淺談三種解析幾何中的常考題型

王立奎

(湖北省利川市民族中等職業(yè)技術(shù)學校,湖北 利川 445400)

高中數(shù)學解析幾何內(nèi)容包含各種問題,考查形式靈活多變,掌握更多題型能幫助同學們理解解析幾何問題并且高效解答.在眾多題型中,與向量結(jié)合是最常見的考查形式,除此之外還有和面積、直線相關(guān)的常見問題,分析區(qū)別并總結(jié)這些問題,能提高解題效率和準確度.

1 求向量的倍數(shù)λ的取值范圍問題

向量和解析幾何內(nèi)容綜合在一起考查,一般會把解析幾何上的線段看做向量,探討不同線段之間的等量關(guān)系,可總結(jié)成一類解析幾何中的向量倍數(shù)λ大小問題.求解這類問題可以通過構(gòu)造不等式進行,常用的構(gòu)造不等式思路包括利用曲線方程中的變量的范圍構(gòu)造、利用判別式構(gòu)造、利用點與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)造等.求解λ的取值范圍問題,第一步根據(jù)題意確定構(gòu)造不等式的具體方向;第二步根據(jù)圖像和相關(guān)的圓錐曲線的性質(zhì)分析題中的幾何關(guān)系,并列出具體不等式;第三步根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特點,結(jié)合不同知識點運算得到最終答案[1].

解析根據(jù)題意可知,其圖像如圖1所示:

圖1 作y軸垂線

分別作經(jīng)過曲線C的上頂點A和下頂點B且垂直于y軸的垂線,令這兩條垂線與直線l的交點為P、Q,據(jù)此進行分析:

①當|DM|>|DN|時:

|DM|≤|DQ|,|DN|≥|DP|,

所以1<λ≤3,

②當|DM|<|DN|時,

2 求面積最大值問題

解析幾何的最大值問題也是常見的一類題型,常以解析幾何為載體,對構(gòu)成的圖形面積的最大值考查.求解思路如:利用圓錐曲線的定義、圖形對稱性和幾何性質(zhì)解題.解答解析幾何面積最大值的問題,第一步需要確定題目所求的圖形面積的表示公式;第二步根據(jù)所求解題目中的已知條件,列出具體解析式;第三步結(jié)合相關(guān)定義及性質(zhì)、定理代入具體值計算,進而求得所求最大值即可.

剖析假設(shè)圓心O分別到AC、BD弦的距離,再利用圓心到交點的距離OM和四邊形的面積公式列出具體式子,運算求解得到所求四邊形的面積最大值.

解析根據(jù)題目已知條件可知:

假設(shè)圓心O到弦AC、BD的距離為d1、d2,

綜上所述,四邊形ABCD的面積最大值為5.

剖析問題對面積的最大值進行考查,首先確定如何表示四邊形面積,結(jié)合面積公式對其進行表達,憑借圓的性質(zhì)對表達式進行簡化和替換,進而代入具體值求得最終值[2].

解析如圖2所示,作OE⊥AC,OF⊥BD,

圖2 向弦作垂線

垂足為E、F,

因為AC⊥BD,

所以四邊形OEMF是矩形,

設(shè)圓心O分別到弦AC、BD的距離為d1、d2,

綜上所述,四邊形ABCD面積最大值是10.

3 求直線斜率k問題

例4已知直線l:y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x有兩個交點A、B,如果拋物線C的焦點為F,且|FA|=2|FB|,則k=____.

剖析首先已知直線解析式不需要對其假設(shè),其次聯(lián)合拋物線方程式消去變量y得到一元二次方程式,結(jié)合已知線段等量關(guān)系列式,得到交點坐標之間的關(guān)系,并用相關(guān)坐標表示斜率,化簡即可得知k的具體值.

解析如圖3所示,

圖3 向準線作垂線

因為拋物線C:y2=8x,

所以焦點F(2,0),準線l:x=-2,

可知直線y=k(x+2)(k>0)經(jīng)過的定點為P(-2,0),過點A、B作準線l的垂線,垂足為M、N,

即AM⊥l,BN⊥l,

因為|FA|=2|FB|,

故|OB|=|BF|,

因為xB=1,

通過上述三種題型的分析可知,要想正確解答與解析幾何相關(guān)的問題,不僅需要學生熟練掌握各種圓錐曲線的定義和性質(zhì)等,還需要學生能夠靈活運用所學知識.除此之外,還需要學生具有較強的抽象思維能力和一些相應的解題方法、技巧,才能準確無誤地解答這類型題目.希望同學們針對不同類型問題,采取相對應的解題方法進行解答.在解題過程中,加強對問題條件的分析應用,借助已知條件和相關(guān)性質(zhì)去靈活解答,以此提高解題的效率.不同思路對應解題方式各不相同,有助于同學們快速采取正確合理的思路解答這一類問題.