梁板型聲子晶體帶隙特性及列車減振性能研究

閆庚旺，姚松，李盈利，周文希，姜旭東

(1. 中南大學 交通運輸工程學院 軌道交通安全教育部重點實驗室，湖南 長沙，410075；2. 軌道交通安全關鍵技術國際合作聯合實驗室，湖南 長沙，410075；3. 軌道交通列車安全保障技術國家地方聯合工程研究中心，湖南 長沙，410075；4. 長春中車軌道客車股份有限公司，吉林 長春，130062)

振動與噪聲品質常被用來衡量現代大型裝備的發展水平，中低頻振動和噪聲會嚴重影響機械設備工作性能[1]；且對人類生活及工作環境造成重大影響。列車運行過程中的振動是軌道不平順、隧道風載、設備自振等激勵共同作用的結果，且與車輛結構及運行工況等有關[2]。

振動與噪聲控制方法主要分為主動及被動減振降噪2種方式：1) 抑制激勵源的振動/噪聲強度、阻隔或吸收傳遞路徑上的能量、改變受體對象的物理參數來降低振動的影響[3]；2) 引入外加動力源來抑制振動與噪聲。由于被動控制可靠性高、成本低且易于實施，在實際工程中得到廣泛應用。但現有的被動控制手段在其靈活性、減振頻率范圍等方面存在一定局限性，受限于隔振的質量-密度定律，車體的高頻振動已被較好地控制，但中低頻振動與噪聲仍難以達到理想的衰減效果[4]。

聲子晶體可通過人為設計的周期結構/材料產生帶隙特性，在其頻率范圍內能夠有效地抑制彈性波傳播，對人工周期結構的幾何/材料參數進行調節可實現對彈性波的靈活調控[5-7]。在帶隙外，聲子晶體呈現出負折射[8-9]、聲聚焦[10]、負等效參數和定向傳播[11-12]等性質。局域共振型聲子晶體由于局域共振散射體的作用，可在小尺寸拓撲結構下獲取極低頻率的帶隙，且對周期性要求不高[13]，尤其是蘭姆波型聲子晶體梁板結構更加適用于實際工程[14-16]。作為地鐵車輛結構中基本構件的桿、梁、板等連續介質是產生及傳遞振動與噪聲的主要載體，將其設計為具有帶隙特性的人工周期結構，產生帶隙特性來抑制彈性波的傳播效應是實現車體中低頻減振降噪的切實可行的方法[17-18]。

本文立足于解決列車運行過程中難以衰減的中低頻振動問題，基于局域共振型聲子晶體的物理特性，在車體現有夾層板結構的基礎上設計出由基體板、橡膠和散射體組成的復合貼附型/填充型局域共振聲子晶體；通過數值仿真方法探究帶隙特性及其振動傳遞特性，并進一步對比研究結構/材料參數對帶隙特性的影響；同時，利用實車關鍵部分運行振動頻譜驗證聲子晶體構件的隔振性能，以期為地鐵車輛低頻減振優化設計提供可行的思路。

1 理論模型與計算方法

本文在廣泛應用于車體的雙層板的基礎上提出貼附型/填充型聲子晶體梁板結構，其可在確保部件結構強度的基礎上突破空間幾何尺寸的限制。在上下面板之間周期性地附加由軟硬材料組成的共振體構建貼附型局域共振聲子晶體結構，如圖1(a)所示。圖1(b)所示為聲子晶體單胞，其中單胞晶格常數為a；鋁合金上下面板的厚度均為h；共振圓柱體單元由上下層橡膠及中間鉛層柱體組成，橡膠層的厚度為d2，鉛塊的厚度為d1，圓柱體的截面半徑為rc。

圖1 貼附型局域共振聲子晶體及其計算模型Fig. 1 Attached local resonance phononic crystal and the computational model

圖2(a)所示為上下面板周期性挖孔并填充其他材料形成的二維三組分局域共振填充型聲子晶體結構，圖2(b)所示為其所對應的聲子晶體單胞，其基體材料為鋁板，散射體選取鉛層，兩者之間圓環部分為硅橡膠。幾何拓撲構型中，鉛層半徑為R1，橡膠圓環層外半徑為R2。為方便計算，對填充型局域共振聲子晶體的厚度方向進行簡化，只研究其二維平面內振動特性。

圖2 填充型局域共振聲子晶體及其計算模型Fig. 2 Filled local resonance phononic crystal and the computational model

本文采用數值仿真商業軟件COMSOL Multiphysics 5.6固體力學模塊求解能帶結構，并分析其帶隙特性及彈性波傳播情況，其核心是求解波動方程。圖1(c)及圖2(c)所示均為單胞結構的數值仿真模型。在忽略阻尼的影響下，彈性波在線彈性非均勻介質中的波動方程為[5]

式中：r為位置矢量，r=(x，y，z)；u(r)為位移矢量，u(r)=(ux，uy，uz)；t為時間；C(r)和ρ(r)分別為材料的彈性張量及密度張量。

由于聲子晶體的周期性，僅需計算代表性單胞的振動特征即可獲取頻散關系。相鄰重復單胞的交界面邊界采取Bloch-Floquet 周期性邊界條件[19-20]，此時單胞的離散形式的特征值方程及邊界條件可表示為

式中：K為結構剛度矩陣；M為質量矩陣；U為單元節點位移矩陣；ω為特征頻率。在代表性單胞中，ud為周期性邊界目標面的位移矢量，us為周期性邊界源面的位移向量，i 為虛數單位，k為波矢。

聯立式(2)與(3)，使波矢k分別沿x和y方向掃描正方形晶格的不可約布里淵區邊界，求解對應的特征值，即可得到貼附型/填充型局域共振聲子晶體結構的能帶結構。

2 計算結果與分析

本節基于數值仿真分析所得到的聲子晶體構型的能帶結構、模態振型、物理特性及有限陣列結構傳輸特性對帶隙特性的影響，深入探究其形成機理；此外，探究結構參數對帶隙特性的影響，從而根據目標減振頻率及彈性波特性對帶隙特性進行正向調控。

基于車體關鍵部件振動測試結果，確定車體側壁板及司機室地板的目標低頻減振頻率范圍及應用條件，監測車體振動水平，以期為噪聲及振動控制提供重要參考，進而驗證局域共振型聲子晶體結構的減振特性。

2.1 能帶結構及模態分析

數值仿真所用的結構參數及材料參數分別見表1 和表2。鑒于單胞的點群對稱性，僅需在不可約布里淵區邊界取波矢值即可表示整個周期系統的本征場。能帶結構圖是以波矢k(kx，ky)為橫坐標，以本征值為縱坐標的曲線圖，每組本征矢及所對應的本征值代表一種運動狀態。圖3所示為貼附型局域共振聲子晶體的能帶結構，且在圖中標記不可約布里淵區、Γ、X以及M為所對應的高對稱點。從圖3 可發現在77～172 Hz 之間存在彎曲帶隙，灰色陰影區域為帶隙范圍。圖3中能帶結構所對應的不同類型振動模態A1～A9如圖4所示，箭頭方向指示結構質點振動位移方向。

表1 聲子晶體單胞各組分材料參數Table 1 Material parameters of each component of the phononic crystal unit cell

表2 聲子晶體單胞幾何參數Table 2 The geometric parameters of the phononic crystal unit cell

圖3 貼附型局域共振聲子晶體能帶結構Fig. 3 Band structure of attached local resonance phononic crystal

圖4 圖3能帶結構中所標記的模態振型Fig. 4 Mode shapes of corresponding points marked in the band structure in Fig. 3

模態A1對應于貼附型局域共振聲子晶體能帶結構中第1條色散曲線的振動形式，單胞的共振單元圍繞xOy平面軸線呈旋轉振動，同時上下面板保持相對靜止狀態。在第2、3 條色散曲線上的模態A2、A3中，單胞的振動模態表現為單胞整體在xOy平面內作剛性平移運動，并且中間鉛層運動具有較大的位移幅值，不同之處在于兩個模態的運動方向有所不同。同樣地，模態A5、A6位移場為共振單元沿著xOy平面軸線的平移運動與上下面板的面內剪切運動耦合而成，而其上下面板的縱向振動相位相反。因此，該貼附型局域共振聲子晶體能帶結構中不存在縱向帶隙，對縱向彈性波不存在衰減作用。

彎曲帶隙上下邊界模態位移場A4、A7和A8主要表現為內部共振單元沿z方向拉伸及收縮振動與上下面板的彎曲振動耦合作用。進一步而言，模態A4中的柱體與上下面板同相垂直運動，但是能量主要集中在上部面板，上面板位移遠大于下面板位移；而模態A7和A8中的鉛層相對靜止，振動能量主要集中在兩層橡膠中。此外，A7中的上下面板以相反相位使得結構達到動態平衡，模態A8中上下面板以相同相位達到振動動態平衡，因此模態A7及A8被區分為對稱垂向振動模態及反對稱垂向振動模態。貼附型局域共振聲子晶體在上述模態的共同耦合作用下，在77～172 Hz頻率范圍之間僅發現面內平移振動和繞其中心的扭轉運動，單胞的z方向彎曲振動未被激發，故而在此頻率范圍內產生彎曲帶隙。對于高階色散曲線模態A9而言，其振動形式是由共振單元沿yOz平面軸線進行旋轉運動以及上下面板的面內剪切運動耦合而成的，存在高階變形，因此，出現多條高階色散曲線交叉的現象。

圖5所示為填充型局域共振聲子晶體能帶結構及其特殊點相對應的模態振型。模態A1的位移場表現為共振單元繞圓心的旋轉運動，鋁合金基體充當靜止層，硅橡膠圓環產生相對較大的位移。模態A2、A3所在的2 條色散曲線有所重疊，其模態振型為單胞整體面內振動，鉛塊及鋁合金基體產生較大的位移，但A2和A3以不同的相位達到動態平衡。A4和A5模態振型中，鋁合金基體相對靜止，鉛層以不同相位進行面內運動。因此，在A2～A5模態耦合作用下，117.7～172.3 Hz 的面內中低頻帶隙被打開。高階色散曲線上的模態A6表現為橡膠層圓環的旋轉及面內移動，位于569.3～580.1 Hz的狹窄帶隙也在多模態耦合作用下出現。

圖5 填充型局域共振聲子晶體能帶結構及其模態振型Fig. 5 Band structure and corresponding mode shapes of filled local resonance phononic crystal

2.2 傳輸特性分析

建立如圖6所示的有限陣列結構，其由8×8個貼附型/填充型局域共振聲子晶體單胞在2 個方向周期性排列而成，通過分析彈性波在該系統中的傳播情況來分析帶隙對于彈性波的衰減作用。在有限陣列聲子晶體結構的輸入端施加多種類型彈性波，并在輸出端獲取平均位移響應，通過式(4)來計算透射譜[3,15]。

圖6 有限陣列結構的數值仿真模型(8×8)及其測點位置Fig. 6 Numerical simulation model and measurement points of the finite array structure(8×8)

其中，dout、din分別為有限陣列結構輸入端和響應端的平均位移。

當在貼附型局域共振聲子晶體有限陣列下面板激勵點處施加垂向彎曲彈性波激勵及縱向平面彈性波激勵時，上下面板響應點的振動響應情況見圖7。圖8 所示為填充型局域共振聲子晶體有限陣列結構的振動響應情況，在該結構底部施加平面彈性縱波激勵，在對稱軸上均勻選取4個測點并分析其振動響應情況。

圖7 貼附型局域共振聲子晶體有限陣列系統(8×8)透射譜(陰影部分為彎曲帶隙)Fig. 7 Transmission spectrum of the finite array structure(8×8) composed of attached local resonance phononic crystal(the flexural band gap is marked with gray shadow)

圖8 填充型局域共振聲子晶體有限陣列結構(8×8)透射譜(陰影部分為彎曲帶隙)Fig. 8 Transmission spectrum of the finite array structure(8×8) composed of filled local resonance phononic crystal(the flexural band gap is marked with gray shadow)

圖7(a)～(b)中，下面板外部激勵為垂向彎曲簡諧波，其運動方向與面板相垂直，從圖7中可以看出上、下面板響應點的透射率均在帶隙范圍出現明顯衰減(STR＜-20 dB)，從而較好地驗證了圖3 所示貼附型局域共振聲子晶體彎曲帶隙特性。圖7(c)～(d)中，其入射波為運動方向與面板平行的縱波簡諧彈性波，上面板的振動響應透射譜中同樣存在與垂直彎曲帶隙位置基本一致的衰減區域，但是其衰減程度有所降低。這是由于振動模態A5、A6疊加導致縱向平面波在傳播過程中上層板振動強度被減弱，同時下層板的振動有所增強，因此，在該頻率內的縱向平面彈性波可在同側面板內進行有效傳播，卻不能通過共振單元傳播至異側面板，因此，在下板透射譜中，在帶隙頻率范圍內的縱向平面波的傳播未被明顯衰減。

由圖8可見：在平面簡諧彈性波激勵下，各測點透射譜均在117～172 Hz 及569～580 Hz 出現不同程度衰減，與圖5所示帶隙特性相吻合。通過對比曲線衰減程度可知，越遠離輸入端其衰減效果越明顯，但是當單胞數增加到一定數量之后，再增加單胞數量對衰減效果的提升并不顯著，6個單胞構成的有限陣列結構即可對中低頻平面彈性縱波產生理想衰減效果。

圖9 和圖10 所示分別為彈性波作用下貼附型/填充型局域共振聲子晶體有限陣列結構的位移場，進一步驗證了彈性波在帶隙范圍及通帶范圍內的傳播特性。圖9(a)～(b)中，施加的激勵均為垂向彎曲彈性簡諧波，其頻率分別對應帶隙內及通帶內頻率，發現在彎曲帶隙范圍內的彈性波無法通過結構傳遞至另一側。同樣地，對比分析縱向平面彈性波在該結構中的傳遞情況。由圖9(c)和(d)可知：當帶隙范圍內的縱向平面波施加于下面板時，縱向振動無法通過該結構傳遞至上面板，但可在下面板中進行傳遞。因此，當振源與響應端位于異側時，垂向彎曲帶隙范圍內的縱向及垂向彈性波在貼附型局域共振聲子晶體有限陣列中的傳播均能得到有效衰減。

圖9 貼附型局域共振聲子晶體有限陣列板結構(8×8)位移場Fig. 9 Displacement fields of the finite array structure(8×8)composed of attached local resonance phononic crystal

圖10 填充型局域共振聲子晶體有限陣列板結構(8×8)位移場Fig. 10 Displacement fields of the finite array structure(8×8)composed of filled local resonance phononic crystal

圖10(a)中，平面彈性波激勵頻率(f=125 Hz)處于帶隙內，而圖10(b)中激勵頻率(f=200 Hz)則處于通帶內。帶隙范圍內的平面縱波通過該結構時，有效激發共振單元的共振使得鋁合金基體保持相對靜止，并將能量大部分局限于鉛層中，達到衰減平面彈性縱波的效果。當以通帶頻率入射的平面彈性縱波通過該結構時，并未激發由橡膠包裹的鉛層共振單元的局域共振，因此，該彈性縱波在鋁合金基體中傳播時未發生衰減。上述現象驗證了填充型局域共振聲子晶體的帶隙特性可用于中低頻彈性縱波的有效衰減。結合貼附型局域共振聲子晶體特性，本文提出可有效衰減面內及面外中低頻彈性波的聲子晶體復合梁板結構。

2.3 帶隙影響因素研究

局域共振型聲子晶體由基體、包覆層及散射體3個部分組成，因此，有必要探究各部分結構參數對帶隙的調控規律，進而靈活調控結構參數，合理有效地調節貼附型/填充型局域共振聲子晶體的減振特性。

貼附型局域共振聲子晶體的結構參數對帶隙特性的影響見圖11。由圖11(a)可見：帶隙上下邊界頻率隨橡膠層厚度d1增加而降低，但上下邊界頻率降低程度不一致，導致帶隙總寬度會隨著橡膠層厚度增加而減少。這是由于增加橡膠層厚度會導致其等效剛度降低，進而出現帶隙上下邊界頻率降低的現象。但是鉛層質量大于上下鋁合金面板質量，因此，帶隙上下邊界頻率降低程度不一致。從圖11(b)可看出，在帶隙上邊界模態振型中鉛塊基本靜止，因此，隨著共振單元鉛層厚度d2增加，帶隙上邊界頻率基本不變，鉛層參數對于帶隙上邊界頻率的影響相對較低；然而鉛層質量增加會導致帶隙頻率降低的同時拓寬帶隙總寬度。

圖11 貼附型局域共振聲子晶體結構參數對帶隙特性的影響Fig. 11 Effect of structural parameters of the attached local resonance phononic crystal on band gap characteristics

基于模態分析可知，共振單元對于打開帶隙起到關鍵作用。圖11(c)所示為帶隙特性隨共振單元半徑的變化情況。隨著半徑r的增加，帶隙上下邊界頻率均有所增加，而且帶隙總寬度增加，這是因為隨著半徑的增加，橡膠層的等效剛度以及鉛層的等效質量均會增大，上下邊界頻率降低程度不一致。上下面板厚度h對帶隙特性的影響見圖11(d)，可見隨著面板厚度的增加，帶隙上邊界頻率明顯降低，帶隙下邊界頻率會略微增加，帶隙總寬度會隨著上下面板厚度的增加而降低。此外，上下面板也會與共振單元發生耦合振動，上下面板的厚度增加會導致總體等效質量及彎曲剛度增加，從而導致帶隙上邊界頻率的降低以及帶隙下邊界頻率的增加。綜上所述，將較薄的橡膠層及較厚的鉛層組合成較大半徑的共振單元貼附在薄面板上，可獲得中低頻寬帶垂向彎曲帶隙。

為更好地理解結構參數對填充型局域共振聲子晶體能帶結構的影響，以中低頻帶隙為研究對象，分別探究晶格常數a、鉛層半徑R1、橡膠包裹圓環層外半徑R2對帶隙上下邊界及其寬度的影響規律，見圖12。除變量參數之外的其他結構參數均與2.1節中的模型相同。

圖12 填充型局域共振聲子晶體結構參數對帶隙特性的影響Fig. 12 Effect of structural parameters of the filled local resonance phononic crystal on band gap characteristics

共振單元中鉛層半徑R1對帶隙位置及其寬度的影響如圖12(a)所示，可見帶隙上下邊界頻率隨著R1增加而增加，且帶隙上邊界頻率增加的速度要遠大于帶隙下邊界頻率增加的速度，帶隙寬度也隨之增加。鉛層半徑增加導致彈性橡膠圓環層的等效剛度增加，而等效剛度對共振頻率的影響程度遠大于鉛層總質量(m=ρπR12h)對共振頻率的影響程度，因此，帶隙上下邊界頻率會隨著鉛層半徑的增加而增加。此外，模態A2～A5中主要以鉛層不同相位的面內運動來實現對平面彈性縱波的衰減，因此，增加鉛層半徑有利于加強對平面彈性縱波的衰減作用，進而易于獲得更寬頻率范圍內的帶隙。

圖12(b)所示為鉛層半徑保持不變的前提下，橡膠層外半徑R2變化對帶隙特性的影響，可見帶隙上下邊界頻率均隨著橡膠層厚度的增加而降低，但上邊界頻率降低的速度要略大于下邊界頻率降低的速度，帶隙的總寬度隨之減少。橡膠層厚度增加會導致共振單元的等效剛度降低，其共振頻率會因此而降低。除此之外，鋁合金基體質量也會隨著橡膠層厚度的增大而降低，因此，在帶隙上下邊界頻率均降低的基礎上導致帶隙總寬度減小。

晶格常數對帶隙下邊界頻率未產生影響，但是隨著晶格常數的增加，帶隙上邊界頻率會逐步降低，從而帶隙總寬度會相應減少，如圖12(c)所示。由模態分析可知，共振單元對于帶隙特性起著重要的衰減作用，晶格常數的增加意味著鋁合金基體質量會相應地增加，因此，改變晶格常數只會影響帶隙上邊界頻率，增加晶格常數會導致帶隙寬度減少。

2.4 梁板型聲子晶體減振效果研究

地鐵車輛在運行過程中，車體結構會因輪軌隨機不平順、設備振動激勵等發生振動[1-2]。選取多工況下城市軌道交通實測振動數據作為振動激勵源頻譜，驗證聲子晶體結構的減振效果。圖13所示為客室側壁板及司機室地板的振動加速度級(LVAL)，其定義見式(5)，單位為dB。由圖13可知，車輛勻速運行時的司機室地板及客室側壁板的平均振動加速度級(0～1 000 Hz)要比其他工況下的高20 dB以上；而且客室側壁板的整體振動響應也高于司機室地板的振動響應。此外，各工況下司機室地板及側壁板的振動響應峰值頻率會有所不同，客室側壁板振動響應能量大多集中在中低頻(100～200 Hz)，然而由于司機室地板剛度相對較大，其振動響應峰值主要出現在中高頻(490～700 Hz)。

圖13 多種工況下車體主要部位振動響應頻域曲線Fig. 13 Vibration response of main parts of vehicle body under various working conditions

其中，ae為測點加速度有效值，m/s2；a0為基準加速度，a0=10-6m/s2。

基于上述實車關鍵部位試驗振動頻譜，研究局域共振型聲子晶體有限陣列結構對車體振動的衰減作用。在有限陣列結構兩側施加固定約束模擬實際結構的約束條件，提取圖13 所示勻速運行工況下車體側壁板0～300 Hz 振動響應頻譜數據作為激勵輸入，輸入形式為彎曲波及平面縱波，并對比在響應端的振動響應特性，如圖14(a)和(c)所示。圖14(b)和(d)所示分別為貼附型/填充型局域共振聲子晶體有限陣列所對應的輸入端及輸出端的振動加速度級，車體側壁板中低頻振動激勵通過有限陣列結構后，在所對應的帶隙范圍內(77～172 Hz，117～172 Hz)均出現明顯衰減，振動響應相較于振動輸入降低20 dB以上，由此驗證了聲子晶體在車體關鍵部件減振優化設計中的可行性及關鍵作用。

圖14 基于實車側壁板振動頻譜的傳輸特性Fig. 14 Transmission characteristics based on the vibration spectrum of subway passenger compartment side wall

3 結論

1) 本文提出的貼附型局域共振聲子晶體可打開中低頻彎曲帶隙(77～172 Hz)，帶隙上下邊界振動模態呈現為上下面板與共振單元的耦合共振，在該頻率內的縱向平面彈性波可在同側面板內進行有效傳播，但卻不能通過共振單元傳播至異側面板。將較薄的橡膠層及較厚的鉛層組合成較大半徑的共振單元貼附在薄面板上可獲得中低頻寬帶垂向彎曲帶隙。

2) 為有效衰減同側平面縱波傳播，分析了二維填充型聲子晶體梁板結構的中低頻平面縱波調控特性。共振單元以不同相位實現面內振動的動態平衡，進而獲取中低頻面內帶隙(117～172 Hz)。此外，組成共振單元的鉛柱及橡膠層的結構參數變化會極大地影響中低頻帶隙特性，而晶格常數只會對帶隙上邊界頻率產生影響。

3) 基于實車關鍵部位試驗振動頻譜的傳輸特性分析，驗證了貼附型/填充型局域共振型聲子晶體有限陣列結構對其具備較為理想的衰減作用，因此，通過有效組合貼附型及填充型聲子晶體梁板結構可調控實際工程難以衰減的中低頻彎曲波及平面縱波。