基于分類討論提高高中生數學解題能力的研究

盧向英

(甘肅省金昌市龍首高級中學,甘肅 金昌 737100)

隨著新課改的深入,以數學核心素養的落實來對整個教學的流程及內容進行優化及改進,是促進課程教學深入改革、助力學生綜合素質發展的根本要求與必然選擇.在數學解題教學中,強化解題思想方法的滲透,幫助學生提高解題能力,已成為當今數學教學的重要任務之一.

1 分類討論及其在高中生數學解題能力發展中的意義

分類討論實際上就是由于解題條件存在不確定的情況,為了保證最終問題分析的全面性與準確性,對一切可能存在的解題條件進行分情況討論,將整個問題相應地劃分成若干個小問題來進行分別討論、分析及求解,最終再將不同分類討論得到的結果進行匯總.在數學問題解決中,如果可以指導高中生靈活運用分類討論思想來求解問題,那么可以鍛煉學生思維的發散性、嚴密性與準確性,保證他們在求解問題中可以保持思維的靈動性和能辨性,避免因為思維定勢而造成錯解問題.特別是數學知識及問題本身的繁雜、抽象等特征非常突出,如果巧用分類討論思想來分析問題,那么對學生邏輯思維能力和解題能力的發展都有積極的促進作用.當下許多高中生在解題過程中經常出現解題不全面、解題不準確等問題,而造成這些問題出現的原因都是因為自身思維能力和解題能力不足.此時通過有效運用分類討論思想,對增強學生思維的嚴謹性,提高數學解題能力等有積極的意義[1].

2 基于分類討論的高中生數學解題能力提高策略

2.1 運用于求解函數問題

“函數”是高中數學知識體系的重要組成部分,本身涉及到圖象、性質、定理等眾多方面的知識點,知識的綜合性以及相關數學問題本身的繁雜等特性都非常顯著.作為高中數學考試的必考知識點,函數部分的數學題型種類繁多,對高中生自身的解題能力要求較高,尤其是容易在該部分數學問題求解中遇到難題,主要表現為答題結果不全面、不完整或者不準確等等[2].比如,許多學生在求解的時候容易忽視函數本身的定義域,以至于因為定義域范圍判斷不準而影響了最終的解題準確性.而如果可以在指導學生求解函數問題中靈活融合分類討論思想,那么可以鍛煉學生思維的嚴謹性,讓他們可以立足于宏觀題干信息與條件視角來對其中的變量、隱含條件或者特殊要求等進行深入把控,并且可以結合實際情況進行分類分析及討論,確保了整體函數問題求解中學生考慮的全面性,避免因為考慮不周全而直接影響最終的準確解題.

例1已知某一函數f(x)=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)為一次函數,試求參數m的取值是多少?

分析由于給定的函數f(x)本身已經確定是一次函數,而函數式中相應的包含x的項中的(m+3)x2m+1中的(2m+1)次項或(m+3)系數本身不確定,為了滿足實際的求解需求,(2m+1)次項可以為0或1,而(m+3)系數可以為0,這些情況下都能夠確保最終所構成的函數為一次函數.在這種分類討論思路下,學生就可以針對不同分類討論的情況分別進行列式計算,具體如下:

(2)在2m+1=1,即m=0的時候,相應的函數是f(x)=7x-5,構成了一次函數.

(3)在m+3=0,即m=3的時候,相應的函數是f(x)=4x-5,構成了一次函數.

2.2 運用于求解集合問題

集合部分知識是高中數學學習階段入門的一類基礎知識,本身也是高中生最早接觸的一類全新的數學內容.雖然這部分知識以及相關類型題本身的求解難度不大,沒有涉及到繁瑣的計算過程,但是卻屬于高考數學考試中必考的知識點.通過指導高中生在求解該類數學問題中有效運用分類討論思想可以有效提高他們解題準確度,增強他們解題的自信心.而分類討論思想運用主要表現為要指導學生對集合與元素,集合與集合等彼此之間的相應關系開展分類討論及分析,尤其是針對那些含有參數的集合問題,求解中更是依賴于分類討論,之后方可借助有效的計算方法來提高整體的問題分析及求解準確性,避免出現重復計算或者遺漏計算等問題[3].

例2已知集合M?{1,2,3,4,5},假定a∈M,試求滿足(6-1)∈M的非空集合M有多少個?(注:寫出相應的集合.)

分析針對本道集合題的求解,如果忽視了分類討論思想的有效運用,那么會造成解題結果不準確.因為根據題干給出的條件以及待求解的結論,為了保證高中生在解題中做到全面分析,嚴謹求解,就需要結合集合M當中的實際元素個數開展分類討論,以保證最終結果的準確性,具體分類討論結果如下:

(1)如果集合M當中僅包含1個元素,假定3∈M,那么此時可知6-a=6-3=3∈M,故此時相應的集合M為M={1};

(2)如果集合M當中僅包含2個元素,那么這時候滿足有關條件的M數目總計為2,即M={1,5},M={2,4};

(3)如果集合M當中僅包含3個元素,那么這時候滿足有關條件的M數目總計為2,即M={1,3,5},M={2,3,4};

(4)如果集合M當中僅包含4個元素,那么這時候滿足有關條件的M數目總計為1,即M={1,2,4,5};

(5)如果集合M當中僅包含5個元素,那么這時候滿足有關條件的M數目總計為1,即M={1,2,3,4,5};

綜上所述,滿足題干條件的集合M的相應數量總計是7,且分別為{1}、{1,5}、{2,4}、{1,3,5}、{2,3,4}、{1,2,4,5}和{1,2,3,4,5}.

2.3 運用于求解數列問題

數列問題同樣是高中數學又一重要問題,主要是等差或等比兩種類型的數列.該種類型數學題本身難度不大,但是一般會包含有未知量、變量等,為了可以對相應數列問題進行準確求解,也要注意在求解問題中應用分類討論思想,更好地幫助高中生對其中包含的數量關系問題或者周期性問題進行求解,降低了相應問題求解的難度[4].因此,在該部分數學題求解教學中,可以選擇恰當的一些類型題來幫助學生借助分類討論的方法來對整個問題求解過程進行簡化,保證不斷提高他們解題的準確性與效率.

例3 現有一個數列1,2x,3x2,4x3,…,試求其Sn?

分析本道數列問題中沒有對數列本身所屬的類型進行確定,在實際的求解中許多高中生可能會片面地認為其為等差數列或者等比數列,那么求解問題過程中就容易出現考慮不周的問題.此時如果學生懂得利用分類討論思想來分析問題,那么可以在分類討論的過程中快速簡化問題求解過程,尤其是注意到對x=0這一特殊情況進行考慮.

假設Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1,之后可以在此基礎上進行下述分類討論:

(1)當x=0時,a1=1,a2=2x=0,a3=3x2=0,…,an=nxn-1=0,這時候化簡可以確定Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1=1.

(3)當x≠0且x≠1時,基于Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1①可以相應地得到下式:xSn=x+2x2+3x3+4x4+…+nxn②.

由①-②,得

2.4 運用于求解幾何問題

幾何問題也是高中生覺得難度比較大的一類數學問題,相應的數學知識點在整個數學知識體系中占有較大比重.雖然高中生在經過以前的數學學科知識學習之后對平面幾何知識形成了深刻認知,但是在進入高中后碰到立體幾何方面知識及問題,卻容易因為這些知識或問題的繁雜性特征比較突出而影響了他們學習的效果.在指導高中生求解立體幾何問題過程中,為了可以鞏固他們課堂所學部分的數學知識,以及提高他們求解幾何問題的能力,要注意結合題干信息應用分類討論思想,對數學問題題干信息進行剖析來確定問題的關鍵類型,之后結合關鍵信息來進行認真分析,明確其中可能存在的各種可能情況,并且要逐一列出來,避免因為遺漏而造成解題不準確.

總之,分類討論是提高高中生數學解題能力和思維能力,助力他們數學綜合素質全面發展中非常關鍵的一種數學思想.在實際的數學問題求解教學中,可以結合集合問題、函數問題、數列問題和幾何問題等常見問題,指導學生運用分類討論去對問題進行分類討論及求解,保證不斷提高他們基于分類討論思想解題的能力.