“集合的基本運算”類比教學研究

劉逸晴

［摘 要］類比作為重要的數學思想在中學數學教學中有著豐富的應用。以“集合的基本運算”為例，教師可以采用類比教學，在舊知識與新知識之間建立聯系，實現縱向的認知推進和橫向的知識遷移。

［關鍵詞］集合；基本運算；類比教學

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）11-0016-03

波利亞曾說：“類比的核心是關系上的相似。”從本質上看，類比即類同、類異、類推，借同化、順應與平衡納入認知圖式，進而探索元素、對象、系統之間的內在關系，實現認知結構的發展和遷移。從思維上看，類比是“從特殊到特殊”或“從一般到一般”的推理。類比作為重要的數學思想在中學數學教學中有著豐富的應用。

一、教學設計

（一）路徑類比，集合運算學習的起始點

【教學片段1】

教師：實數有加、減、乘、除等運算，集合是否也有類似的運算？

問題1：類比實數的加法運算，你能得出下列集合之間的關系嗎？

（1）[A=1，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]。

（2）[A=xx是有理數]，[B=xx是無理數]，[C=xx是實數]。

問題2：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關系嗎？

設計意圖：實數的研究是從含義與表示到大小關系再到四則運算，類比得出“集合的含義與表示→集合的關系→集合的運算”的研究路徑。類比實數的四則運算，引入集合的運算，讓學生感受探究集合運算的必要性。一般地，問題發現和提出的過程有三種途徑：一是根據生產生活的需要，通過設計實際問題讓學生在解決問題的過程中發現運算學習的必要性，從而抽象出集合的運算；二是類比方法遷移，類比實數的運算研究，重現從特殊到一般的歸納以及從一般到特殊的演繹；三是通過法則的逆運算發現新的法則。問題2的舉例，建議從數學、生活等不同角度切入，觀察分析，豐富實例，以增強學生對抽象概念的直觀理解。

（二）形式類比，概括三種語言的關鍵點

【教學片段2】

教師：類比前一節“子集的三種語言表述”，你能分別用自然語言、符號語言和圖形語言準確表達上述關系嗎？

自然語言：一般地，由所有屬于集合[A]或屬于集合[B]的元素組成的集合，稱為集合[A]與[B]的并集，記作[A∪B]（讀作“[A]并[B]”）。

符號語言：[A∪B=xx∈A，或x∈B]。

圖形語言：[A][B]。

思考：對于一個數學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結果來認識它。那么你能說說并集的運算對象、運算法則以及運算結果嗎？

追問1：問題1中的集合關系如何利用符號表示呢？

追問2：如果問題1中的集合[A=1，2，3，5]，[B=2，4，6]，[C=1，2，3，4，5，6]，那么[A∪B=C]依然成立嗎？

注意，在求兩個集合的并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次。

［例題1］設[A=4，5，6，8]，[B=3，5，7，8]，求[A∪B]。

［例題2］設集合[A=x-1

思考：下列關系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=A]。

設計意圖：類比子集的三種語言，給出并集的定義及其三種語言表示。類比學習，滲透集合的三種語言，對后面的交集等其他集合運算的規范表述產生正遷移。設置環環相扣的問題串，進一步建構概念，結合實數的符號運算、關聯類比，分別從三種表征中掌握并集的運算對象、運算法則和運算結果。整個過程從特殊到一般，從具體到抽象，猜想、探索、歸納形成概念，再從一般到特殊，熟練轉換三種語言，引導學生運用并集的概念驗證、解釋運算規律，自然進行認知體系的再建構、再擴充，感受并集運算的存在性和合理性，達到“既見樹木，又見森林”的效果。

（三）過程類比，探究交集運算的接力點

【教學片段3】

教師：實數有加、減、乘、除等多種運算，集合的基本運算除了并集，是否還有其他運算？

問題3：觀察實例，你能否得出以下集合之間的關系？

（1）[A=2，4，6，8，10]，[B=3，5，8，12]，[C=8]；

（2）[A=xx]是我校2022級女[生]，[B=xx]是我校2022級8班學[生]，[C=xx] 是我校2022級8班女[生]。

問題4：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關系嗎？

追問1：你能分別用自然語言、符號語言和圖形語言準確表達上述關系嗎？

自然語言：一般地，由所有屬于集合[A]且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合[A]與[B]的交集，記作[A∩B]（讀作“[A]交[B]”）。

符號語言：[A∩B=xx∈A，且x∈B]。

圖形語言：[A][B]。

教師：對于一個數學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結果來認識它。那么你能說說交集的運算對象、運算法則以及運算結果嗎？

追問2：問題3如何利用符號表示呢？

追問3：如果集合[A=1，2]，[B=3]，求[A?B]。

注意，當兩個集合[A]、[B]沒有公共元素時，不能說它們沒有交集，[A∩B=?]。

教師：下列關系式成立嗎？

（1）[A?A=A]；（2）[A??=?]。

設計意圖：類比并集的學習路徑，學生獨立思考、交流討論，得到交集的定義以及符號語言、圖形語言等多元表征。層層設問，引導學生對定義的合理性和唯一性進行解釋，揭示其中蘊含的類比思想。讓學生充分經歷運算的建構過程，其中交集定義是核心，豐富實例是重點，運算法則是難點。

（四）結構類比，辨析比較兩者的不同點

【教學片段4】

教師出示交集、并集的對應關系，如下表所示：

[并集、交集的對應關系 并 ∪ 或 交 ∩ 且 ]

練習（幾何畫板實驗操作）：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥3]，求[A∪B]，[A∩B]。

變式：集合[A=x2≤x<4]，[B=xx≥2]，求[A∪B]，[A∩B]。

設計意圖：比較兩種集合運算的記法，辨析“并”“或”與記號“[∪]”之間的對應關系，以及“交”“且”與記號“[∩]”之間的對應關系。練習及其變式，通過簡單的變化，將學生的思維引向深入，實現不同情形的轉化。將零散的、具有內在聯系的、易混淆的概念和定義等歸類，類同也類異，深刻揭示知識間的聯系與區別，在辨析中加深理解，在對比中強化記憶，達到提質增效的目的。

（五）思想類比，補集運算學習的探究點

【教學片段5】

問題5：你是否能求出方程[（x-2）（x2-3）=0]在有理數范圍和實數范圍內的解集？

追問1：你還能列舉出類似的三個集合滿足上述關系嗎？

（有理數集、無理數集與實數集）

追問2：全集和補集之間是什么關系呢？

（補集是相對全集而言的，全集不同，補集一般不同。補集是全集的子集）

教師：對于一個數學運算，我們會從它的運算對象、運算法則以及運算結果來認識它。那么你能說說補集的運算對象、運算法則以及運算結果嗎？

設計意圖：類比并集、交集的研究過程，補集的學習采用“具體問題→共同特征→抽象概念→概念表示→概念應用”的研究路徑，以學生熟悉的實例為切入點，由此自然引入全集與補集。運用橫向類比的方式，以并集、交集為基礎，為學生搭建自主探究的平臺，完善學生原有的認知結構，促進學生對所學新知的內化。需要注意的是，類比學習要避免表面化和形式化，相對于并集與交集，補集是較難理解的，教學中教師需啟發學生深入本質去思考問題，培養辨析思維，多借助韋恩圖的直觀性幫助學生理解。

（六）歸納類比，數學思想方法的延伸點

【教學片段6】

問題6：回顧本單元的學習內容，并回答以下問題。

（1）什么是集合？如何研究集合？

（2）在研究集合的過程中，你學到了什么數學思想方法？

（3）用聯系的觀點看問題，可以使我們更深刻地理解數學知識。本章中我們類比數與數的關系和運算研究了集合與集合的關系和運算。你認為這樣的類比對發現和提出集合的問題有什么意義？

（4）你能類比數的減法運算給出集合的減法運算嗎？

引入一個新的數學對象后，需思考所需要研究的內容和途徑等有哪些。由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的推理形式稱為類比。類比是數學研究的一種重要思維方法。

設計意圖：集合學習遵循“含義與表示→基本關系→基本運算”的圖式研究規律，實現縱向類比，形成可復制、可推廣、可引申的研究路徑，為高中數學的學習做進一步的鋪墊。整體支架下總結本單元的學習內容，形成單元知識框架，體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性以及思維的系統性。以問題的形式提煉研究方法及數學思想，鼓勵學生學以致用。實際上，類比作為一種思維工具，利用已知生發出新知的增長點，能進行豐富的再創造工作，例如思想類比、歸納類比，以此得出數學思想方法的普適性。

二、教學反思

“集合的基本運算”處于集合章節的最終篇，也是開啟邏輯用語的起始篇。教材里的內容并不多，部分教師在教授本節內容時容易照本宣科，忽略對類比思想的應用。倘若基于類比組織教學，就能在原有內容的基礎上有所提升，不僅引出集合的研究內容和研究方法，還能讓學生掌握研究一類問題的基本途徑，為學生自主研究差集等集合運算提供理論支持，也為后續其他章節內容的學習奠定基礎。

（一）三條主線：明線、暗線、反思線

認知心理學認為，圍繞主線對同一類概念進行多元聯系表示，有利于揭示概念的本質。本節課中，教學明線是集合的基本運算，主要圍繞并集、交集和補集三種集合的運算展開循序漸進的教學。穿插其中的教學暗線是數學思想方法的滲透，類比實數的研究路徑，定位集合的運算研究；類比子集的形式化語言，得出并集的三種語言表述；類比并集的研究過程，呈現交集的運算特征；類比并集和交集的運算，分類辨析兩者的異同點；類比并集和交集的研究思路，探究全集和補集的概念要義；類比歸納知識體系，總結遷移至其他數學問題。“類比是一個偉大的領路人”，凸顯了數學思想在問題解決中的應用價值。第三條主線是反思線。問題是數學的心臟，教學過程中教師通過層層設問，引導學生不斷反思、重構。課堂小結以問題的形式啟發思維，從知識技能層面上升到過程方法層面，串點成線，明晰知識之間的縱橫聯系，深度挖掘，促進學習正向遷移。

（二）三輪類比：類同、類異、類推

類比遷移是指用熟悉的方法去解決陌生的問題的一種策略，通過分析、概括和綜合源問題而獲得一種圖式規則，并成功地把這一圖式規則運用于靶問題。本節課中，引導學生充分經歷從實數到集合的“類同”、從并集到交集的“類異”、從并集交集到全集補集的“類推”等多元過程，不斷引發學生數學思維的同化與順應，使學生多次感受“研究對象變化，而研究方式不變、數學思想不變”的本質屬性，一隅三反，豐富學生的數學學習體驗和提升學生的數學思維能力。

（三）三個階段：感性類比階段、理性類比階段、再感性類比階段

第一階段是“感性類比階段”，感性類比是一種相對簡單的類比，例如路徑類比、形式類比就屬于感性類比。在感性類比階段，學生往往可以通過自己的觀察比較發現新舊事物的相似之處，進而得到初步的遷移規律，產生新的類比結論，但這類結論往往停留于文字變動的機械替換，學生對規律本質的理性思考仍然存在不足。第二階段是“理性類比階段”，如過程、結構的類比均屬于理性類比，理性類比階段是類比學習最為關鍵的階段，在這一階段中，學生逐步發現和理解類比規律背后的本質特征，從“形似”過渡到“神似”。第三階段是“再感性類比階段”，在這個階段主要是進行更為深入的類比規律應用，以及豐富的再創造，比如進行思想類比、歸納類比，類比的寶貴之處也恰恰體現在這一階段，需要針對不同對象，分時段地、長期地滲透。

（責任編輯 黃桂堅）