考慮弦桿約束的新型板桁加勁梁扭轉變形計算方法

王路，侯文崎，張哲滔，張曉勇，溫偉斌

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075；2. 山東高速工程檢測有限公司，山東 濟南，250000；3. 中南大學 力學教學實驗中心，湖南 長沙，410083；4. 中鐵大橋勘測設計院集團有限公司，湖北 武漢，430056)

隨著高速鐵路建造技術的發展，京滬高鐵滬通長江大橋[1-2]、連鎮鐵路五峰山長江大橋[3]、荊岳鐵路洞庭湖大橋[4-5]等千米級跨度的鐵路橋梁相繼建成。千米級跨度鐵路橋梁設計關鍵在于結構合理剛度取值，加勁梁剛度是重要控制指標之一。目前，加勁梁豎向剛度和橫向剛度均已有較明確的規定限值，但扭轉剛度尚無明確控制指標和規定限值[6-8]。受車輛偏載和橫向風荷載作用，加勁梁存在扭轉變形，會引起同一軌道橫截面上兩側鋼軌高差，直接影響到列車運行的安全性和旅客乘坐的舒適性[8-9]。李迎九等[7-8]提出加勁梁扭轉變形限值可參考高速鐵路軌道水平幾何狀態幅值評價允許偏差驗收值，即梁體扭轉角度為2.0‰ rad，同一截面軌道橫斷面高差不大于1.5 mm。但對于板桁加勁梁扭轉剛度設計，上述參考值缺乏理論指導意義和可操作性。因此，亟待對千米級跨度鐵路橋梁加勁梁扭轉變形及其影響因素進行研究。公鐵合建模式的板桁加勁梁由于桁高大、橋面寬、豎向剛度和橫向剛度大，成為千米級跨度鐵路橋梁首選加勁梁型[7-8]。板桁加勁梁由鋼桁梁和正交異性鋼橋面板組成，通常下層橋面系設置有橫梁，上層橋面系設置有上橫聯，以將橋面荷載橫向傳遞至鋼主桁。但考慮車輛限界要求，往往主桁桁高較大。為更充分利用主桁截面空間，近年來出現取消上橫聯、采用多橫梁式正交異性整體鋼橋面的新型板桁加勁梁，如擬建的李埠河公鐵兩用懸索橋(主跨1 090 m)和江陰懸索斜拉長江大橋(主跨1 780 m)。相比于傳統板桁加勁梁，新型板桁加勁梁豎向剛度和橫向剛度變化不大，但扭轉剛度控制問題更加突出。板桁加勁梁扭轉變形復雜，影響因素較多[10-13]，不同理論或方法所得結果差異較大。目前，板桁加勁梁扭轉變形分析方法主要有離散模型分析法和連續模型分析法。離散模型分析法如板梁組合單元法[14-17]、等效空間梁單元法[18-19]和板桁結構精細化有限元法[20]是考慮鋼主桁與正交異性鋼橋面板的組合作用，將板桁加勁梁離散為各種空間單元力學行為進行分析。離散模型分析法的計算結果較精確，但建模精度要求高，尤其應用于大跨板桁組合體系橋梁時，單元數量多，計算效率較低。連續模型分析方法是將實際為空間桿系結構的鋼桁梁等效為閉口薄壁箱梁，再依據薄壁箱梁扭轉理論分析其扭轉變形。該方法最早應用于鋼桁梁扭轉分析，通過與模型試驗結果對比，計算精度已得到驗證[21]。相比于離散模型分析法，連續模型分析法的單元數量少，計算效率大幅提高，更適于板桁加勁梁扭轉變形計算方法及影響因素研究。

基于薄壁箱梁自由扭轉理論，有研究者采用連續模型法，提出了板桁加勁梁扭轉慣性矩質量、扭轉慣性矩簡化計算公式及連續化等效模型，并應用于大跨度懸索橋扭轉變形分析[22-24]。但薄壁箱梁扭轉研究表明[13,25-26]，箱梁梗腋處對應板桁加勁梁的主桁弦桿，對加勁梁扭轉變形的約束作用不可忽略[27]。上述基于自由扭轉理論的板桁加勁梁扭轉剛度研究未考慮主桁弦桿、橋面系等構件的約束作用，計算精度較低。基于烏曼斯基約束扭轉理論，彭旺虎[28]通過參數形式統一的鋼桁架和正交異性鋼橋面板的等效厚度建立了板桁加勁梁連續化等效薄壁梁模型，劉凱園[11]建立了板桁加勁梁橫截面剛性扭轉和剪切變形微分方程組。這些模型和計算方法雖然精度有所提高，但計算公式和計算過程復雜。為此，本文以某擬建千米級跨度鐵路橋梁為背景，基于約束扭轉理論構建新型板桁加勁梁連續化等效模型，考慮弦桿對加勁梁扭轉變形的縱向約束作用，提出加勁梁扭轉變形計算方法，以便為千米級跨度鐵路橋梁扭轉剛度研究提供參考。

1 新型板桁梁構造

某擬建千米級跨度高速鐵路懸索橋，跨度布置為(122+1 090+120+92) m，主梁采用公鐵合建模式的新型板桁加勁梁，節間長度a為16 m，主桁高h為12 m，橋面寬度b為38 m。圖1 所示為該橋結構示意圖，圖2 所示為新型板桁加勁梁構造示意圖。相比于傳統板桁加勁梁[3]，新型板桁加勁梁主桁桁高由16 m 優化至12 m，桁內空間利用更充分，鋼材用量也大大節省。圖2中，主桁上弦桿和下弦桿均為箱型截面，內設板式加勁肋；豎桿和斜腹桿均為工字型截面，在腹板中間設有沿桿件長度方向的加勁肋；橋面系則為由倒T形橫梁、U形加勁肋和鋼橋面板共同組成正交異性鋼橋面，其中，下層橋面系還有小縱梁。表1所示為該橋各主要組成部分材料參數。

圖1 懸索橋結構示意圖Fig. 1 Structural diagram of suspension bridge

圖2 新型板桁加勁梁構造示意圖Fig. 2 Structural diagrams of new plate truss stiffening girder

表1 新型板桁加勁梁懸索橋主要構件材料參數Table 1 Material parameters of main components of suspension bridge with new plate truss stiffening girder

2 連續化等效模型的構建

2.1 連續化等效方法

板桁加勁梁連續化等效的目的是將主桁腹桿、U 肋、縱梁、橫梁等效為連續薄板，與主桁弦桿、鋼橋面板共同形成閉口薄壁箱形梁。等效原則為：在相同扭矩T作用下，等效閉口薄壁箱梁的扭轉變形θ與板桁加勁梁的扭轉變形θ'相同，即扭轉變形示意圖(圖3)中的θ=θ'。需要指出的是，在主桁的等效中，假設弦桿其他變形與彎曲變形相比，對主桁等效的貢獻很小，可以忽略不計。在扭矩T作用下，板桁加勁梁的上層橋面系、主桁和等效閉口薄壁箱梁的頂板、腹板受力變形狀態如圖4 所示。圖4中，扭矩T可等效為2對力偶V·b和H·h，則橋面系或主桁受橫向力H或豎向力V作用。橋面系或主桁的剪切變形等效原則為：在相同H或V作用下，對于等效閉口薄壁箱梁的頂(底)板和腹板的剪切變形(γ′q和γ′z)與板桁加勁梁的橋面系和主桁的剪切變形(γq和γz)，有γq=γ′q，γz=γ′z。

圖3 扭轉變形等效示意圖Fig. 3 Diagrams of equivalent torsional deformation

圖4 受力變形狀態等效示意圖Fig. 4 Diagrams of equivalent stress and deformation state

2.2 主桁等效厚度

主桁由豎桿、斜腹桿和弦桿組成，弦桿僅考慮抗彎剛度對主桁剪切變形的貢獻。依據剪切變形等效原則[32]，主桁等效厚度tz為

式中：Af為斜腹桿面積；d為斜腹桿長度；Isx和Ixx分別為上、下弦桿面內慣性矩。

2.3 橋面系等效厚度

橋面系等效厚度包括3部分：1) 正交異性鋼橋面板，等效厚度記為t′；2) 主桁上弦桿和橫梁組成上層橋面框架，等效厚度記為3) 主桁下弦桿、橫梁和小縱梁組成下層橋面框架，等效厚度記為此處，弦桿僅考慮面外彎曲剛度，則上層橋面系等效厚度為下層橋面系等效厚度為

2.3.1 正交異性鋼橋面板

正交異性鋼橋面板由鋼橋面板和U 肋組成，如圖5(a)所示。圖中，tu為U 肋板厚，tm為橋面板板厚，Lu為U肋上口寬度，Lm為相鄰U肋凈間距，Lus為U 肋周長。在橫向剪力作用下，正交異性鋼橋面板上剪力流可分為3 部分：1)qm，對應Lm范圍內鋼橋面板上的剪力流；2)qum，對應Lu范圍內鋼橋面板上的剪力流；3)qu，對應沿U 肋周長Lus分布的剪力流。為簡便計算，將U 肋簡化為如圖5(b)所示倒梯形，其中，β為簡化U 肋上肢傾角，Lus1為單上肢長，Lus2為底邊長。

圖5 正交異性鋼橋面板剪力流示意圖Fig. 5 Diagrams of shear flow of orthotropic steel deck

沿順橋向取dz長度正交異性鋼橋面板微段，如圖5(c)所示。由qum引起的Lu范圍內鋼橋面板的剪應變γum和剪切變形Δum分別為

由qu引起U 肋單側上肢的剪應變γs1和剪切變形Δs1分別為

如圖5(d)所示，qu引起U肋的剪切變形Δus為

根據U 肋與Lm范圍內鋼橋面板的剪力平衡和變形協調條件，有qm=qu+qum，Δum=Δus，據式(2)和式(4)得

根據剪切變形等效原則，U 肋與Lu范圍內鋼橋面板的等效厚度t′u為

進一步考慮Lm范圍內鋼橋面板與的剪切剛度等效，得正交異性鋼橋面板等效厚度tqu為

2.3.2 橋面框架

取1 個節間的上層橋面框架為隔離體，如圖6(a)所示。該多層框架在節點橫梁處受橫向剪力H作用，將其分解為若干單層框架，每個單層框架受力狀態如圖6(b)所示。相比上層橋面框架，下層橋面框架增加了小縱梁，見圖6(d)和圖6(e)。

圖6 橋面框架等效厚度計算示意圖Fig. 6 Calculation diagrams of equivalent thickness of deck frame

將上層橋面框架中第j(j=1～6)號單層框架的右上、右下、左下、左上角點分別命名為Aj、Bj、Cj、Dj。在H作用下，上層橋面框架中第j(j=1～6)號單層框架變形如圖6(c)所示，Aj和Cj這2 點相對各自原始位置的側移ΔAj和ΔCj分別為

式中：Isy為上弦桿面外慣性矩；Ijz和Ijy分別為第j號單層框架兩側橫梁的抗彎慣性矩，可取節間(點)橫梁面外慣性矩的一半，即。

第j號單層框架中Aj和Cj這2點的相對側移為Δj=ΔAj+ΔCj。將全部單層框架的相對側移相加得到橋面系框架的總相對側移，即。等效厚度為

在H作用下，下層橋面框架中第j號單層框架變形如圖6(f)所示。當兩點發生相對側移時，4根小縱梁所受剪力為

式中：Izl為小縱梁的面外慣性矩。

根據式(8)，下弦桿和節點(間)橫梁組成的框架所受剪力為

式中：Ixy為下弦桿面外慣性矩。

由H=H1+H2得

據式(9)，同理可求得下層橋面框架等效厚度t2″。

2.4 連續化等效模型

按照上述方法，可將新型板桁加勁梁等效閉口薄壁箱梁并約定x＞0和x＜0的上弦桿分別為1、2號弦桿，x＜0和x＞0的下弦桿為3、4號弦桿，等效模型示意圖如圖7 所示。圖7 中，A1、A2、A3、A4分別為1、2、3、4號弦桿的面積，t1、t3分別為閉口薄壁箱梁頂、底板厚度，t2、t4分別為閉口薄壁箱梁左、右腹板厚度。

圖7 新型板桁加勁梁連續化等效模型示意圖Fig. 7 Schematic diagram of continuous equivalent model of new plate truss stiffening girder

3 扭轉變形計算方法

3.1 基本假定

基于上述連續化等效閉口薄壁箱梁，進行如下假定：

1) 箱梁截面符合符拉索夫剛性周邊假定，即截面形狀不發生改變。

2) 忽略新型板桁加勁梁扭轉變形中橫截面桁內豎桿的影響。

3) 考慮主桁弦桿軸向剛度對等效閉口薄壁箱梁縱向翹曲的約束作用。

4) 材料采用線彈性本構模型。

3.2 截面扭矩

取長度為dz的等效閉口薄壁箱梁微段為隔離體，如圖8所示。圖8中，Tk為微段橫截面上的扭矩，σ1、σ2、σ3、σ4分別為1、2、3、4號弦桿軸向應力；N1、N2、N3、N4分別為1、2、3、4 號弦桿軸力，q1、q2、q3、q4分別為在扭矩Tk作用下，等效閉口薄壁箱梁頂板、左腹板、底板、右腹板上剪力流。圖9所示為等效閉口薄壁箱梁微段各薄壁剪切變形示意圖，其中，u、v、w分別為等效梁截面上任一點沿坐標軸x、y、z方向的位移。

圖8 等效閉口薄壁截面梁示意圖Fig. 8 Diagram of equivalent thin walled beam

圖9 薄壁剪切變形示意圖Fig. 9 Diagrams of shear deformation of thin wall

根據各弦桿平衡條件，有

對于等效閉口薄壁箱梁，有q1=q2，q2=q4，則

3.3 幾何方程

在扭矩Tk作用下，在圖8所示等效閉口薄壁箱梁微段上任一截面繞z軸的扭轉角為θ，有

記在扭矩Tk作用下，等效閉口薄壁箱梁微段頂板、左腹板、底板、右腹板的剪切變形分別為γ1、γ2、γ3、γ4，薄壁剪切變形示意圖(圖9)。根據剪切變形定義，可得

此即為等效閉口薄壁箱梁扭轉變形幾何方程。

3.4 扭轉平衡微分方程

4 算例驗證

4.1 算例設計

采用圖2 所示新型板桁加勁梁，節間長度為16 m，考慮每跨分別設置1～4 個節間，設計4 個5跨連續梁算例，如圖10 所示。新型板桁加勁梁各構件參數見表2。采用本文連續化等效方法，可將新型板桁加勁梁等效為圖7所示閉口薄壁箱梁，等效壁厚見表3。

圖10 4種算例示意圖Fig. 10 Schematic diagrams of four example girders

表2 新型板桁加勁梁構件參數Table 2 Structural parameters of the members of new type of plate truss stiffening girder

表3 等效閉口薄壁箱梁壁厚Table 3 Wall thickness of equivalent closed thin-walled box girder

采用大型有限元軟件Midas Civil 建立各算例的空間精細化有限元模型，其中，上弦桿、下弦桿、豎桿、斜腹桿、節點橫梁、節間橫梁、桁內豎桿、小縱梁均采用空間梁單元離散，正交異性鋼橋面板采用板單元離散。單個節間共665個梁單元，876個板單元。圖11所示為算例1的精細化空間有限元模型。

圖11 算例1空間有限元模型Fig.11 Spatial finite element model of example 1

在各跨跨中截面4 個角點上施加扭矩T=1.0 MN·m，以1 對水平力偶和1 對豎向力偶實現，水平力偶為41.67 kN×12 m，豎向力偶為13.16 kN×38 m，如圖11 所示。在該扭矩作用下，新型板桁加勁梁扭轉角θ如圖12所示。

圖12 新型板桁加勁梁扭轉角示意圖Fig.12 Diagram of torsion angle of new plate truss girder

式中：Δy1和Δy2分別為角點A1和A2沿y向的位移。

4.2 計算結果對比分析

分別采用空間精細化有限元法、按照式(22)(考慮弦桿縱向約束)和式(23)(不考慮弦桿縱向約束)，計算上述4 個算例扭轉角沿梁長分布，見圖13。表4所示為不同算例跨中加載截面的扭轉角計算結果。由圖13和表4可見：

圖13 不同方法計算所得扭轉角沿梁長分布Fig. 13 Torsion angle of example girders obtained by different methods

表4 不同算例跨中加載截面扭轉角Table 4 Torsion angle at the mid-span loading cross-section of example girders

1) 弦桿縱向約束對新型板桁加勁梁扭轉變形的影響不可忽略。相比于空間精細化有限元計算結果，考慮弦桿縱向約束時，計算所得連續化等效模型扭轉角的相對誤差最大僅為1.2%；不考慮弦桿約束作用時，計算所得連續化等效模型扭轉角的相對誤差最小也有3.6%，最高達14.9%。

2) 隨連續梁跨度增大，弦桿縱向約束對加勁梁扭轉變形的影響逐漸減小。對比算例1 和算例4的連續化等效模型扭轉角計算結果，當每跨主桁節間由1增加到4時，考慮弦桿縱向約束影響的扭轉角由13.7%降至3.3%。

但是，需要指出的是，當新型板桁加勁梁應用于大跨度懸索橋時，主桁節點處的主纜吊索作用相當于加勁梁的彈性支撐，類似于本文算例1，弦桿縱向約束仍不可忽略。

5 新型板桁加勁梁懸索橋扭轉變形分析

5.1 實橋空間有限元模型

圖14所示為采用Midas civil建立的圖1所示梁懸索橋的全橋空間精細化有限元模型，其中，主塔采用梁單元離散，主纜和吊索采用索單元離散，板桁加勁梁的上弦桿、下弦桿、豎桿、斜腹桿、節點橫梁、節間橫梁、桁內豎桿、小縱梁采用梁單元離散，正交異性鋼橋面板采用板單元離散。全橋共12 662 個梁單元，5 420 個板單元，266 個索單元。

收獲現值法主要運用了財務管理中計算現值的方法，通過預測林木到達主伐期的木材量，利用木材市場價格倒算出木材價值并折現，才扣除核算日到主伐期可能產生的各項支出的現值，剩余即為該核算對象的核算價值。其計算公式為：

圖14 懸索橋空間精細化有限元模型示意圖Fig. 14 Diagram of spatial refined finite element model of suspension bridge

圖15 所示為扭轉計算工況示意圖。其中，下層橋面系布置單線鐵路(ZK 活載)+兩車道公路(Ⅰ級車道荷載)，上層橋面系布置四車道公路(Ⅰ級車道荷載)。計算時，每延米外扭矩mt=528.37 kN·m，按均布線荷載施加。

圖15 扭轉計算工況示意圖Fig. 15 Schematic diagram of torsion condition calculation

5.2 等效單梁有限元模型

根據圖7 和表3，采用Midas Civil 建立新型板桁加勁梁懸索橋等效單梁有限元模型，如圖16 所示，新型板桁加勁梁等效參數見表5。表5 中，等效扭轉慣性矩Izz按式(22)計算得到，其余參數按實際截面計算得到。主塔仍采用梁單元離散，主纜和吊索仍采用索單元離散。該等效單梁有限元模型共289 個梁單元，266 個索單元，單元數量相比圖14 所示空間精細化有限元模型大幅度減少。扭轉計算工況與圖15 中相同，按偏心均布線荷載施加，荷載集度為p=52.837 kN/m，偏心距e=10 m。

表5 新型板桁加勁梁等效參數Table 5 Equivalent parameters of new plate truss stiffening girder

圖16 等效單梁有限元模型Fig. 16 Finite element model of equivalent single girder

5.3 加勁梁扭轉角解析解

當新型板桁加勁梁應用于懸索橋時，據文獻[29]所得懸索橋閉口薄壁箱形加勁梁扭轉變形計算方法，式(22)可修改為

式中：v為加勁梁豎向位移；為恒載狀態下主纜線形；f為主纜垂度；L為主纜跨長；，為恒載引起的主纜拉力的水平分量；q為恒載集度；Hp為相應于豎向撓度v的活載主纜拉力；HL和HR分別為扭轉位移引起的左、右主纜附加纜力，HL=-HR；Lc為纜索長度項，；Ec為主纜彈性模量；Ac為主纜的截面面積，2Ac1=Ac。

5.4 計算結果對比分析

分別采用上述空間精細化有限元模型、等效單梁模型、解析式(25)，所得懸索橋加勁梁主跨撓度和扭轉角分別見圖17 和圖18，主纜纜力和吊索索力見圖19和圖20。由圖17～20可見：

圖17 不同方法計算所得懸索橋加勁梁撓度對比Fig.17 Deflection comparison of suspension stiffening girder obtained by different methods

圖19 不同方法計算所得加載側和非加載側主纜纜力對比Fig.19 Cable force comparison of the main cable of loading side and non-loading obtained by different methods

圖20 不同方法計算所得加載側和非加載側吊索索力對比Fig. 20 Internal force comparison of the main cable of loading side and non-loading obtained by different method

1) 等效單梁模型與空間精細化有限元模型相比，加勁梁撓度和扭轉角均偏大，2個模型計算結果之間的誤差由主塔處向跨中逐漸增大。在主跨跨中，加勁梁撓度相對誤差最大為1.8%，扭轉角最大相對誤差為14.7%，其原因是該等效單梁模型未考慮主桁截面畸變和縱向翹曲。但在懸索橋加勁梁剛度初步設計階段，上述誤差均在可接受范圍內。

2) 等效單梁模型與空間精細化有限元模型相比，加勁梁主纜纜力和吊索索力計算結果非常接近，其中，主纜纜力在加載側的最大相對誤差為0.22%，在非加載側為0.04%；吊索索力在加載側與非加載側的最大相對誤差均為2.6%。這說明主纜纜力和吊索索力對等效單梁模型加勁梁剛度影響很小。

3) 解析式(25)的計算結果與空間精細化有限元計算結果相比，加勁梁撓度和扭轉角均偏大，兩者之間的誤差也是由主塔處向跨中逐漸增大。其中，加勁梁撓度相對誤差最大為7.1%，相比等效單梁模型有所增大，但扭轉角最大相對誤差為6.3%，相比等效單梁模型降低了57.1%。產生誤差的原因有：實際加勁梁抗彎剛度沿節間長度略有變化，而解析式(25)中的新型板桁加勁梁等效抗彎剛度為定值，相比實際加勁梁剛度偏小，故計算所得撓度偏大；此外，相比于等效單梁模型，解析式(25)中考慮了弦桿縱向約束對加勁梁扭轉變形的影響，這在一定程度上提高了扭轉角計算精度。對于懸索橋加勁梁剛度初步設計階段，本文解析式(25)的計算誤差總體不超過10%，在可接受范圍內。

6 結論

1) 針對無上橫聯的新型板桁加勁梁，依據剪切剛度等效，構建了閉口薄壁箱形梁連續化等效模型，給出了箱形截面各薄壁等效厚度計算公式。

2) 基于截面剛性周邊假定，考慮弦桿縱向約束作用，建立了新型板桁加勁梁連續化等效模型的扭轉平衡微分方程，推導得到了扭轉角解析公式。采用上述連續化等效方法，依據該解析公式計算所得的新型板桁加勁梁扭轉角與由空間精細化有限元模型所得結果較吻合。

3) 弦桿縱向約束作用對新型板桁加勁梁扭轉變形的影響不可忽略。算例表明，相比于空間精細化有限元計算結果，考慮弦桿縱向約束時，依據解析式計算所得連續化等效模型扭轉角的相對誤差最大僅1.2%；不考慮弦桿約束作用時，該相對誤差最高達14.9%。

4) 針對新型板桁加勁梁在千米級大跨度懸索橋中的應用，構建了懸索橋連續化等效單梁有限元模型，進一步推導了懸索橋加勁梁扭轉角解析式。結果表明，相比于空間精細化有限元模型，連續化等效單梁模型計算所得懸索橋加勁梁撓度和扭轉角最大相對誤差分別為1.8%和14.7%，依據解析式計算所得相對誤差分別為7.1%和6.3%。對于懸索橋加勁梁扭轉剛度的設計，上述2種方法的計算誤差均在可接受范圍內，但計算效率大幅度提高，具有較好的適用性。