一道解析幾何定點問題的解法探究與推廣

金保源

(華南師范大學附屬惠陽學校,廣東 惠州 516200)

圓錐曲線中的定點問題是高考中的常考題型,難度較大,考查知識間的聯系與綜合,并且此類題一般計算量都較大,費時費力難以攻破,令很多學生望而生畏.本文以2023屆惠州市第一次調研考試第21題為例,從數學運算的角度給出該題的幾種典型解法,并進行了一般性推廣,以期對圓錐曲線教學備考有所啟發.

1 試題呈現

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)如圖1, 橢圓C的左、右頂點分別為A,B, 點M,N是橢圓上異于A,B的不同兩點, 直線BN的斜率為k(k≠0), 直線AM的斜率為3k,求證:直線MN過定點.

圖1 2023年惠州市第一次調研考試題圖

2 解法探究

2.1 第(1)問解析

所以a2=4,b2=3.

2.2 第(2)問解析

解法1 (設線解點)由于BN的斜率為k, 設直線BN的方程為y=k(x-2),

整理,得

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

同理可得:由于AM的斜率為3k, 則直線AM的方程為y=3k(x+2)[1].

(36k2+3)x2+144k2x+144k2-12=0.

即 (12k2+1)x2+48k2x+48k2-4=0.

所以直線MN為

即直線MN過定點P(-1,0)[2].

綜上可得, 直線MN過定點P(-1,0).

點評本解法為參考答案提供的方法,設直線方程,然后與橢圓方程聯立,求解點的坐標,進而得到直線MN的方程,即可求得直線MN過定點.該方法思路較為簡單自然,屬于高中圓錐曲線問題的常規解法,但選擇這一方法的學生并不多,一是計算非常麻煩,二是學生更習慣于聯立后使用韋達定理.

(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0.

即2my1y2-(n-2)y1+(3n+6)y2=0.

解得n=-1.

所以直線MN過定點(-1,0).

解法3 (齊次化平移)由橢圓第三定義可得

3x′2+12x′+4y′2=0.

直線M′N′的方程為x′=my′+n,

3x′2+4y′2+12x′·(mx′+ny′)=0,

(3+12m)x′2+4y′2+12nx′y′=0,

兩邊同除x′2,得

由此直線M′N′過定點(-3,0).

又x=x′+2=-3+2=-1,y=y′=0,

故直線MN過定點P(-1,0).

解得n=-1.

所以直線MN過定點(-1,0).

解法5 (極點極線)設直線AM,BN交于點P(x0,y0),

即直線AM,BN的交點P在定直線x=-4上.

所以直線MN過定點(-1,0).

評注曲線系和極點與極線屬于高等幾何范圍,在解題中不能直接使用.對本題而言,使用這兩種方法解答的過程快速簡潔,體現了高觀點低運算的特點,老師可以根據教學實際,給優秀的學生進行拓展,幫助他們快速得出結論,從而明確解答的方向[5].

3 結論推廣

證明設直線AM,BN,MN,AB的方程分別為lAM:y=tk(x+a),lBN:y=k(x-a),lMN:x=my+n,lAB:y=0,

則過A,B,C,D四點的曲線系方程為

化簡,得

比較式子系數,得

上述問題中,若點A,B不是橢圓的左右頂點,還有類似結論嗎? 筆者發現,只要點A,B關于原點對稱,直線依然過定點.

結論2證明方式和結論1類似,這里不再贅述.本文已證明若兩直線的斜率比值為定值,可引出直線過定點.若已知直線過定點,能引出直線斜率比值為定值的結論嗎?將橢圓改成雙曲線是否依然有類似的結論?限于篇幅,本文不再展開,有興趣的讀者可以進一步探究.

4 備考啟示

4.1 注重數學運算素養

數學運算能力對解析幾何的學習具有舉足輕重的作用.現實是學生運算能力普遍不高,我們在實際教學過程中需要循序漸進,適當降低運算難度.但必要的運算是不可避免的,這是由解析幾何的學科特點決定的.在教學過程中,教師要做好運算示范,帶學生經歷完整運算過程,進行算理分析和運算訓練,逐步增強學生的數學運算能力.

4.2 注重一題多解

在教學過程中,我們不能就題講題,要引導學生從不同的方向去發現問題、分析問題,進一步解決問題,通過一題多解體會不同方法的區別與作用,加深對知識的理解.我們通過解法1進行通性通法的分析,然后逐步對優化計算進行了一些有益的探索,體現了高觀點低運算的特點,有利于提升學生的數學運算素養.

4.3 注重對問題的推廣

對典型試題的研究不能停留在解法的多樣性上,還需要進行深入挖掘題目背后隱含的性質,往往可以得到一些優美的結論.在教學中,教師只有從更高的角度看待問題, 更深的角度揭露本質,才能真正讓學生在數學學習中得到樂趣, 開拓學生眼界,開闊學生思維,培育學生優秀的個性,培養學生的數學核心素養.