船舶縱向運動多輸入多輸出不穩(wěn)定系統(tǒng)的非線性反饋控制

曹 添, 張顯庫

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院,遼寧 大連 116026)

船舶運動控制是海洋工程的熱點研究領(lǐng)域,是實現(xiàn)船舶自動導(dǎo)航的核心.船舶在海上航行時由于受到風(fēng)浪流等環(huán)境因素、螺旋槳舵等船舶自身的各種推動和控制作用會產(chǎn)生復(fù)雜的運動.船舶的船體結(jié)構(gòu)很復(fù)雜,與流體之間的作用也很復(fù)雜.并且,船舶在海上航行受到海浪等擾動的作用時,會產(chǎn)生航向與航跡的偏移以及船舶的搖擺.船舶的搖擺中,縱搖和橫搖的影響尤為嚴(yán)重,而船舶縱搖控制與橫搖控制是船舶運動控制的重點組成部分.

在船舶運動控制中,研究艏搖航向保持和航跡保持的最多[1-3],其次是減橫搖[4],而研究縱搖的相對較少[5-6].“育鯤”輪是大連海事大學(xué)的實習(xí)船,學(xué)生或研究者上船實習(xí)或?qū)嶒灂r發(fā)現(xiàn),其縱搖比橫搖嚴(yán)重,而一般情況下,船舶都是橫搖較為嚴(yán)重.大的縱搖會增加船舶航行的阻力,造成船舶的失速,且主機(jī)功率得不到充分的利用,甚至嚴(yán)重沖擊船首的船體結(jié)構(gòu),造成結(jié)構(gòu)損壞與船體顛振.為了提高在風(fēng)浪中的航行性能,有必要改善船舶的減縱搖性能,故從機(jī)理上研究減縱搖對于實際應(yīng)用具有重大意義.

不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制問題在工業(yè)發(fā)展中占據(jù)重要位置,而不穩(wěn)定系統(tǒng)控制器的設(shè)計至關(guān)重要.目前針對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制研究,主要研究內(nèi)容有不穩(wěn)定系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、魯棒控制器設(shè)計以及系統(tǒng)模型不穩(wěn)定過程的控制實例仿真[7].主要思路是把不穩(wěn)定的控制過程轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的控制過程.其中文獻(xiàn)[8]中采用經(jīng)典的內(nèi)模控制法,能夠?qū)⒉环€(wěn)定的過程轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的控制過程;文獻(xiàn)[9]中也針對單輸入單輸出(SISO)不穩(wěn)定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計給出了系列研究成果.此外,船舶航向保持也是一個典型的SISO問題, 在文獻(xiàn)[10]中提出了一種基于非線性正弦函數(shù)修飾的閉環(huán)增益成形算法的魯棒積分反推控制方法,仿真結(jié)果表明控制器具有合理的操舵頻率和良好的節(jié)能效果.文獻(xiàn)[11]中基于二階閉環(huán)增益成形算法設(shè)計出具有強(qiáng)魯棒性的線性控制器,并使用雙極性S函數(shù)對線性控制律進(jìn)行修飾,進(jìn)一步增強(qiáng)了系統(tǒng)抗高頻干擾能力和節(jié)能效果.但是對于多輸入多輸出(MIMO)的不穩(wěn)定系統(tǒng),前述控制方法的控制效果并不好.文獻(xiàn)[12]中以水翼艇的縱向運動數(shù)學(xué)為研究對象,對MIMO魯棒控制器進(jìn)行改善,提高了魯棒性和節(jié)能效果,但其研究傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型具有穩(wěn)定的零極點,因此其控制器設(shè)計方法不適于具有不穩(wěn)定極點的數(shù)學(xué)模型.而“育鯤”輪的縱搖模型屬于MIMO不穩(wěn)定系統(tǒng),針對其魯棒控制器的設(shè)計尤其是具有一對靠近虛軸不穩(wěn)定極點的情況,還沒有相關(guān)研究結(jié)果報道.

基于上述分析,提出一種具有良好減縱搖效果的簡捷魯棒控制器,并通過理論分析和多種條件下的仿真實驗對其有效性進(jìn)行驗證.首先給出了“育鯤”輪縱搖嚴(yán)重的機(jī)理解釋,并針對MIMO不穩(wěn)定系統(tǒng)控制器設(shè)計難點提出一種新思路,最后使用雙極性S函數(shù)非線性反饋技術(shù)代替線性反饋,進(jìn)一步提升系統(tǒng)的魯棒性與節(jié)能效果.

1 船舶模型

船舶航行時受到風(fēng)浪等環(huán)境因素的影響,同時由于螺旋槳舵等船舶自身的各種推動和控制作用,會產(chǎn)生復(fù)雜的運動.船舶的船體結(jié)構(gòu)與外形比較復(fù)雜,因此在水中運動時船舶和流體之間的作用也比較復(fù)雜,且船舶在海上航行時受到風(fēng)浪等擾動的影響時會產(chǎn)生航向與航跡的偏移,其中船舶的橫搖和縱搖更為嚴(yán)重.以牛頓動力學(xué)定理為基礎(chǔ),結(jié)合船舶運動控制的特點分析討論船舶縱向運動方程的建立.圖1所示為“育鯤”輪運動坐標(biāo)系.

圖1 “育鯤”輪運動坐標(biāo)系Fig.1 Motion coordinate system of “YUKUN” ship

船舶運動坐標(biāo)系G0xbybzb,坐標(biāo)系原點取在船的重心G0上,坐標(biāo)軸與船體中心的慣性主軸重合.G0yb軸在船的中線面內(nèi)且平行于基線,指向船首為正;G0xb軸垂直于中線面,指向右舷為正;G0zb軸在船的中線面內(nèi)且垂直于G0xb軸,向上為正.結(jié)合坐標(biāo)系,船舶在任意時刻的運動可以分解為沿著3個坐標(biāo)軸的直線運動與繞3個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動,因此形成往復(fù)運動分別為橫搖φ、縱搖θ和艏搖ψ.

參考文獻(xiàn)[13]對船舶在波浪中的運動特征的描述,得出船舶縱搖運動的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

為簡化數(shù)學(xué)模型設(shè)計,做出如下基本假定:

(1) 假定船體是剛體,忽略它的彈性變性.

(2) 對于船舶減縱搖控制系統(tǒng),忽略縱蕩、橫蕩、首搖和橫搖等船舶運動,只考慮縱搖與垂蕩.

如果輸出h和θ,則傳遞函數(shù)型數(shù)學(xué)模型G為

(2)

基于文獻(xiàn)[13]以及表1中的“育鯤”輪基本參數(shù)得到式(2)中的參數(shù):

表1 “育鯤”輪參數(shù)Tab.1 Parameters of “YUKUN” ship

G1=s4+0.593 6s3+1.581 9s2+0.747 1s+

0.672 3=(s-0.087 2+1.050 1i)×

(s-0.087 2-1.050 1i)(s+0.384 0+

0.676 8i)(s+0.384 0-0.676 8i)

a11=s2+0.264 9s+0.533 9=(s+0.132 5+

0.718 6i)(s+0.132 5-0.718 6i)

a12= -11.764s-12.689=-11.764(s+1.079)

a21=0.011s+0.018=0.011(s+1.636)

a22=s2+0.328 6s+0.831 4=(s+0.164 3+

0.896 9i)(s+0.164 3-0.896 9i)

其中:s為拉普拉斯算子;i為虛數(shù)單位.

2 研究方法

2.1 “育鯤”輪縱搖嚴(yán)重的機(jī)理分析

分析“育鯤”輪的縱搖數(shù)學(xué)模型的各項參數(shù),G1中有一對虛根在右半平面,不穩(wěn)定,且非常靠近虛軸.并且a11的零點也非常靠近虛軸,系統(tǒng)模型很容易發(fā)散.船舶的縱向運動模型是MIMO的多變量系統(tǒng),尤其輸入是由不規(guī)則波浪產(chǎn)生的力與力矩引起的縱搖,情況較為復(fù)雜.船舶縱搖模型的傳遞函數(shù)根軌跡如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡Fig.2 Root trajectories of open-loop transfer functions of the system

由上圖可以分析得出G12、G21、G22的根都在右半平面,左半平面的極點也非常靠近虛軸,且G12和G21的根軌跡都是發(fā)散的,不穩(wěn)定.由此可知,“育鯤”輪的縱向運動數(shù)學(xué)模型極易不穩(wěn)定,這也是縱搖嚴(yán)重的機(jī)理.

2.2 不穩(wěn)定系統(tǒng)的根軌跡成形原理

已知根軌跡理論是在復(fù)平面上由開環(huán)零極點的分布狀況來研究閉環(huán)特征根的軌跡隨開環(huán)增益的變化而變化的理論,不同開環(huán)增益決定了在根軌跡上有不同位置的閉環(huán)極點及相應(yīng)的系統(tǒng)動態(tài)性能.控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由其特征方程的根決定,而特征方程的根又與系統(tǒng)參數(shù)緊密相關(guān),可見根軌跡成形原理就是基于變增益的概念而來.

根據(jù)上述原理,取被控對象G(s)根軌跡成形的權(quán)函數(shù)為

(3)

且設(shè)計權(quán)函數(shù)系數(shù)矩陣為λ,取a=50.

(4)

2.3 設(shè)計權(quán)函數(shù)參數(shù)并驗證其穩(wěn)定性

根據(jù)權(quán)函數(shù)成形原則,取L11(s)與L22(s)為

(5)

(6)

L11與L22包含兩個零點和一個極點,且再乘以權(quán)函數(shù)系數(shù)矩陣得到的廣義被控對象P為

P(s)=L(s)G(s)λ=

(7)

將根軌跡增益變小,乘以系數(shù)0.05,成形后得出根軌跡如圖3所示.圖中P11、P12、P21、P22為根軌跡圖.觀察分析根軌跡圖,可得出成形之后的所有根都被拉回到左半平面,可知這個系統(tǒng)整體就是穩(wěn)定的.

圖3 成形后的廣義被控對象根軌跡圖Fig.3 Root locus diagram of generalized controlled plant after forming

2.4 MIMO不穩(wěn)定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計

船舶減縱搖控制圖如圖4所示.圖中:r為白噪聲干擾;u為控制器輸出信號;G′為不穩(wěn)定系統(tǒng)成形后的穩(wěn)態(tài)輸出值.

圖4 簡明魯棒控制器設(shè)計圖Fig.4 Design diagram of a concise robust controller

基于船舶在航行中受波浪的作用而產(chǎn)生縱搖和升沉運動,使用白噪聲模擬波浪干擾輸入,控制器K的原理為運用閉環(huán)增益成形算法設(shè)計控制器的思路,以簡單的積分環(huán)節(jié)與不穩(wěn)定系統(tǒng)成形后的穩(wěn)態(tài)輸出值G′構(gòu)成的閉環(huán)傳遞函數(shù),從而避免了高階控制器魯棒性差的問題.其中積分環(huán)節(jié)本身就可以消除持續(xù)恒定干擾和慢時變干擾對系統(tǒng)性能的影響,而且大大減小控制輸出切換的頻率和幅值,減少對成形后的廣義被控對象P的影響,并且能有效減少波浪對船舶縱搖角和沉深位移的影響.

對于一個MIMO系統(tǒng),在設(shè)計控制器K時,令其非對角線元素為0,則K陣的形式如下:

(8)

設(shè)A、B為成形后廣義被控對象單位階躍信號激勵后的穩(wěn)定輸出值,進(jìn)一步推導(dǎo)得出其傳遞函數(shù)為

(9)

最終化簡得到:

(10)

式(10)為一階閉環(huán)增益成形算法的情況[14], 屬于一種簡單的魯棒控制算法.

常規(guī)的閉環(huán)增益成形算法的核心是直接用構(gòu)造的成形系統(tǒng)閉環(huán)傳遞傳遞函數(shù)矩陣的表示式設(shè)計控制器,而本文魯棒控制器的設(shè)計思路是基于一階閉環(huán)增益成形算法原理進(jìn)行簡化設(shè)計,進(jìn)而得到階次較低的控制器.針對一階魯棒控制器的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[15]中已經(jīng)給出詳細(xì)的證明過程,本文不再贅述.

2.5 雙極性S函數(shù)非線性反饋改進(jìn)

如圖5所示,使用雙極性S函數(shù)對控制器式(8)進(jìn)行改進(jìn),圖中非線性函數(shù)與一般的方框圖繪制所表達(dá)的含義不同.其中:設(shè)e′=r-y,所要表達(dá)的數(shù)學(xué)關(guān)系為u=Kf(e′),而不是常規(guī)的結(jié)構(gòu)表達(dá)式u=Kf(e′)e′.取非線性反饋常數(shù)γ=1.2,并針對MIMO“育鯤”輪控制系統(tǒng)的兩個通道都使用相同的非線性反饋進(jìn)行仿真研究.引入非線性反饋理論后,并不改變原有控制器的結(jié)構(gòu),只是用非線性函數(shù)代替原來的誤差反饋到控制器的輸入端,具有明顯的節(jié)能優(yōu)點.對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性,穩(wěn)態(tài)值以及動態(tài)性能的影響已在文獻(xiàn)[16]中證明,并未產(chǎn)生不利影響.

圖5 雙極性S函數(shù)驅(qū)動的非線性反饋結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Nonlinear feedback structure driven by bipolar S-function

3 仿真實驗和結(jié)果分析

為了驗證所設(shè)計成形后廣義被控對象的穩(wěn)定性與控制器的有效性,在MATLAB中用Simulink進(jìn)行仿真實驗.

3.1 基于MIMO根軌跡成形模型穩(wěn)定性實驗驗證

使用“育鯤”輪縱向運動數(shù)學(xué)模型驗證成形后的穩(wěn)定性,通過分析縱搖控制向量U,可令系統(tǒng)輸入為單位階躍信號δF與δM,可以仿真得出系統(tǒng)的最終輸出穩(wěn)定值,且穩(wěn)定值A(chǔ)=0.35,B=0.47.模型穩(wěn)定實驗驗證框圖如圖6所示,其實驗結(jié)果如圖7所示.

圖6 模型穩(wěn)定性驗證圖Fig.6 Verification of model stability

圖7 Simulink驗證Fig.7 Simulink validation

經(jīng)過上圖用Simulink搭建模塊實驗驗證之后可知,使用根軌跡成形法以及乘以對稱矩陣的設(shè)計思路是有效的.

3.2 基于船舶減縱搖魯棒控制器性能驗證

基于成形模型穩(wěn)定輸出值A(chǔ)與B,即可推出控制器設(shè)計參數(shù)C=1/0.35,D=1/0.47,再取控制器參數(shù)T11=T22=10,保證閉環(huán)系統(tǒng)將海浪頻譜阻擋在帶寬范圍之外.而對于海浪干擾,將其等效為一種簡單的線性模型,即用白噪聲加在系統(tǒng)輸入上, 仿真時間設(shè)置為200 s.實驗控制效果如圖8和9所示.

圖8 未加入非線性反饋函數(shù)比較控制效果圖Fig.8 Comparison control effect without adding nonlinear feedback function

圖9 加入非線性反饋函數(shù)比較控制效果圖Fig.9 Comparison control effect of adding nonlinear feedback function

為了定量比較控制效果,定義總升沉位移誤差eTDDE與總縱搖角度誤差eTPAE兩個指標(biāo)進(jìn)行分析.定量分析結(jié)果如表2所示.

表2 閉環(huán)性能比較Tab.2 Performance comparison of closed-loop

(11)

式中:h(t)為t時刻所對應(yīng)的升沉位移;θ(t)為t時刻所對應(yīng)的縱搖角度.

為了進(jìn)一步驗證控制器的魯棒性,給模型加入攝動,相當(dāng)于在原模型上加入一個數(shù)值為0.15的純滯后環(huán)節(jié)e-0.15s,可得攝動模型P′(s).圖10給出了模型產(chǎn)生攝動時的仿真結(jié)果.

P′(s)=P(s)e-0.15s

(12)

通過上述實驗比較可知,對廣義模型加入魯棒控制器之后很明顯地改進(jìn)了船舶的升沉和縱搖效果,升沉位移最大值降為被控前最大值的8.0%,縱搖角最大值降為被控前最大值的46.6%,且綜合對比eTDDE與eTPAE,分別改進(jìn)了87.71%和37.14%.對控制器進(jìn)行非線性反饋改進(jìn)之后,升沉位移的最大值降為被控之前的4.0%,縱搖角最大值降為被控前的19.1%,對比eTDDE與eTPAE,分別改進(jìn)93.4%與71.9%.

模型攝動時,魯棒控制的升沉位移最大值為0.23 m,縱搖角的最大值為1.19°,且eTDDE與eTPAE分別為1.02與4.02.從表2中可以看出其控制效果基本與廣義模型基本相同,說明控制器具有一定的魯棒性.仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的魯棒控制器簡捷有效,控制效果更優(yōu),而非線性反饋改進(jìn)的魯棒控制器具有明顯的節(jié)能效果,補充完善了MIMO不穩(wěn)定過程的控制器設(shè)計方法.

進(jìn)一步從控制器的角度來分析,控制器K屬于2×2對角矩陣形式的一階慣性系統(tǒng),在海上航行時高頻的波浪干擾是引起船舶升沉和縱搖變化的主要原因, 而一階魯棒控制器的引入有效地抑制了高頻干擾,使系統(tǒng)有很強(qiáng)的魯棒性.

4 結(jié)語

基于MIMO不穩(wěn)定系統(tǒng)提出了一種船舶減縱搖的新型節(jié)能控制方案.該方案首先以大連海事大學(xué)教學(xué)實習(xí)船“育鯤”輪的縱搖數(shù)學(xué)模型為研究對象,對“育鯤”輪縱搖嚴(yán)重的機(jī)理進(jìn)行了分析.隨后對系統(tǒng)模型使用根軌跡成形法,以及引用數(shù)學(xué)工具加權(quán)矩陣L(s)使不穩(wěn)定系統(tǒng)的模型趨于穩(wěn)定.控制器的設(shè)計思路是閉環(huán)增益成形算法的一種衍生,并且使用雙極性S函數(shù)進(jìn)行非線性改進(jìn).通過Simulink工具箱驗證了在一般海況下控制器對高頻波浪的抑制作用,且效果良好.之后對成形后廣義被控對象模型加入非線性反饋改進(jìn)的控制器進(jìn)行仿真實驗,并與原有控制器對廣義被控對象的控制效果對比.實驗結(jié)果表明,改進(jìn)后控制器的模型最大升沉位移降為被控之前的4.0%,最大縱搖角降為被控之前的19.1%,且eTDDE與eTPAE分別改進(jìn)了93.4%與71.9%.隨后給出了模型產(chǎn)生攝動時的仿真結(jié)果,基本與廣義模型相同,表明本文所設(shè)計控制器在一般海況下具有較好的減縱搖效果,并且非線性反饋改進(jìn)的控制器具有明顯的節(jié)能效果.最后對本文控制器具有良好的控制效果的原因給出了理論分析.本文所設(shè)計研究方案簡單有效且節(jié)能,彌補了MIMO不穩(wěn)定系統(tǒng)控制器設(shè)計的空白.在未來的研究中,將結(jié)合本文的控制算法設(shè)置特定的縱傾角控制裝置,并將該裝置運用到船舶自身的動力控制系統(tǒng)當(dāng)中,產(chǎn)生抵抗縱搖的阻尼力矩以及恢復(fù)力矩以達(dá)到減緩縱向運動的目的.