜的剛度E2，重新進行動力分析后計算得到合成纖維纜的動張力幅值變化La2，重復迭代計算n次，直到滿足|En?En?1|≤ε時停止迭代（ε為預先給定的容差），并將計算結果En作為合成纖維纜的動剛度。

對于由“鏈—合成纖維纜—鏈”結構組成的復合系泊鏈纜，在全鏈程序的基礎上，將復合系泊鏈纜按照材料種類進行分段，并將每一段的參數寫入到對應桿離散單元中，再結合合成纖維纜的靜剛度和動剛度迭代步驟，將迭代式（18）、對應的參數和迭代過程通過程序實現。在迭代過程中，每次迭代計算用到的軸向剛度均來自于上一次迭代，并在每次迭代過后輸出頂張力和軸向剛度，以便應用圖6的迭代過程進行動靜剛度迭代。

基于桿單元模型采用有限差分法建立了具有鏈—合成纖維纜—鏈結構的復合系泊鏈纜數值模型，下面將其應用于全鋼鏈和鏈—纜—鏈結構復合系泊鏈纜的數值模擬中，并將模型試驗和算例結果進行對比驗證。

2 全鋼鏈的模型驗證

為了驗證系泊鏈纜數值模型在全鋼鏈模擬中的準確性，進行了鋼鏈的算例驗證和模型試驗驗證。

2.1 鋼錨鏈算例模擬與驗證

2.1.1 試驗設置

采用Azcona 等［17］的單根鋼錨鏈模型試驗結果進行數值模型的驗證。試驗布置如圖7所示，波浪水槽的尺寸為50 m×30 m×5 m（長×寬×高）。單根鋼錨鏈浸沒在水池中，形成懸鏈線形狀，底端錨點固定在水槽底板上，頂端系纜點通過測力計連接到驅動器。試驗過程中，系纜點在驅動器的激勵下在懸鏈線平面內繞平衡位置做水平方向的正弦往復運動。錨鏈參數如表2所示，試驗工況設置如表3所示，工況中選取了兩種不同的錨鏈水平跨距配置，每種配置下進行了1個靜態工況和3個不同周期動態工況的試驗。

圖7 試驗布置示意Fig.7 Schematic diagram of the cases model

表2 錨鏈參數Tab.2 Steel chain parameters

表3 試驗工況Tab.3 Experimental cases

2.1.2 算例結果及驗證

將各工況結果和數值模擬結果做對比，如圖8～10和表4所示，其中圖8和表4為工況1和2的2種靜態工況的對比結果，圖9為配置1錨鏈動態工況的對比結果，圖10為配置2錨鏈動態工況的對比結果。

圖8 工況1和2的試驗和程序計算靜態形狀比較Fig.8 Comparison of experimental and programmed static shapes for Cases No.1 and 2

圖9 工況3～5試驗和程序計算頂張力與系纜點x坐標關系Fig.9 Experimental and procedural calculation of top tension relating to the x coordinate of the fairlead point for Cases No.3～5

圖10 工況6～8試驗和程序計算頂張力與系纜點x坐標關系Fig.10 Experimental and procedural calculation of top tension relating to the x coordinate of the fairlead point for Cases No.6～8

表4 靜態情況頂張力Tab.4 Top tension of static condition

圖8為工況1和2對應的錨鏈空間形態，實線為試驗測量結果，虛線為數值模擬結果，可見兩種不同水平跨距工況下數值模型可以很好地模擬錨鏈的靜態空間形態。同時，表4 中對比了兩種靜態工況下試驗與數值計算得到的頂張力，可見兩者的誤差在3%以內。

圖9 和10 為不同水平跨距的配置下各工況頂張力試驗與數值計算結果的對比。圖9 和10 中橫軸和縱軸分別為系纜點位移和對應的頂張力，實線代表試驗測量結果，虛線代表程序計算結果。從圖9 和10 中可以看出，數值計算得到的各工況下動態張力結果與試驗測量結果符合較好。由于數值振蕩的存在，數值模擬結果在初始階段會出現明顯的高頻振蕩，振蕩的周期為錨鏈弦振動固有周期，數值振蕩在初始的系泊纜運動周期內會迅速衰減消失，對計算結果無影響。

從圖8～10及表4可以看出，對于單根鋼鏈，無論是靜態還是動態情況，數值計算結果都與算例結果相差不大，曲線擬合度較高，初步驗證了該數值模型可應用于鋼錨鏈的數值模擬中。

2.2 單根錨鏈模型試驗與驗證

2.2.1 試驗設置

在波流水槽中開展單根鋼錨鏈模型試驗并進行數值模型的驗證，試驗中錨鏈參數如表5所示。與2.1節算例中系纜點做水平往復運動不同，這里試驗中系纜點做圓周運動。如圖11、12 所示，系纜點連接在圓盤上，圓盤上的系纜點可設置在不同的半徑處，電機可以產生不同的轉速，使系纜點產生不同周期和幅值的圓周運動。系纜點上連接測壓計用于測量錨鏈的頂張力。試驗工況如表6 所示，設置不同激勵半徑和電機轉速的25個工況進行試驗。

圖11 試驗布置示意Fig.11 Schematic diagram of the experimental arrangement

圖12 試驗實物Fig.12 Setup of the experiment

表5 錨鏈參數Tab.5 Steel chain parameters

表6 試驗工況Tab.6 Experimental cases

2.2.2 試驗結果及驗證

通過數值模擬得到各工況下頂張力時歷曲線和頂張力幅值并與試驗結果進行對比，驗證數值預報程序的準確性。半徑r=3 cm 的對比結果如圖13～15所示，r=4 cm 的對比結果如圖16～18所示，r=5 cm 的對比結果如圖19～21所示。

圖13 工況1頂張力時歷曲線對比Fig.13 Comparison of top tension time histories for case No.1

圖14 工況5頂張力時歷曲線對比Fig.14 Comparison of top tension time histories for case No.5

從圖13 和14，圖16 和17，圖19 和20 可以看出，試驗和數值計算的頂張力時歷曲線擬合度很高，因此進一步驗證了開發的數值模型可應用于全鏈。當激勵周期一定時，旋轉半徑越大，錨鏈的頂張力越大，當激勵半徑一定時，旋轉周期越小，頂張力越大。同時，圖15、18 和21 顯示，當激勵半徑一定時，旋轉周期越小，數值計算得到的頂張力幅值與試驗的差異越大。

圖15 工況1～5頂張力幅值對比Fig.15 Comparison of top tension amplitude for cases No.1～5

圖16 工況11頂張力時歷曲線對比Fig.16 Comparison of top tension time histories for case No.11

圖17 工況15頂張力時歷曲線對比Fig.17 Comparison of top tension time histories for case No.15

圖18 工況11～15頂張力幅值對比Fig.18 Comparison of top tension amplitude for cases No.11～15

圖19 工況21頂張力時歷曲線對比Fig.19 Comparison of top tension time histories for case No.21

圖21 工況21～25頂張力幅值對比Fig.21 Comparison of top tension amplitude for cases No.21～25

此外，與圖9 和10 中相似，在圖13 和14 的頂張力初始階段也出現了由數值振蕩造成的高頻振蕩，但在幾個周期后這種振蕩很快衰減消失。

3 鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的模擬與驗證

依據喬東生和歐進萍［10］提供的算例結果對數值模型在鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜模擬中的準確性進行驗證。

3.1 模擬工況

算例中采用鏈—復合纖維纜—鏈式復合系泊鏈纜布置，如圖22 所示，其中OA段和BC段為鋼鏈，AB段為由聚酯纖維制成的合成纖維纜，相應參數如表7所示。

圖22 試驗布置示意Fig.22 Schematic diagram of the experimental arrangement

表7 鏈—纜—鏈錨泊線材料參數Tab.7 Chain?cable?chain mooring line material parameters

數值計算中將整段鏈纜劃分為100個等長的桿單元，圖22中i的范圍代表不同材料鏈纜的單元號范圍，程序依據表7對不同材料的桿單元賦予不同的材料參數。式（18）中的系數為α′= 14.469，β′= 0.211 3和γ′=0.269 7。采用數值模型分別對復合系泊鏈纜進行靜剛度和動剛度迭代，動剛度迭代由波頻運動和慢漂運動組成，動剛度下計算工況如表8所示。

表8 動剛度計算工況Tab.8 Calculation cases

3.2 結果與驗證

首先，按照1.2節的流程進行靜剛度迭代，其中容差ε設置為106Pa。以T=200 s為一個迭代周期，迭代結果如表9所示，其中0，1和2表示迭代次數，并由式（19）計算文獻中算例結果與文中數值模擬結果間的誤差δ。

式中：A為鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的模擬結果，B為參考文獻［10］的算例結果。

表9中顯示了不同初始頂張力下的靜剛度迭代結果。

圖23為初始頂端預張力為1 334 kN時，靜剛度迭代過程中楊氏模量隨時間的迭代曲線。該工況下第一次和第二次的迭代結果分別對應圖中（200，16.39）和（400，16.39）兩點。從表9可以看出，靜剛度數值模擬結果與參考文獻［10］中的結果差異較小，最大誤差在5%以內，因此該數值模型可用于鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的靜剛度迭代。

圖23 楊氏模量隨時間的迭代曲線Fig.23 Iteration of Young′s modulus with time

根據1.2 節的流程進行動剛度迭代，各工況下的迭代結果如表10 所示，0～6 表示迭代次數，每個周期迭代一次。誤差同樣由式（19）計算。對于波頻運動，取t=0.01 s為時間步長。La是動張力變化幅值占最大破斷張力（MBL）的百分比。動張力變化幅值是通過獲得前一周期動張力的最大值和最小值來計算的。對于慢漂運動，選擇了合適的時間步長后，La以同樣的方法求解。

表10 動剛度迭代結果Tab.10 Dynamic stiffness iterative results

圖24 和25 分別為工況1.1 中頂張力和軸向剛度的時歷曲線。圖26 和27 分別展示了工況2.1 中頂張力和軸向剛度的時歷曲線。

圖24 工況1.1頂張力時歷曲線Fig.24 Top tension time history for case No.1.1

圖25 工況1.1軸向剛度迭代曲線Fig.25 Iteration of axial stiffness for case No.1.1

圖26 工況2.1頂張力時歷曲線Fig.26 Top tension time history for case No.2.1

圖27 工況2.1軸向剛度迭代曲線Fig.27 Iteration of axial stiffness for case No.2.1

根據表8 和10 可知，對于慢漂運動，在相同的激勵周期下，激勵半徑越大，復合系泊鏈纜的最大張力越大，軸向剛度越小，動剛度迭代數值計算結果與算例的誤差基本保持不變。在相同的激勵半徑下，激勵周期越小，復合系泊鏈纜的最大張力越大，軸向剛度越小，動剛度迭代數值計算結果與算例的誤差增加。對于波頻運動，在相同的激勵周期下，激勵半徑越大，復合系泊鏈纜的最大張力越大，軸向剛度越小，動剛度迭代數值計算結果與算例的誤差增大；在相同的激勵半徑下，其規律與慢漂運動相同。總體上，除工況1.4 和1.5外，動剛度迭代數值計算結果與算例結果的誤差在10%以內，這表明該數值模型可用于鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的動剛度迭代。

由于式（18）中的系數α′、β′和γ′均是與纜繩直徑、股數、結構、材料、荷載作用方式等相關的參數。對于聚酯纜，在正弦式載荷的作用下，α′的取值范圍為10～23 GPa，參數β′和γ′的取值范圍一般分別為0～0.25 GPa和0～0.32 GPa。當系數α′、β′和γ′在取值范圍內變化時，靜剛度和動剛度的迭代結果也隨之變化，當式（18）中系數α′、β′分別取10 GPa 和0.1 GPa 時，靜剛度的楊氏模量取得最小值Emin；當式（18）中系數α′、β′分別取20 GPa和0.25 GPa時，靜剛度的楊氏模量取得最大值Emax，并由式（19）計算文獻中算例結果與本文數值模擬結果間的誤差。各工況下楊氏模量最大值和最小值Emax、Emin及其對應誤差分別如表11和表12所示。其中，表11 中當彈性模量取得最大值Emax時，系數α′、β′分別增大了38.23%和18.32%，引起誤差最高達到了41.72%，當彈性模量取得最小值Emin時，系數α′、β′分別增大了30.89%和52.67%，引起誤差最高達到了35.42%。表12 中當彈性模量取得最大值Emax時，系數α′、β′分別增大了38.23%和18.32%，系數γ′減小了62.92%，引起誤差最高達到了55.48%，當彈性模量取得最小值Emin時，系數α′、β′分別減小了30.89%和52.67%，系數γ′增大了18.65%，引起誤差最高達到了68.22%。因此，在對復合系泊鏈纜進行剛度迭代計算時，要準確選取相應的參數α′、β′和γ′，盡量減小計算誤差。

表11 靜剛度經驗公式系數影響Tab.11 The influence of coefficient in empirical formulas for static stiffness

表12 動剛度經驗公式系數影響Tab.12 The influence of coefficient in empirical formulas for dynamic stiffness

4 結 語

建立了基于有限差分法的復合系泊鏈纜動力模型。文中使用已有算例和模型試驗對鋼鏈的頂張力進行了模擬，并使用已有算例對鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的頂張力和剛度進行了模擬。得出以下結論：

1）單根錨鏈算例和模型試驗驗證了數值模擬全鋼鏈的準確性。鋼鏈頂張力的大小與激勵半徑和激勵周期有關，當激勵半徑一定時，激勵周期越小，頂張力及其幅值變化越大，鋼鏈運動就越劇烈；當激勵周期一定時，激勵半徑越小，頂張力及其幅值變化越小，鋼鏈運動就越平穩。

2）通過對鏈—纜—鏈式復合系泊鏈纜的驗證，表明該數值模型可應用于復合系泊鏈纜。對于靜剛度迭代，數值模擬結果與算例結果差異較小。對于動剛度迭代，除個別大幅慢漂工況外，兩者也有較好的吻合。且當激勵半徑一定時，激勵周期越小，復合系泊鏈纜頂張力越大，相同周期內La和Lm越大，軸向剛度越小，運動越劇烈；當激勵周期一定時，激勵半徑越小，復合系泊鏈纜頂張力越小，相同周期內La和Lm越小，軸向剛度越大，運動越平穩。