一種位置正解符號化且運動部分解耦的新型2T1R并聯機構動力學分析*

杜中秋,沈惠平*,李 菊,李 濤,吳廣磊

(1.常州大學 現代機構學研究中心,江蘇 常州 213164;2.大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024)

0 引 言

因其具有結構簡單、造價低、運動控制方便,以及剛度高、承載能力大等特點,目前,三自由度的并聯機構在工業生產抓取、定位操作、娛樂、調姿等設備中得到了廣泛應用[1-2]。而其中具有移動和轉動混合運動的2T1R并聯機構具有更高的研究價值[3]5-6。不少學者對該類型并聯機構進行了相關的拓撲學和運動學研究[4-6]。因為動力學是機構學研究的重要組成部分,所以對機構進行動態分析和高精度實時控制至關重要[7]1-2,[8]。

目前,常用的動力學建模方法主要有[8]1-2:拉格朗日(Lagrange)法、牛頓-歐拉(Newton-Euler)法、虛功原理、凱恩(Kane)法等。

基于Lagrange方程,白志富等人[9]建立了一種三自由度的并聯機構的動力學模型,計算推導出了驅動力的顯示解。同樣基于Lagrange方程,陳修龍等人[10]建立了4-UPS-RPU 4自由度冗余驅動并聯機構的動力學模型。郝秀清等人[11]運用Newton-Euler法,分析了并聯機構各構件的受力情況,推導出了3PTT并聯機構的動力學方程。李永剛等人[12]采用Newton-Euler法,建立了3-RPS機構的剛體動力學方程,并預設了機構動平臺的軌跡,且在施加載荷的情況下,計算了并聯機構的驅動力。趙曉東等人[13]將達朗伯原理與虛功原理相結合,建立了3-RPUR并聯機構的動力學模型。宋小科等人[14]運用虛功原理,建立了含約束支鏈的4PUS-1RPU并聯機構的動力學模型。李新友等人[15]采用Kane法,建立了3UPS/S并聯機構的動力學模型,并分析了機構動平臺的動力學特性。趙學洋等人[16]分析了運動平臺和各個驅動桿件的速度、加速度之間的關系,并且采用Kane法,建立了3-TPT并聯機構的動力學模型。

在上述動力學建模方法中:1)Lagrange法主要是從動能和勢能角度建立動力學模型,因此,對于多構件系統的應用而言,該方法計算量大,且無法計算關節處的支反力;2)Newton-Euler法通過單獨分析各構件受力,建立動力學模型,該方法建模思路清晰,同樣對于多構件系統的應用,該方法計算量也很大;3)虛功原理是針對整個系統虛位移做功,建立動力學模型,該方法只需計算各構件速度雅可比矩陣及作用力,具有簡單、高效的特點,但其無法計算主要關節處的支反力;4)Kane法在建立動力學模型時,需要計算偏速度和偏角速度,其優點是公式簡潔,無需計算加速度,同時適用于非完整約束系統,但其無法計算關節處的支反力。

楊廷力[17]197提出了基于虛功原理的力分析序單開鏈法,以子運動鏈(SKC)為基本單元,其一方面具有傳統虛功原理計算簡單的優點;另一面也可計算SKC連接處的支反力,這對機械結構的強度計算及其設計至關重要。黃凱偉等人[18]設計了一種部分解耦且具有位置符號解的2T1R并聯機構,并利用序單開鏈法,建立了并聯機構的逆向動力學模型。SHEN H P等人[19]設計了一類具有解耦運動和符號式位置正解的2T1R并聯機構,并利用序單開鏈法,分析了優化支鏈布置對機構動力學的影響。針對一種零耦合度的2T1R并聯機構,湯耀等人[20]用序單開鏈法,研究了選用不同廣義坐標系對動力學建模的影響。

筆者提出一種零耦合度、位置正解符號化,且部分運動解耦的2T1R并聯機構,利用序單開鏈法(基于虛功原理)建立其動力學模型,計算各構件的速度雅可比矩陣,建立逆向動力學模型;同時,計算2個SKC處的部分支反力,以期為該機構的樣機研制及動力學優化奠定基礎。

1 2T1R并聯機構的設計

根據基于方位特征(position orientation charact-eristic,POC)方程的并聯機構拓撲設計方法,筆者設計了一種新型零耦合度2T1R并聯機構[21],如圖1所示。

圖1 2T1R并聯機構簡圖

該并聯機構由2條混合支鏈組成,其中,混合支鏈I中,由{-P11‖R12‖R13‖R14-}與{-P21⊥R22‖R23-}并聯后再串聯一個R24組成;混合支鏈‖中,由P31副與4R平行四邊形結構Pa與{-R33‖R34-}子鏈串聯而成,而R24和R34連接動平臺1的兩側,且R24‖R34。

由拓撲分析易知,該機構的動平臺1可以產生2T1R的運動輸出;同時,該機構包含2個子運動鏈SKC,即P11‖R12‖R13‖R14⊥R23‖R22⊥P21;P31-Pa-R33‖R34,且根據文獻[3]中耦合度計算公式,經計算表明:其耦合度κ=0,該機構的運動學位置容易求解,易得到符號式位置正解。

2 運動學建模分析

2.1 位置分析

機構的運動學建模如圖2所示。

圖2 運動學建模

位置正解為:已知驅動副P11、P21、P31,輸入量y1、y2、y3,求動平臺1位置o(x,y,z)及姿態角β。

設靜平臺兩側導軌之間的距離為2a,靜坐標系原點位于兩導軌中心線上的一個定點。同時,設AiBi=l1,i=1,2,3,B1C1=C1D=l2,DE=EC2=l3,B2C2=l4,B3C3=l5,C3F=l6,EF=l7,動平臺的姿態角為β。

機構的位置正解可分別在SKC1和SKC2中進行求解。

1)SKC1中的位置正解

易知:A1=(a,y1,0),A2=(a,y2,0),B1=(a,y1,l1),B2=(a,y2,l2),D=(a,y1,z),C2=(a,y1+2l3,z),E=o=(a,y1+l3,z)。

由桿長約束條件B2C2=l4,可得:

(1)

2)SKC2中的位置正解

易知:A3=(-a,y3,0),B3=(-a,y3,l1)。

由題設可知,兩側移動副導軌之間的距離為2a,將該機構中的E-F-C3向xoz面投影,如圖2(b)所示。

顯然,可以知道:

F=(a-l7cosβ,y1+l3,z+l7sinβ);

C3=(-a,y1+l3,zc3)。

由桿長約束條件B3C3=l5,可得:

(2)

又根據桿長約束條件C3F=l6,可得:

(3)

至此,動平臺1位置o(x,y,z)及姿態角β均已解出,如下:

(4)

由式(4)易知:該2T1R機構不僅有符號式位置正解,而且具有部分運動解耦性,即輸出端點的y值僅由輸入量y1決定,z值僅由y1和y2決定,β由y1、y2、y3共同確定,因此,機構的實時控制和運動軌跡規劃較為容易。

機構的位置逆解可分別通過拓撲分析和桿長約束B3C3=l5;C3F=l6解得,故這里不再贅述。

2.2 速度與加速度分析

2.2.1 動平臺上基點E的速度與加速度分析

(5)

其中:

機構非奇異時,Jo可逆,由式(5)可得:

(6)

對式(6)中時間t求導可得:

(7)

為了便于后續計算,需要將動平臺1基點E的速度矩陣分解為平移速度矩陣和轉動速度矩陣,即:

(8)

(9)

2.2.2 各桿件的速度和加速度

1)桿件AiBi的速度與加速度

點Bi的速度為:

VBi=VAi+ωi×(liCAiBi)

(10)

式中:VAi為移動副Pi1的線速度;ωi為桿AiBi的角速度;CAiBi為桿AiBi的單位矢量;因驅動桿AiBi僅存在移動,故ωi=0。

將式(10)兩邊對時間t求導可得:

aBi=aAi

(11)

式中:aAi為移動驅動副Pi1的加速度。

于是,桿件AiBi=l1,i=1,2,3,質心的速度和加速度分別為:

VAiBi=VBi=VAi,aAiBi=aBi=aAi

(12)

2)桿件B1C1的速度與加速度

點C1的速度為:

VC1=VB1+ωC1B1×(l2CB1C1)

(13)

兩邊叉乘CB1C1得:

(14)

將式(13)兩邊對時間t求導,可得:

aC1=aB1+l2εC1B1×CB1C1+l2ωC1B1×(ωC1B1×CB1C1)

(15)

對式(15)兩邊叉乘CB1C1,得桿件B1C1的角加速度為:

(16)

由式(13)和式(15)可知,桿B1C1質心的速度和加速度分別為:

(17)

3)桿C1D的速度與加速度

點D的速度為:

VD=VC1+ωDC1×(l2CC1D)

(18)

兩邊叉乘CC1D得:

(19)

將式(18)兩邊對時間t求導,可得:

aD=aC1+l2εDC1×CC1D+l2ωDC1×(ωDC1×CC1D)

(20)

對式(20)兩邊叉乘CC1D,得桿件C1D的角加速度為:

(21)

由式(18)和式(20)可知,桿C1D質心的速度和加速度分別為:

(22)

4)桿B2C2的速度與加速度

點C2的速度為:

VC2=VB2+ωC2B2×(l4CB2C2)

(23)

兩邊叉乘CB2C2得:

(24)

將式(23)兩邊對時間t求導,可得:

aC2=aB2+l4εC2B2×CC2B2+l4ωC2B2×(ωC2B2×CB2C2)

(25)

對式(25)兩邊叉乘CB2C2,得桿件B2C2的角加速度為:

(26)

由式(23)和式(25)可知,桿B2C2質心的速度和加速度分別為:

(27)

5)桿DC2的速度與加速度

因桿DC2只在yoz面做二維移動,故VD=VE=VC2,aD=aE=aC2。

桿DE質心的速度和加速度分別為:

(28)

6)平行四邊形構件中各桿的速度和加速度

筆者將平行四邊形構件中的兩長桿運動等效為桿件B3C3,然后進行分析,可知C3點的速度為:

VC3=VB3+ωC3B3×(l5CB3C3)

(29)

兩邊叉乘CB3C3得:

(30)

將式(29)兩邊對時間t求導,可得:

aC3=aB3+l5εC3B3×CC3B3+l5ωC3B3×(ωC3B3×CB3C3)

(31)

對式(31)兩邊叉乘CB3C3,得桿件B3C3的角加速度為:

(32)

由式(29)和式(31)可知,桿B3C3質心的速度和加速度分別為:

(33)

平行四邊形短桿的質心速度和加速度分別和點C3對應的速度和加速度相等。

7)桿C3F的速度和加速度

點F的速度為:

VF=VC3+ωFC3×(l6CC3F)

(34)

兩邊叉乘CC3F得:

(35)

將式(34)兩邊對時間t求導,可得:

aF=aC3+l6εFC3×CC3F+l6ωFC3×(ωFC3×CC3F)

(36)

對式(36)兩邊叉乘CC3F,得桿件C3F的角加速度為:

(37)

由式(34)和式(36)可知,桿C3F質心的速度和加速度分別為:

(38)

8)動平臺1質心的速度和加速度

動平臺1的速度和加速度為:

(39)

動平臺1的角速度和角加速度為:

(40)

2.2.3 速度雅可比矩陣

機構中各運動副連接處的速度和加速度,均可由運動學各點的坐標分別對時間t求導數得到。

1)桿件AiBi=l1的速度雅可比矩陣

桿件AiBi=l1,i=1,2,3,分別為驅動桿,且為移動驅動,因此有:

(41)

2)平行四邊形結構中桿件的速度雅可比矩陣

由式(30)和式(33)可知:

(42)

(43)

3)桿件C3F的速度雅可比矩陣

因此有:

(44)

(45)

4)動平臺1的速度雅可比矩陣

由式(39)和式(40)可知:

(46)

(47)

5)桿件B1C1的速度雅可比矩陣

由式(14)和式(17)可知:

(48)

(49)

6)桿件C1D的速度雅可比矩陣

由式(19)和式(22)可知:

(50)

(51)

7)桿件B2C2的速度雅可比矩陣

由式(24)和式(27)可知:

(52)

(53)

3 機構的動力學建模

3.1 基于虛功原理的序單開鏈法

筆者按照上述拓撲結構分解的逆序,對各單開鏈進行動力學分析。由單開鏈之間的約束關系和虛功原理可知:在理想約束下,外力(矩)和慣性力(矩)在機械系統的任何虛位移上的元功之和等于零[17]199,即可建立各SKC的動力學分析方程。

3.2 受力分析

由拓撲分析可知,該并聯機構由2個耦合度均為0的子運動鏈(SKC)組成,故可分別在SKC1、SKC2內對各桿件進行受力分析。

3.2.1SKC2內各構件受力分析

1)動平臺

取動平臺的質心為p點,則:

(54)

式中:fp,τp為動平臺所受的外力和外力矩;mp為動平臺的質量;g為重力加速度;ω1,ε1為動平臺1的角速度和角加速度;Ip為坐標系O-XYZ下動平臺1的慣量矩陣;Fp,Mp為動平臺所受的力和力矩。以下公式(55)～式(63)中字符含義類似。

2)移動滑塊A3B3

QA3B3表達式為:

(55)

式中:mA3B3為滑塊A3B3的質量;fA3B3為滑塊A3B3上的驅動力。

3)轉動桿B3C3

在平行四邊形結構中,其短桿輸出為一維平移,故其兩長桿具有相同的速度。因此,需要將兩長桿等效為一個轉動桿B3C3,即:

(56)

式中:mB3C3為桿B3C3的質量;IB3C3為坐標系O-XYZ下桿B3C3的慣量矩陣。

4)平行四邊形短桿

由于平行四邊形的短桿只產生平行移動,故有:

(57)

式中:mRcRd為平行四邊形短桿RcRd的總質量。

5)轉動桿C3F

QC3F表達式為:

(58)

式中:mC3F為桿C3F的質量;IC3F為坐標系O-XYZ下桿C3F的慣量矩陣。

3.2.2SKC1內各桿件受力分析

1)桿件DC2

由于桿件DE、EC2均在YOZ面運動,且兩桿同軸線,不發生相對轉動,故這里將桿件DE和桿件EC2視為同一桿件DC2:

(59)

式中:mDC2為桿件DE和桿件EC2的總質量。

2)驅動滑塊AiBi

QC3F表達式為:

(60)

式中:mAiBi為滑塊AiBi的質量;fAiBi為滑塊AiBi上的驅動力。

3)桿件B1C1

QB1C1表達式為:

(61)

式中:mB1C1為桿B1C1的質量;IB1C1為坐標系O-XYZ下桿B1C1的慣量矩陣。

4)桿件C1D

QC1D表達式為:

(62)

式中:mC1D為桿D1C1的質量;IC1D為坐標系O-XYZ下桿C1D的慣量矩陣。

5)轉動桿B2C2

QB2C2表達式為:

(63)

式中:mB2C2為桿B2C2的質量;IB2C2為坐標系O-XYZ下桿B2C2的慣量矩陣。

3.3 動力學方程的建立

筆者解除運動副R24的約束,即E處的約束,得到SKC1、SKC2,2個子系統,于是,支反力FE轉化為作用在2個子系統構件上的未知外力。筆者根據序單開鏈法(基于虛功原理),分別在SKC1、SKC2中建立其動力學方程。

SKC2的動力學方程為:

(64)

而SKC1的動力學方程為:

(65)

其中:δXAiBi=JvAiBiδq(i=1,2,3),δXC3F=JvC3Fδq,δXBiCi=JvBiCiδq(i=1,2,3),δXp=Jvpδq,δXDC2=Jxδq,δXC1D=JvC1Dδq,δθC3F=JwFC3δq,δθBiCi=JwCiBiδq(i=1,2,3),δθp=Jwpδq,δθC1D=JwDC1δq。

式中:δX,δθ為為移動虛位移和角度虛位移;FE為E處支反力。

將式(16)～式(47)代入式(48)～式(56),即可求出驅動力fAiBi(i=1,2,3)以及SKC連接副E處的支反力FE。

3.4 驅動力計算實例

3.4.1 桿件參數

筆者設計的2T1R機構具有以下特點:1)耦合度為零;2)具有符號式位置正解;3)有部分運動解耦性。因此,上述機構具有潛在工程應用價值。例如:在物流分揀應用領域,可以利用該機構兩平移的運動特性實現YOZ面上物品的長距離運輸;同時,當物品到達特定地點時,再利用其一轉動的特性,進行物品的裝卸。

基于上述假設的應用場景,筆者對該并聯機構結構參數進行初步設計:a=300 mm,l1=100 mm,l2=200 mm,l3=160 mm,l4=400 mm,l5=320 mm,l6=240 mm,l7=500 mm。

假設取3個驅動副P11、P21、P31的輸入函數分別為:y1=20sin(πt),y2=-10sin(πt),y3=20sin(πt)。

機構中各桿件的質量分別為:mAiBi=0.072 8 kg,mA3B3=0.124 1 kg,mB1C1=0.076 4 kg,mC1D=0.076 3 kg,mB2C2=0.139 4 kg,mDC2=0.094 7 kg,mB3C3=0.114 1 kg,mRcRd=0.051 2 kg,mC3F=0.089 0 kg,mEF=0.659 0 kg。

各桿件的轉動慣量如表1所示。

表1 各桿件的轉動慣量參數 (單位:kg/m2)

3.4.2 驅動力求解

筆者將以上參數代入動力學方程式(54)～式(65),在負載為3 kg狀態下,運用MATLAB計算(忽略摩擦時)該機構的驅動力;同時,將虛擬樣機導入ADAMS中進行仿真(運動仿真時間為5 s)。

驅動力曲線如圖3所示。

圖3 驅動力曲線

對比圖3(a,b)可知:驅動力理論計算曲線與ADAMS仿真曲線基本一致,僅存在細微差距,故可證明筆者所建立的動力學模型是正確的。

當解除點E處的約束時,支反力FE轉化為未知外力,根據式(64)可得點E處的Y、Z方向的支反力變化曲線,如圖4所示。

圖4 E點處支反力曲線

同理,對比E點處的理論計算值與ADAMS仿真值,發現兩者一致,誤差很微小,故可證明E點處支反力計算是正確的。

筆者設計的2T1R機構,其結構上由2個耦合度均為零的SKC組成,而動力學建模也是基于SKC拓撲分解順序進行的,故得到了2個獨立的動力學方程式(64)、式(65)。

從動力學方程式可以發現,式中包含了E點處的支反力,且可以通過兩式之和建立整個系統的動力學方程。

4 結束語

三自由度并聯機構具有結構簡單、造價低、運動控制方便、承載能力大等優點,目前得到了廣泛應用,而其中具有移動和轉動混合運動的2T1R并聯機構則有更高的研究價值。為了研發和推廣2T1R并聯機構,筆者提出了一種新型2T1R并聯機構,并對其進行了運動學位置分析和動力學分析,計算得到了3個驅動副的驅動力和子運動鏈連接處的支反力。

研究結果表明:

1)所設計的2T1R并聯機構,其耦合度為零,具有符號式位置正解,且具有運動解耦性,這些特性有利于對機構進行實時控制和運動軌跡規劃;

2)基于位置分析方法,對機構進行了速度加速度分析,得到了各桿件的速度雅可比矩陣;

3)根據基于虛功原理的序單開鏈法,按照機構拓撲分解的順序,分別建立了2個SKC的動力學模型。當機構在負載為3 kg狀態下時,根據所建立的動力學模型,得到了所需的驅動力,及其2個SKC連接處的支反力,并利用ADAMS軟件對建立的虛擬樣機進行了仿真,證明了該動力學模型的正確性。

筆者采用序單開鏈法(基于虛功原理),對所設計的機構進行了動力學建模,其建模過程沒有考慮運動副的間隙、摩擦等因素的影響。因此,在后續的研究工作中,將進一步研究該類因素造成的誤差,為樣機的研制與應用提供技術參考。