基于SIQR的新冠肺炎疫情動(dòng)態(tài)傳播模型研究

鈔寅康, 龔立雄, 雷彬文

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,湖北 武漢 430068)

新型冠狀病毒肺炎是一種傳染性很強(qiáng)通過(guò)呼吸道傳染的疾病,基于新冠疫情的發(fā)展趨勢(shì),目前主要從兩方面進(jìn)行專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的研究,一種從疫情的控制角度,主要針對(duì)病毒的平均潛伏期以及基本再生數(shù)[1-3];另一種則是基于SIR模型以疫情傳播的建模和預(yù)測(cè)為主[4-5]。其中,阿曼多等利用SIR模型預(yù)測(cè)新冠肺炎疫情的演變,預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)與具體病例數(shù)據(jù)有很好的擬合。任中貴提出了基于SIR模型的COVID-19疫情數(shù)據(jù)分析,其中感染率和移除率這兩個(gè)重要參數(shù)的擬合結(jié)果說(shuō)明及時(shí)采取封城等防疫措施對(duì)醫(yī)療救助能力的提升十分重要。或者采用SEIR模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合[6-7],然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)募僭O(shè)來(lái)推測(cè)疫情后期發(fā)展趨勢(shì),為疫情防控提供參考。SEIR模型相當(dāng)于在SIR模型的基礎(chǔ)上增加了傳染病的潛伏期。趙成珍[8]在文章中對(duì)SEIR模型改進(jìn)為三階段模型然后對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合;丁振華[9]提出了一種新的新冠肺炎傳播非線性動(dòng)力學(xué)模型;劉建國(guó)[10]在基于空間交互模型的基礎(chǔ)上同時(shí)構(gòu)建SEIR模型;董章功[11]提出了一種基于傳統(tǒng)的傳染病動(dòng)力模型SEIR和差分整合移動(dòng)平均自回歸模型ARIMA構(gòu)建的SEIR-ARIMA混合模型;以上模型都在SEIR模型基礎(chǔ)上有所改進(jìn)。但是SIR模型和SEIR模型二者均不能完全適用于湖北武漢的疫情發(fā)展的實(shí)際情況,考慮到2020年1月23日采取封城措施,對(duì)感染者進(jìn)行隔離,在模型中增加隔離者提高模型的仿真水平,提高仿真結(jié)果與實(shí)際疫情的擬合度,給疫情防控提供更有價(jià)值的參考。

在上述背景下,本文基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析,構(gòu)建了新冠肺炎疫情擴(kuò)散的SIR模型,并在傳統(tǒng)的SIR模型上進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化,改進(jìn)為SIQR模型。最后,以武漢疫情為數(shù)據(jù)樣本,使用改進(jìn)后的SIQR模型進(jìn)行仿真建模實(shí)驗(yàn),并通過(guò)實(shí)驗(yàn)尋求預(yù)防和控制新冠疫情傳播的方法。結(jié)果表明:該模型能有效地復(fù)現(xiàn)新冠病毒傳播演化過(guò)程,為重大公共疫情的預(yù)測(cè)與防控提供指導(dǎo)依據(jù)。

1 SIQR模型與方法

1.1 SIQR模型構(gòu)建

本次疫情傳播迅速與傳染病研究中SIR模型的特點(diǎn)相類(lèi)似,但SIR模型在此次疫情中并不完全適用。以往的疫情沒(méi)有如此果斷且迅速的采取大規(guī)模隔離措施,因此本文在SIR模型的基礎(chǔ)上增加隔離人群進(jìn)行改進(jìn),使用SIQR模型進(jìn)行有限區(qū)域內(nèi)的疫情傳播演化仿真。

改進(jìn)后的SIQR模型中,治愈的傳染個(gè)體擁有免疫抗體,設(shè)傳染率(感染系數(shù))為β,恢復(fù)率(恢復(fù)系數(shù))為γ,SIQR模型狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖如圖1所示。

圖1 SIQR模型狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖

SIQR模型將有限區(qū)域內(nèi)的人口分為以下四類(lèi):1)染病者i(t),t時(shí)刻已被感染且具有傳染力的人數(shù);2)易感者s(t),t時(shí)刻還未染病但可能被傳染的人數(shù);3)隔離者q(t),t時(shí)刻已被進(jìn)行隔離措施的人數(shù);4)恢復(fù)者r(t),t時(shí)刻已從染病者中移出的人數(shù)。設(shè)總?cè)丝跒镹(t),則有N(t)=s(t)+i(t)+q(t)+r(t)。

1.2 SIQR模型假設(shè)

SIQR模型基于以下四個(gè)假設(shè):

1)假設(shè)感染者的傳染能力較強(qiáng),但凡與易感染者接觸就有被感染的風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)易感染總數(shù)為s(t),在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi),被病人感染的比例系數(shù)為β,那么βs(t)i(t)就表示在t時(shí)刻內(nèi)被病人傳染的人數(shù)。

2)假設(shè)人口基數(shù)不變,忽略人口的流動(dòng)、死亡和出生等種群動(dòng)力因素。即N(t)≡K。

3)假設(shè)易感者和感染者分別按一定概率Ψ進(jìn)行隔離,在t時(shí)刻進(jìn)行隔離的人數(shù)為φ1s(t)+φ2i(t)。

4)假設(shè)病人數(shù)量與從染病者中移出的人數(shù)在t單位時(shí)間內(nèi)成正相關(guān),且相關(guān)系數(shù)為γ,則單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為γi(t)+ωq2(t)。

基于以上四個(gè)假設(shè)條件,感染機(jī)制如

(1)

由以上所有假設(shè)可知:若對(duì)感染者和易感者采取一定的隔離措施,感染者的恢復(fù)率增長(zhǎng)為γi(t),易感個(gè)體的下降率為βi(t)s(t),感染者的增長(zhǎng)率達(dá)到β1i(t)s(t)+β2i(t)q(t)-γi(t)。易感者從患病到移出的過(guò)程可用微分方程表示,如

(2)

1.3 SIQR模型參數(shù)設(shè)定及應(yīng)用

1.3.1模型參數(shù)設(shè)定本案例基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行SIQR新冠疫情傳播演化仿真,時(shí)間以離散數(shù)據(jù)的形式表示,分別使用易感者、感染者、隔離者和治愈者來(lái)區(qū)分個(gè)體的不同狀態(tài)。隔離者又分為在家隔離者和醫(yī)院收治隔離者兩類(lèi)群體。移出者分為感染死亡/隔離死亡/治愈者。感染者區(qū)分為入院治療和重癥隔離兩種情況,兩者將不同程度地影響死亡人數(shù)和治愈人數(shù)。模型公式及參數(shù)設(shè)定如表1。

表1 SIQR新冠疫情傳播演化模型的相關(guān)計(jì)算公式

1.3.2SIQR模型的驗(yàn)證本文數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)湖北省衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)(http:∥wiw.hubei.gov.cn)公布的湖北省2019年12月31日—2020年5月的疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。然后基于SIQR模型對(duì)新冠疫情傳播演化機(jī)理進(jìn)行仿真和推演,可以得到封城前后的數(shù)據(jù)參數(shù)如表2所示。

表2 封城前后數(shù)據(jù)

相比于傳統(tǒng)SIR模型,增加了潛伏期、規(guī)避系數(shù)、隔離率等參數(shù)。經(jīng)仿真求解,得出封城前和封城后治愈人數(shù)、感染人數(shù)和死亡人數(shù)三者的曲線,如圖2、圖3所示。

圖2 封城前曲線

通過(guò)圖2、圖3的分析,可以將我國(guó)新冠疫情累計(jì)確診數(shù)量的擬合情況大致分為三個(gè)階段:

1)第一階段為 12月 31 日～1 月 23 日,疫情初期防控力度小,傳染途徑廣,感染人數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng),并產(chǎn)生了大量的二、三代感染者,但此時(shí)醫(yī)院資源供給相對(duì)充足,感染者治愈率較高。

2)第二階段1月 23 日～2 月 6 日,隨著防護(hù)意識(shí)及政府管控力度增加,聚集感染事件減少,治愈系數(shù)已經(jīng)大于感染系數(shù),感染人數(shù)達(dá)到峰值后迅速下降,但由于前期大量感染者的涌入造成醫(yī)療資源陷入?yún)T乏,導(dǎo)致治愈者人率并未達(dá)到峰值,且死亡人數(shù)還在增長(zhǎng)。

3)第三階段 2 月 6 日后,封城物理阻斷了傳播途徑,治愈人數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng),感染者人數(shù)逐漸趨近于零,死亡人數(shù)曲線已趨于平緩。

本文模型中考慮到武漢及時(shí)的“封城”行為,以及政府在多方面實(shí)施強(qiáng)有力措施,使新冠肺炎傳播在時(shí)間、空間上具有明顯的異質(zhì)性,而本次仿真中得到的指數(shù)增長(zhǎng),可以推論是因?yàn)椴《酒骄鶟摲谳^長(zhǎng),在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)特定人群(中老年人等免疫力較差的群體)的感染性強(qiáng),導(dǎo)致疫情爆發(fā)速度快,醫(yī)療體系在短時(shí)間內(nèi)不堪重負(fù)、癱瘓所造成的。

2 多因素的影響研究與討論

為了更加貼近武漢疫情傳播真實(shí)現(xiàn)狀,進(jìn)行有效模型的構(gòu)建,本文在模型構(gòu)建過(guò)程中基于政府以及群眾不同的角度在疫情發(fā)展的不同階段,采取的不同措施進(jìn)行分析。通過(guò)添加規(guī)避系數(shù)以及隔離率兩大因素,主要體現(xiàn)政府采取措施的力度以及群眾防疫意識(shí)的強(qiáng)弱;通過(guò)添加病毒潛伏期和疫苗覆蓋率兩大因素,主要從病毒分析,體現(xiàn)病毒對(duì)醫(yī)療以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響。

2.1 規(guī)避系數(shù)對(duì)疫情傳播演化的影響

規(guī)避系數(shù)的定義是將該地區(qū)各方面防疫措施對(duì)新冠肺炎疫情擴(kuò)散程度的影響引入模型,是對(duì)該地區(qū)的政府是否采取措施,措施力度是否嚴(yán)厲,以及醫(yī)療資源,人口素養(yǎng)等多方面因素的綜合。

武漢封城舉措,影響規(guī)避系數(shù),圖4中規(guī)避系數(shù)越大,感染者人數(shù)越少。其中分為三個(gè)小階段:

圖4 封城后規(guī)避系數(shù)不同對(duì)感染人數(shù)的影響

1)0.1-0.4:視為該地區(qū)沒(méi)有采取防疫風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)制度的相關(guān)措施,區(qū)域內(nèi)人群活動(dòng)自由,頻繁發(fā)生交叉感染,隔離點(diǎn)缺乏,患者無(wú)法及時(shí)得到治療和隔離。疫情管控呈現(xiàn)出失控的態(tài)勢(shì)。

2)0.5-0.7:該地區(qū)采取了對(duì)應(yīng)防疫風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)制度的相關(guān)措施,內(nèi)防擴(kuò)散、外防輸入,在疫情爆發(fā)過(guò)程中及時(shí)隔離了二、三代感染者以及其密切接觸者,并及時(shí)保障了足夠的醫(yī)療資源。

3)0.8-1:該地區(qū)在發(fā)現(xiàn)疫情時(shí)及時(shí)進(jìn)行了嚴(yán)格的隔離措施,人口都有較高的防控素養(yǎng),并配有足夠的醫(yī)療資源保障,疫情在該地區(qū)幾乎很難爆發(fā)。

2.2 隔離率對(duì)疫情傳播演化的影響

本模型中,隔離率不同時(shí)對(duì)感染者數(shù)量的影響如圖5所示。

圖5 隔離率不同時(shí)對(duì)感染者數(shù)量的影響

由圖5可知,隔離率對(duì)疫情擴(kuò)散程度的影響至關(guān)重要,隔離率越高,感染者人數(shù)越少,隔離率的提高能有效遏制疫情傳播,但會(huì)給醫(yī)療體系帶來(lái)巨大負(fù)擔(dān),從而造成較晚的峰點(diǎn)到來(lái)和較長(zhǎng)的疫情防控時(shí)間,給社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人們健康造成沉重打擊。

2.3 平均潛伏期對(duì)疫情傳播演化的影響

本模型在計(jì)算感染者人數(shù)的參數(shù)時(shí),將本次疫情備受關(guān)注的新冠肺炎潛伏期引入模型,發(fā)現(xiàn)當(dāng)病毒在區(qū)域內(nèi)人群當(dāng)中平均潛伏期不同時(shí),會(huì)造成不同的疫情擴(kuò)散情況,如圖6所示。

圖6 潛伏期不同時(shí)對(duì)感染人數(shù)的影響

由圖6分析可知,當(dāng)其他參數(shù)相同時(shí),病毒潛伏期越短,感染者數(shù)量峰值越低,但峰點(diǎn)到來(lái)較慢,疫情持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng),對(duì)地區(qū)影響更持久;當(dāng)病毒潛伏期越長(zhǎng),感染者數(shù)量峰值越高,但峰點(diǎn)到來(lái)較快,疫情持續(xù)時(shí)間更短,對(duì)地區(qū)造成短時(shí)間內(nèi)較大的沖擊性影響。

2.4 新冠疫苗接種對(duì)疫情傳播演化的影響

研究疫苗覆蓋率因素過(guò)程中,將已經(jīng)接種疫苗設(shè)定為免疫人群,SIQR模型中易感染者人數(shù)會(huì)除去已經(jīng)接種疫苗人數(shù)。例如,當(dāng)接種疫苗率為20%時(shí),易感染者人數(shù)在原先的值=總?cè)丝?感染者人數(shù)基礎(chǔ)上除去接種疫苗的人數(shù)即20%的總?cè)丝凇Ｒ赘腥菊呷藬?shù)=((總?cè)丝?感染者人數(shù))-20%總?cè)丝?,規(guī)避系數(shù)變?yōu)?.3。

當(dāng)疫苗覆蓋率為0%、20%、40%、60%、80%時(shí),感染者,易感染者、治愈者的人數(shù)變化曲線如圖7-9。

圖7 易感者趨勢(shì)

圖8 感染者趨勢(shì)

圖9 治愈者趨勢(shì)

基本傳染數(shù)在流行病學(xué)上是指在沒(méi)有外力介入并且所有人都沒(méi)有免疫的情況下,某種傳染病的感染者會(huì)把疾病傳染給他人數(shù)量的平均數(shù)。

若β<1,傳染病會(huì)逐漸消失;

若β>1,傳染病會(huì)以指數(shù)方式散布成為流行病;

若β=1,傳染病會(huì)成為地方性流行病。

在疫苗覆蓋率的基礎(chǔ)上基本傳染數(shù)公式改進(jìn)為:即當(dāng)<1時(shí)傳染病會(huì)逐漸消失,其中新冠的基本傳染數(shù)=3.28,則當(dāng)P>0.7時(shí)傳染病會(huì)逐漸消失結(jié)束疫情。

從國(guó)藥集團(tuán)公布的數(shù)據(jù)來(lái)看疫苗的保護(hù)效力為79%,疫苗覆蓋率P是在疫苗保護(hù)效力為100%的情況下得出的,因此要達(dá)到90%的疫苗覆蓋率才可以形成人群免疫屏障阻斷疫情再次發(fā)生。

2.5 模型對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證本模型的優(yōu)越性,本文以疫情期間一、二月部分?jǐn)?shù)據(jù)為數(shù)據(jù)集,分別使用SIR、SEIR以及本文的SIQR分別進(jìn)行仿真預(yù)測(cè),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3、圖10所示。

表3 誤差對(duì)比 %

圖10 模型擬合效果對(duì)比

通過(guò)對(duì)圖10、表3的觀察,可以發(fā)現(xiàn)三種模型的擬合趨勢(shì)都與疫情發(fā)展趨勢(shì)相同,但本文模型擬合效果明顯更好。并且通過(guò)數(shù)據(jù)對(duì)比可知,本文模型相較于初始SIR模型,MAPE值縮小了2.49%,RMSE值縮小了159;相較于SEIR模型,本文模型的MAPE值縮小了5.53%,RMSE縮小了640,進(jìn)一步體現(xiàn)了本文模型的優(yōu)越性。

3 結(jié)論

本案例在SIR 模型基礎(chǔ)上增加潛伏期、感染率、規(guī)避系數(shù)、隔離率、治愈率等參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)和擴(kuò)展,并以武漢疫情數(shù)據(jù)為例,對(duì)有限區(qū)域內(nèi)新冠肺炎疫情擴(kuò)散機(jī)理及感染者、治愈者、死亡數(shù)量進(jìn)行了仿真。最后通過(guò)與其他模型的對(duì)比,證明了本文模型的優(yōu)越性,得出結(jié)論如下:

疾病的傳播機(jī)制在現(xiàn)有感染者死亡或康復(fù)的數(shù)量與新感染者數(shù)量相等的時(shí)間點(diǎn)發(fā)生變化。當(dāng)感染者恢復(fù)正常的數(shù)量大于新感染個(gè)體數(shù)目時(shí),疫情規(guī)模將減小;當(dāng)規(guī)避系數(shù)大于等于0.5時(shí)對(duì)疫情擴(kuò)散有明顯的遏制作用;當(dāng)病毒潛伏期大于等于4 d時(shí),會(huì)造成疫情劇烈增長(zhǎng);高隔離率可以降低感染者數(shù)量,但是對(duì)醫(yī)療系統(tǒng)有較大負(fù)擔(dān);接種新冠疫苗是阻斷病毒的最佳方式,疫苗覆蓋率要達(dá)到90%才能形成人群免疫屏障阻斷疫情。