尋根·歸根·培根

欒功　張桂芳

［摘 要］文章以“尋根→歸根→培根”這一主線設(shè)計(jì)教學(xué)，闡明如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突顯學(xué)生的主體地位，以促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升和落實(shí)學(xué)科育人目標(biāo)。

［關(guān)鍵詞］“根+空”理念；尋根；歸根；培根；高中數(shù)學(xué)；有效教學(xué)

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）14-0020-04

一、問題的提出

2023年5月26日，教育部辦公廳印發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革深化行動(dòng)方案》（以下簡(jiǎn)稱《方案》）中明確指出重點(diǎn)任務(wù)之一是課程方案轉(zhuǎn)化落地規(guī)劃行動(dòng)，要求在課程實(shí)施過程中切實(shí)加強(qiáng)國(guó)家課程方案向地方、學(xué)校課程實(shí)施規(guī)劃的轉(zhuǎn)化工作。堅(jiān)持因地制宜“一地一計(jì)”、因校制宜“一校一策”，把國(guó)家統(tǒng)一制定的育人“藍(lán)圖”細(xì)化為地方和學(xué)校的育人“施工圖”，明確課程教學(xué)改革的具體路線、措施，提出困難問題破解之策。同時(shí)，《方案》還針對(duì)“教學(xué)方式變革行動(dòng)”提出：“組織各級(jí)優(yōu)課展示交流活動(dòng)，開展教學(xué)說課評(píng)課，示范帶動(dòng)廣大教師變革教與學(xué)方式，尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，注重啟發(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué)，克服單純教師講學(xué)生聽、教知識(shí)學(xué)知識(shí)等現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極提問、自主探究。”那么，在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中如何因地制宜地將國(guó)家課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生課程？如何發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用？如何實(shí)現(xiàn)更高效的課堂教學(xué)？這就成了全面深化課程改革的重點(diǎn)問題。

針對(duì)以上提及的課程改革重要任務(wù)和重點(diǎn)問題，筆者帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)歷經(jīng)十年時(shí)間先后探索實(shí)踐了“分層作業(yè)”“小組合作”“前置問題解單”等在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，逐步提煉形成了“尋根置空”的高中數(shù)學(xué)“根+空”教學(xué)模式，為將國(guó)家課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生課程提供了參考，為深化高中數(shù)學(xué)課程改革提供了范式。

二、“根+空”理念及其內(nèi)涵

“根”在現(xiàn)代漢語詞典中有“事物的本源”的釋義，引申為事物、事情的本質(zhì)，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)上就是知識(shí)的起點(diǎn)、核心概念、基本思想及基本經(jīng)驗(yàn)。“空”在現(xiàn)代漢語詞典中的釋義為“無”，引申為“空白”“不包含什么”之意，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)上主要為“置空”“留白”，具體操作中是通過“問題設(shè)置”實(shí)現(xiàn)“置空留白”，由“根”而置的“空”簡(jiǎn)單、根本、開放，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)“留”出時(shí)間，給學(xué)生創(chuàng)造了思維發(fā)展空間。這種不局限于時(shí)間、空間上的留白，目的在于讓學(xué)生通過自主思考、討論辨析等學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行“補(bǔ)白”。

將“根+空”理念應(yīng)用于教學(xué)有兩重含義，一是落實(shí)“根”，即把握“根”、抓住“根”，教師在教學(xué)中從課程要求、概念理解的本質(zhì)出發(fā)，以及從學(xué)生已有認(rèn)知、思維出發(fā)點(diǎn)出發(fā)，緊緊把握住教學(xué)的核心內(nèi)容；二是釋放“空”，也就是“留白”，從時(shí)間、空間上的顯性留白出發(fā)，進(jìn)行思維、能力、文化價(jià)值等隱性留白。不難發(fā)現(xiàn)，沒有“根”的課堂就如同脫了韁的野馬，容易跑偏，而缺失“空”的課堂，則會(huì)似水一般枯燥，毫無漣漪。因此，“空”與“根”是相輔相成的，缺一不可，教師在教學(xué)中應(yīng)以“根”鑄“空”，以“空”養(yǎng)“根”［1］。

三、“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略

《中庸》里提到：“天命之謂性，率性之謂道，修道之謂教。”其釋義是：人的自然稟賦叫作“性”，順著本性行事叫作“道”，按照“道”的原則修養(yǎng)叫作“教”。“道”是不可以片刻離開的，如果可以離開，那就不是“道”了。“根+空”教學(xué)模式正是遵循了兒童的自然天性，為了讓兒童“好”學(xué)而設(shè)計(jì)的教學(xué)模式。在“根+空”教學(xué)中具體體現(xiàn)為通過設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、根本、開放的“前置問題解決單”（也稱前置研究），激發(fā)學(xué)生自主探究，鼓勵(lì)學(xué)生帶著課前自主探究的成果（發(fā)現(xiàn)和疑問）開展小組內(nèi)、小組間的討論辨析，然后分小組對(duì)討論辨析的成果或疑問進(jìn)行講解展示，并由組內(nèi)、組間同學(xué)對(duì)小組成員的展示及講解進(jìn)行補(bǔ)充、點(diǎn)評(píng)、總結(jié)，抑或是教師進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥或引導(dǎo)。整個(gè)課堂教學(xué)圍繞由“尋根”“歸根”“培根”三個(gè)環(huán)節(jié)有序開展，充分尊重學(xué)生的主體地位，在引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，注重激發(fā)學(xué)生自主思考、合作探究，使學(xué)生在提出問題和解決問題的過程中提升思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)。“根+空”理念下的課堂教學(xué)流程如圖1所示。

下面以人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“余弦定理”為例進(jìn)行說明。

（一）尋根——教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)

喻平教授認(rèn)為教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)需側(cè)重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的分析并將其轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，具體包括強(qiáng)調(diào)知識(shí)整體分析、設(shè)置恰當(dāng)情境凸顯本質(zhì)、設(shè)計(jì)合適的問題導(dǎo)出本質(zhì)以及梳理知識(shí)的邏輯關(guān)系以強(qiáng)化本質(zhì)。“根+空”教學(xué)中的“前置研究”的設(shè)計(jì)正是如此，其設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是找準(zhǔn)教學(xué)內(nèi)容的源點(diǎn)，即尋找新授內(nèi)容生長(zhǎng)的“根”，這個(gè)過程也就是“尋根”。“尋根”的目的是置空，是為了設(shè)計(jì)更有利于學(xué)生“學(xué)”的前置問題以助推學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，“尋根”是“根+空”教學(xué)的第一步，也是第二步能否順利開展的關(guān)鍵。只有“根”找準(zhǔn)了，“前置研究”的設(shè)計(jì)才能真正做到“基礎(chǔ)、根本、開放”，學(xué)生才能真正實(shí)現(xiàn)以問題為驅(qū)動(dòng)的探究式、啟發(fā)式學(xué)習(xí)。

“余弦定理”這節(jié)課的“根”是向量的運(yùn)算，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)緊緊圍繞這個(gè)“根”展開。下面我們分析“前置問題解決單”中設(shè)計(jì)的問題。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}6通過置空留白的形式設(shè)置了余弦定理的應(yīng)用，意在鞏固余弦定理的基本概念。問題6的第（2）問以四邊形為背景，進(jìn)一步置空問題的呈現(xiàn)形式，意在進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)余弦定理的內(nèi)涵和外延的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。第（3）問以余弦定理為“根”，以命制一道解三角形題目為“空”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度思考與開放探索，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和應(yīng)用能力，同時(shí)深化學(xué)生對(duì)余弦定理的本質(zhì)的理解，進(jìn)一步落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)。

以上6個(gè)問題的設(shè)置以余弦定理的知識(shí)源點(diǎn)——數(shù)量積的運(yùn)算為起點(diǎn)，逐層遞進(jìn)，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷余弦定理的發(fā)生、發(fā)展過程的同時(shí)，通過置空逐步把教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)過渡到對(duì)余弦定理本質(zhì)的探究。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。

（二）歸根——核心素養(yǎng)的形成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的“基本理念”中指出：“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)。”［2］這對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了新的要求。高中數(shù)學(xué)教師要構(gòu)建以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向，能引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的課堂。在“根+空”理念下，教師引導(dǎo)學(xué)生從問題入手，通過對(duì)問題的分解與分析，找到問題的本質(zhì)，通過對(duì)問題指向的基本概念、基本思想的歸根，找到解決問題的思路與方法。“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要體現(xiàn)在“自我探究”和“討論辨析”兩個(gè)步驟，即“歸根補(bǔ)空”環(huán)節(jié)。下面我們通過對(duì)本課例前置研究中的問題的分析，說明是如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸根補(bǔ)空的。

我們來看前置研究中的問題3。該問題的設(shè)置目的在于引導(dǎo)學(xué)生推理出余弦定理的一般形式，有了問題1和問題2的鋪墊，學(xué)生很容易將問題3的本質(zhì)歸根到數(shù)量積的運(yùn)算上。新知識(shí)的形成扎根于已學(xué)習(xí)的知識(shí)，符合思維最近發(fā)展區(qū)原則。這樣基于知識(shí)基礎(chǔ)的“歸根”，非常有利于學(xué)生分析問題和提出問題能力的提升。

我們?cè)倏辞爸醚芯恐袉栴}6的第（1）問。該問題選自教材例題，題設(shè)條件給出了兩邊及其夾角的正弦值，要求求解三角形中其他三個(gè)元素。對(duì)于邊[c]的求解，學(xué)生容易歸根到余弦定理；通過前面計(jì)算出[c]的值，便知道了△[ABC]中三邊的長(zhǎng)度。接下來，[cosA]的求解自然歸根到余弦定理的推論，而[cosB]的求解，既可以歸根到余弦定理的推論，也可以歸根到三角形內(nèi)角和定理。

我們接著看前置研究中問題6的第（2）問。此問題的解答對(duì)學(xué)生的能力要求更高，大部分學(xué)生不能自主解答。通過前面問題的解答，學(xué)生具有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)和基本經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)展開小組合作學(xué)習(xí)，進(jìn)行討論辨析正是時(shí)候。在討論辨析過程中，學(xué)生通過對(duì)四邊形中給出的基本元素的分析，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相關(guān)的三角形，問題的本質(zhì)回歸到三角形中三邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，即余弦定理，從而問題迎刃而解。在學(xué)生的討論過程中有了如下兩種解法。

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“自我探究”和“討論辨析”兩個(gè)步驟，既是概念形成和概念深化的關(guān)鍵步驟，也是引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題的重要環(huán)節(jié)。在“歸根補(bǔ)空”的過程中，學(xué)生夯實(shí)了“四基”，發(fā)展了“四能”，培育了核心素養(yǎng)。

（三）培根——素養(yǎng)的沉淀

唐代詩人柳宗元在《種樹郭橐駝傳》中描寫了長(zhǎng)安城內(nèi)一位職業(yè)種樹人郭橐駝，有人問他種的樹為什么長(zhǎng)勢(shì)這么好，他對(duì)曰：“橐駝非能使木壽且孳也，能順木之天，以致其性焉爾。凡植木之性，其本欲舒，其培欲平，其土欲故，其筑欲密。”育人和種樹是一樣的道理，“順木之天，以致其性”，“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“講解展示”和“評(píng)價(jià)總結(jié)”兩個(gè)步驟更為注重培根。新授課的“評(píng)價(jià)總結(jié)”環(huán)節(jié)和習(xí)題課的“歸納整理”環(huán)節(jié)對(duì)于學(xué)生能力的提升尤為重要，正如“其土欲故”，此時(shí)正需“其筑欲密”。“培根”這個(gè)環(huán)節(jié)抓好了，教學(xué)效果將事半功倍。下面我們分析“余弦定理”這一課的培根過程。

我們看問題4的設(shè)置“請(qǐng)你用自己的語言敘述余弦定理，作出示意三角形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)寫出你敘述的內(nèi)容”。用自己的語言表達(dá)，輔以圖形表示，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示，設(shè)置這樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、感悟余弦定理的本質(zhì)，在核心概念處培根，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。

再看問題6的設(shè)置，第（1）問和第（2）問在歸根的過程中已悄然培根，歸根和培根是相輔相成的，培根是為了在解決更加復(fù)雜的問題時(shí)能準(zhǔn)確歸根，找到解決問題的關(guān)鍵所在，歸根的過程又在潛移默化地培根。而問題6中第（3）問要求命制一道用余弦定理求解的解三角形題目，培根和歸根這兩環(huán)節(jié)更是渾然一體，促進(jìn)了學(xué)生理性思維的發(fā)展和核心素養(yǎng)的沉淀，悄無聲息地培育了學(xué)生的科學(xué)精神。

這節(jié)課的核心概念是余弦定理，整節(jié)課的教學(xué)緊緊圍繞余弦定理概念的形成、深化和應(yīng)用展開，在此過程中時(shí)時(shí)培根、處處培根，目的在于引導(dǎo)學(xué)生掌握余弦定理的本質(zhì)，使學(xué)生能夠在更加復(fù)雜的綜合問題中應(yīng)用自如。例如：

［例1］（2022年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽A2卷一試第9題）已知[△ABC]及其邊[BC]上的一點(diǎn)[D]滿足：[AB=2BD]，[AC=3CD]，且以[A]、[D]為焦點(diǎn)可以作一個(gè)橢圓[Γ]同時(shí)經(jīng)過[B]、[C]兩點(diǎn)，求[Γ]的離心率。

［例2］（2023年高考全國(guó)甲卷第11題）在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是正方形，[AB=4]，[PC=PD=3]，[∠PCA=45°]，則△[PBC]的面積為（）。

A. [2√2]B. [3√2]C. [4√2]D. [5√2]

例1是一道綜合考查橢圓的定義、離心率和解三角形的題目，題目以橢圓的定義為背景考查三角形中三邊和一角的關(guān)系，題目的本質(zhì)是對(duì)余弦定理的考查。例2以四棱錐和兩個(gè)等腰三角形為背景，設(shè)置了在立體幾何中求解四棱錐一個(gè)側(cè)面[PBC]的面積的問題，其本質(zhì)是在△[PCA]和△[PBC]中三邊及其一角的關(guān)系，即余弦定理。這兩道題雖有一定難度，但若善于歸根，把握問題本質(zhì)，解答便自然水到渠成。

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)圍繞暗線“尋根—?dú)w根—培根”進(jìn)行設(shè)計(jì)，圍繞明線“前置研究—自我探究—討論辨析—分享展示—評(píng)價(jià)總結(jié)”有序展開，通過問題設(shè)置和多元化的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教、以教啟學(xué)，全面落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)。

四、“根+空”理念下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)，打破了長(zhǎng)期以來傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的“空”無法施展的困境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。但還存在一些需要繼續(xù)完善的地方，如“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式如何推廣到各個(gè)不同層次的學(xué)校，在小學(xué)中如何開展“根+空”的數(shù)學(xué)教學(xué)，中小學(xué)其他科目如何開展“根+空”的課堂教學(xué)，如何實(shí)施各教學(xué)段有效銜接的“根+空”課堂教學(xué)。這對(duì)我們繼續(xù)實(shí)踐、完善“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式提出了新任務(wù)、新要求。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 欒功，肖寶瑩，強(qiáng)基計(jì)劃背景下“雙向—五維—交互”中學(xué)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（2）：36-39.

［2］? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）

［基金項(xiàng)目］廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“強(qiáng)基計(jì)劃背景下‘雙向—五維—交互的中學(xué)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑的構(gòu)建與實(shí)踐”（2023C464）。