數學理解視域下跨學科項目化學習的實施

黃賢明 陳鋒

【摘 要】數學跨學科學習的開展需要學生在理解數學知識及其他學科知識內涵的基礎上，發揮應用意識與創新精神，實現跨學科知識的遷移應用與深度發展。本文提出的基于數學理解的項目化學習過程模型，以滬科版“多邊形的鑲嵌”為例，在教學中創設藝術情境，確定本質問題，激活經驗性理解；歸納概念共性，提煉概念特征，生成形式化理解；聚焦探究問題，構建數學模型，形成結構化理解；拓寬探究思路，應用數學模型，達成遷移性理解；發揮創造能力，創作鑲嵌作品，促進文化性理解。本文的教學實踐希望可以為數學跨學科項目化學習的實施提供參考。

【關鍵詞】數學理解；跨學科項目化學習；多邊形的鑲嵌

一、引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出：“設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求。”［1］前言4新課標明確指出，綜合與實踐主要包括主題活動和項目學習等，初中階段主要采用項目式學習。［1］42由此可見，以綜合與實踐為載體的數學跨學科項目化學習是當下教育改革的重點內容。理解是教育最本質的追求，數學學習強調理解，數學跨學科學習亦是如此。跨學科學習的開展需要學生在理解數學知識及其他學科知識內涵的基礎上，發揮應用意識與創新精神，實現跨學科知識的遷移應用與深度發展。但在實踐教學中，教師常常忽視學生的數學理解水平，組織了高于學生認知水平的教學，長此以往，學生參與跨學科學習的興趣不高、積極性不強。因此，跨學科學習的教學組織既要關注學生的數學理解水平層次，設置適切的教學“起點”與“終點”，也要讓學生經歷完整的數學理解過程，發展學生的跨學科素養與數學核心素養，真正發揮數學跨學科項目化學習的價值。

二、數學理解與跨學科項目化學習

（一）數學理解的內涵

認知心理學認為，理解實質上就是學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據已有的信息建構內部心理表征，進而獲得心理意義的過程。理解通常被看成是一種認知方式，是一種獲得認識的手段。在理解的基礎上，數學理解是指讓學生經歷對數學對象的理解性學習后，形成對數學對象及其知識外延的本質性認識，從而能夠描述相關數學對象的內涵、區別、聯系，形成數學對象的知識網絡，實現將數學對象應用于問題的發現與解決中。數學理解的形成并不是一蹴而就的，研究表明，數學理解性學習需要經歷經驗性理解、形式化理解、結構化理解、遷移性理解與文化性理解五大階段，這其中數學理解的層級不斷提高，而文化性理解貫穿始終，如圖1所示。［2］圖1模型為數學理解性學習的開展提供了理論基礎，同時也為指向數學理解的跨學科項目化學習的設計與實施提供了明確方向。數學理解可以促進學生進行深度學習，發展學科關鍵能力，形成良好的科學觀念。

（二）數學跨學科項目化學習

時代在進步，社會的發展需要綜合型人才，傳統的分科課程模式已經不再能夠滿足社會發展的需要，我國基礎教育課程需要改革創新，在這種情況下，跨學科課程應運而生［3］。項目化學習能夠最大程度地賦予學生主體地位，將課堂真正還給學生。

數學跨學科項目化學習是以問題解決為導向，整合數學與其他學科（如物理、地理、藝術等）的知識與方法，讓學生經歷實踐、探究、體驗、合作、交流等學習過程，從中積累數學活動經驗，體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與現實世界之間的關聯。跨學科項目化學習強調在真實的項目情境中激發學生的問題意識，提出聚合數學本質的探究問題，并在跨學科綜合性思維的指導下分析問題，以數學為主體協同解決問題。［4］不難發現，跨學科項目化學習的實質就是引導學生在項目活動中逐漸形成對跨學科知識的理解、遷移、應用與創造。

我國的跨學科課程主要呈現出兩種模式：一種是以一門學科為引領，在教學中滲透其他學科；另一種是將多門學科作為聯合主體。前者就是項目化學習，借助多門學科之間不可分割的聯系，通過持續性的探究來達成問題的解決。

（三）數學理解與項目化學習

項目化學習的內核是學科關鍵概念與能力，它不是單一的、零散的知識點，而是以關鍵知識點為核心的知識結構和關鍵能力。這與數學理解的概念不謀而合，即在原有概念的基礎上，形成新的認知結構。項目化學習因為問題開放、面向的對象開放、過程開放、結果開放，在實際教學中容易出現組織結構松散、學習者思維深度不夠等問題。數學理解則可以為優化項目化學習提供有力的抓手，讓項目化學習始終以學習者數學素養的提高為目標，即通過創設真實情境，以問題為驅動，在活動中促進學生理解數學知識，形成數學思維。因此，在數學理解視域下實施項目化學習時，首先需要結合學情來深入分析項目化學習涉及的學科關鍵概念與能力及需要達到的目標水平，合理確定項目化學習的難度與深度。接著，在目標水平的指引下由淺入深地組織項目化學習的各個環節，讓學生經歷數學理解的五大階段，在真實項目情境的探索中激活學生對學科關鍵概念與能力的經驗性理解，在項目知識的歸納與提煉中生成形式化理解，在知識脈絡與體系的建構中形成結構化理解，在應用知識解決項目問題的過程中達成遷移性理解，在實踐感悟與反思評價中發展文化性理解。最終，數學理解的五大階段貫穿整個項目化學習，促進學生對學科關鍵概念與能力的理解向高水平、深層次發展，而項目化學習也在一定程度上推進了“為理解而教”“為遷移而教”的教學理念的落實。

三、“多邊形的鑲嵌”的案例分析

（一）整體分析

古希臘著名數學家畢達哥拉斯認為，數與美緊密關聯，甚至可以說，數是美的本源，一切藝術都產生于數。平面鑲嵌是幾何學中的一顆璀璨之星，它既是簡潔、對稱、和諧、奇異等數學美的集中體現，也是數學在繪畫、建筑等領域廣泛應用的現實寫照。平面鑲嵌的內容在人教版、浙教版、滬科版等版本的初中數學教材中均有體現，是以綜合與實踐為載體的跨學科項目化學習的重要課例，能充分展現數學與藝術的跨學科融合。

滬科版“多邊形的鑲嵌”先給出了平面鑲嵌的概念與具體案例，進而指出正多邊形與一般三角形、四邊形的平面鑲嵌，最后給出兩個課題（供學生任選其一展開探究）：①收集生活中的各種鑲嵌地板、地磚、墻紙的圖案，把它們復制下來與同學交流，并研究它們的構成和拼接方法。②請學生按照要求（分別用一種正多邊形、兩種正多邊形和一種非正多邊形）設計一個多邊形的鑲嵌圖案。不難發現，教材希望學生在了解平面鑲嵌的基礎上開展對“生活中平面鑲嵌”與“（正）多邊形的平面鑲嵌”的探索，但教材蜻蜓點水式的概念引入并不能有力促進學生對平面鑲嵌產生較為深入的理解，這就會導致學生無法將概念遷移到探究活動中，不利于學生數學理解的層級發展。

因此，本文從跨學科的視角出發對教材內容進行解構與重組，創設以埃舍爾的鑲嵌畫為背景的藝術情境，提出驅動性問題，引導學生從藝術學科出發探索鑲嵌畫的數學原理，抽象出平面鑲嵌的概念與特征，并用數學模型語言表達，進而探究一種或多種正多邊形平面鑲嵌的情況，發展學生的代數推理、模型觀念等素養。在了解鑲嵌畫的創作原理后，開展以“創作一幅鑲嵌畫”為主題的實踐活動，促進學生對平面鑲嵌知識的遷移與應用，推動學生形成對平面鑲嵌的文化性理解。綜上所述，本課設計的思路如圖2所示。

（二）案例實施

【環節1】創設藝術情境，確定本質問題，激活經驗性理解。

播放視頻，視頻圍繞埃舍爾（M. C. Escher）的畫作《天空與水》，呈現了一幅空中的鳥與水中的魚相互交錯的動態景象，指明了畫作中共生、漸變、鑲嵌的圖形結構，突顯了畫作獨特的藝術美、科學美。緊接著，簡單介紹畫家埃舍爾并呈現他的平面鑲嵌畫，如《騎士》《圓形極限Ⅳ》《蜥蜴》等（教師提供圖片）。

引導學生用數學的眼光觀察埃舍爾的鑲嵌畫，并鼓勵學生提出問題。教師從眾多問題中提煉本質問題：鑲嵌畫的數學原理是什么？進一步聯系生活實際，啟發學生對鑲嵌概念的思考與闡述，初步勾勒平面鑲嵌概念的基本輪廓。

【設計意圖】以視頻創設真實的藝術情境，將靜態的鑲嵌畫以動態的形式呈現，激發了學生的興趣，讓其感受到數學知識在藝術創作中的應用。通過提煉本質問題，讓學生從藝術美回歸到數學美，探尋鑲嵌畫“美”的緣由。進而，讓學生依據生活經驗，思考鑲嵌畫的數學原理，激活了學生對鑲嵌概念的經驗性理解，讓鑲嵌的概念從情境中遷移而來，又扎根生長于學生的原有經驗，為后續概念的引入做鋪墊。

【環節2】歸納概念共性，提煉概念特征，生成形式化理解。

在學生暢所欲言之后，教師基于學生對平面鑲嵌的經驗性理解，結合埃舍爾的鑲嵌畫與生活實例，提煉出平面鑲嵌的概念：用形狀相同或不同的平面封閉圖形覆蓋平面區域，使圖形間既無縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里叫作平面鑲嵌。得出概念后，教師引導學生指出平面鑲嵌的關鍵特征——無縫隙、不重疊。

接著，教師圍繞平面鑲嵌的概念，組織小組活動，讓學生嘗試用素材包中的正多邊形、普通三角形和四邊形的紙片以及埃舍爾鑲嵌畫中的蜥蜴、小矮人、騎士等元素的紙片構造平面鑲嵌。學生在經歷真正的實踐后會思考“如何才能構成平面鑲嵌”，即平面鑲嵌的數學模型表達。在此基礎上，教師進一步引導學生從特殊的正多邊形入手展開研究。

【設計意圖】數學本質上是“玩”概念，但數學概念是嚴謹且抽象的東西，學生較難立刻形成內在認同。通過實踐操作，學生獲得了對平面鑲嵌的直觀感受，形成了對平面鑲嵌的形式化理解，同時也啟發了一部分學生用數學的思維思考平面鑲嵌，產生了新的探究方向，推動了課堂的深入發展。此外，教師要引導學生參與實踐探索，積極與情境交互，鼓勵他們提出問題，讓學生成為跨學科學習的主角。

【環節3】聚焦探究問題，構建數學模型，形成結構化理解。

小組活動后，教師挑選典型的多邊形鑲嵌的案例進行展示（如圖3），重點標出各個多邊形相交的頂點，再呈現五邊形不能平面鑲嵌的例子，啟發學生用數學的語言來表達“無縫隙、不重疊”，即平面鑲嵌的數學原理是“共頂點的各個角之和等于360°”。

在了解平面鑲嵌的數學原理后，教師鼓勵學生完成探究子任務：用一種正多邊形完成平面鑲嵌。通過對多邊形單個內角度數的觀察與計算，學生發現正三角形、正方形和正六邊形的單個內角度數能被360°整除，因此，正三角形、正方形和正六邊形能夠平面鑲嵌。教師指出，我們無法列出所有的多邊形單個內角度數，因此用列舉觀察的方法并不嚴謹，那么能否嘗試用代數推理的方式證明這個結論呢？即證明m個正n邊形能平面鑲嵌。

學生證明：因為m·[180°（n-2）n]=360°，所以m=[2nn-2=2（n-2）+4n-2=2+4n-2]；因為m為正整數，所以n=3，4，6。

探究后，教師指出，埃舍爾的鑲嵌畫大多是在單個正多邊形平面鑲嵌的基礎上進行平移與旋轉而得，例如畫作《蜥蜴》中蜥蜴的原形就是正六邊形，畫作《飛馬》中飛馬的原形就是正方形等。

【設計意圖】跨學科項目化學習要堅持學科立場。在數學本位的跨學科項目化學習中，要從數學的視角出發探索跨學科問題，分析跨學科現象，揭示其中的數學原理。在獲得平面鑲嵌的概念與特征后，通過對實例的觀察與數據的分析，構建多邊形平面鑲嵌的數學模型，可以發展學生的抽象能力、推理能力與模型觀念，也能促進學生形成對平面鑲嵌的結構化理解。

【環節4】拓寬探究思路，應用數學模型，達成遷移性理解。

教師繼續追問：若用兩種正多邊形進行平面鑲嵌，可以建立什么數學模型呢？三種呢？四種呢？啟發學生類比環節3的探究思路并遷移應用到解決新問題中。假設a個正n邊形和b個正m邊形能夠平面鑲嵌，學生類比可得兩種正多邊形能夠平面鑲嵌需要滿足的關系式，即a·[180°（n-2）n]+b·[180°（m-2）m=360°]，化簡得[a（n-2）n]+[b（m-2）m]=2，其中n，m≥3，且a，b，n，m為正整數。

緊接著，讓學生利用所建立的數學模型，思考如下問題：①正方形與正六邊形能平面鑲嵌嗎？為什么？②正方形與正八邊形能平面鑲嵌嗎？為什么？③通過實踐操作，請你給出用兩種正多邊形進行平面鑲嵌的具體方案。教師以問題①為例，先假設存在x個正方形與y個正六邊形能平面鑲嵌，可得[12x+23y=2]，引導學生將“兩種正多邊形能否平面鑲嵌”的問題轉化為“二元一次方程是否存在正整數解”的問題，學生通過依次代入數據發現該方程不存在正整數解，即正方形與正六邊形不能平面鑲嵌。在教師的示范下，學生能夠順利地解決問題②與問題③，最后學生共同努力，總結出兩種正多邊形平面鑲嵌的六種情況。

最后，教師將“探究：三種及三種以上正多邊形平面鑲嵌的情況”作為課后作業，要求學生以小論文的形式撰寫探究思路、結果與心得。

【設計意圖】綜合實踐活動強調綜合性與實踐性。綜合性是指活動中涉及的知識廣泛、思想豐富、學科多樣，能夠實現學生綜合能力的提升。實踐性是指學生能夠在教師的指導下參與探究活動的全過程。在用兩種正多邊形進行平面鑲嵌的探究與應用中，學生需要將平面鑲嵌、多邊形內角和、方程、分式等知識綜合起來，建立數學知識之間的聯系，形成問題解決的基本路徑，再加以方程思想、轉化思想、類比思想、抽象思想等數學思想方法的應用，最終才能解決問題。此過程充分彰顯了探究活動的綜合性與實踐性，促進了學生抽象能力、模型觀念、推理能力、應用意識等素養的發展，實現了平面鑲嵌知識從結構化理解向遷移性理解的飛躍。

【環節5】發揮創造能力，創作鑲嵌作品，促進文化性理解。

埃舍爾的鑲嵌畫是充滿數學氣息的藝術作品，他采用幾何學中的反射、旋轉等操作，獨具匠心地將基本的幾何圖形變成了人、鳥、魚等圖案，令人拍案叫絕。教師播放視頻，視頻介紹了埃舍爾畫作《飛馬》與《蜥蜴》的創作思路。觀看視頻后，教師鼓勵學生總結埃舍爾的鑲嵌畫的創作思路，并布置任務：類比埃舍爾的鑲嵌畫的創作思路，發揮想象力，創作一幅鑲嵌作品。學生創作完成后，先小組內交流創作意圖與思路，而后教師請學生上臺展示作品并分享創作意圖與思路。

【設計意圖】跨學科項目化學習既要關注學科差異，又要打破學科界限，使得探究從跨學科情境中來又回歸到應用于跨學科情境中去。本環節首先通過視頻展示埃舍爾的鑲嵌畫的創作思路，為學生搭建理解性的學習環境，提供知識再創作的支架，加深學生對知識的理解。接著，在創作活動中讓學生將平面鑲嵌的知識通過鑲嵌畫的形式表現出來，既實現了數學知識（鑲嵌、圖形變換等）的應用，推進學習走向深層，又回歸到藝術創作中，發展了學生創造美的能力，發揮了數學學科的美育功效［5］。最后，在成果展示環節中，開展不同類型的活動，如情景對話、口頭匯報、交互點評等，既可以讓教師檢測本節課學生的學習情況，又可以讓學生將過程化內容表述出來，提升了學生的交流表達能力，促進了學生文化性理解的形成與發展。

四、結語

“多邊形的鑲嵌”是滬科版數學教材中為數不多的以綜合與實踐為載體的跨學科主題項目，它既在建筑中廣泛應用，是學生隨處可見的生活素材，也在藝術創作中發揮著獨特的價值，是數學美的藝術體現。開展跨學科項目化學習應該抓住教材中、生活中隨處可見的跨學科素材進行加工［6］，創設真實的跨學科情境，提煉探究的核心問題，組織實踐探究活動，引領學生經歷跨學科探究的完整過程，提升應用與創新能力，發展學生的跨學科素養，實現學生數學理解高水平、深層次的進階。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］黃賢明. 數學理解的內涵、意義與實現途徑［J］. 江蘇教育研究，2023（3/4）：124-129.

［3］張維忠，趙千惠. 數學課程與教學中的跨學科與綜合實踐活動：《義務教育數學課程標準（2022年版）》的新變化［J］. 中小學課堂教學研究，2022（12）：1-5.

［4］曹一鳴，湯牧文. 數學跨學科主題學習設計與實施中需要關注的幾個問題［J］. 中小學課堂教學研究，2023（4）：1-3，65.

［5］黃賢明. 數學學科美育：內涵、價值與實現路徑［J］.中學數學雜志，2022（12）：5-8.

［6］孫虎. 指向核心素養的初中數學跨學科項目實施研究：以日本初中數學教材跨學科內容設置為例［J］. 中小學課堂教學研究，2022（8）：67-70.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】黃賢明，二級教師，主要研究方向為初中數學教學研究；陳鋒，正高級教師，主要研究方向為初中數學教學研究。

【基金項目】中國教育學會2022年度教育科研一般規劃課題“智能技術支持的‘數學+跨學科項目式學習研究”（202200160304B）；江蘇省2022年教育科學規劃重點課題“基于跨學科的初中數學跨學科微項目化學習行動研究”（B/2022/03/61）；蘇州市教育科學“十四五”規劃2022年度課題“數學理解視域下跨學科教學的實踐研究”（2022/LX/02/081/10）