一種在脈沖噪聲環境下的最大相關熵目標直接定位算法

毛 毅, 段永勝, 黃中瑞, 張峻寧

(國防科技大學電子對抗學院, 安徽 合肥 230037)

0 引 言

無源定位技術不需要自身發射電磁信號,通過利用接收站截獲由目標發射或反射的信號來確定目標位置,也稱為被動定位技術。無源定位技術具有成本低、抗干擾能力強等優點,在水面艦艇定位[1]、海域監測[2]、地面非法入侵[3]等領域具有重要應用價值。

無源定位通常是通過兩步法實現的,即先完成與目標位置有關的參數估計,如到達時差[4-5]、到達角[6-7]、到達頻差[8-9]等,再通過定位解算得到目標的位置估計。在兩步法的第一步定位參數估計的過程中,一些方法忽略了接收信號來自于同一目標的前提[10]。例如,各接收站使用文獻[11]中的方法對時差和多普勒定位參數進行估計時,忽略了所有接收信號都來自于同一目標的約束。在這種條件下進行第二步定位解算,無法保證其能夠獲得最優的定位結果[12-13]。

為了解決兩步法的缺點,提高定位精度,Weiss[12]提出了直接定位(direct position determination, DPD)方法,即直接使用觀測信號而無需完成時差/頻差的估計,實現目標的定位。與兩步定位算法相比,由于DPD不需要估計中間參數,通常具有更好的定位性能。隨后Weiss[14]提出了基于時延和多普勒頻移的直接定位算法,利用到達信號的時延和多普勒頻移信息進行目標的定位。在低信噪比條件下,該算法的定位性能優于傳統的兩步法。Guo等人[15]在建立短基線信號檢測模型的基礎上,提出了一種基于最大似然DPD(maximum likelihood DPD, ML-DPD)算法,并在仿真實驗部分驗證了該算法的有效性。

然而,由于自然現象或者人為因素的實際影響,采集的通信信號[16]、雷達信號[17]通常包含具有明顯的尖峰脈沖特性的脈沖噪聲,比如電力線通信系統中的噪聲[18]、淺海水聲信道噪聲[19]等。這類噪聲的密度函數在尾部衰減的速度會小于高斯噪聲的密度函數[20],通常可以使用具有厚拖尾特性的α-穩定分布對其建模。α-穩定分布由特征參數α、分散參數γ、對稱參數β、位置參數a等4個參數唯一確定。通常將α<1的脈沖噪聲稱為強脈沖噪聲[21]。然而,ML-DPD算法[22-25]通常基于高斯噪聲建立關于目標位置的似然函數,并通過尋找似然函數的極大值實現對目標位置的估計。本文實驗將證明,上述算法在脈沖噪聲環境下性能會明顯惡化。因此,考慮在使用α-穩定分布建模的脈沖噪聲情況下的DPD算法具有重要的理論研究和實際應用價值。

事實上,在脈沖噪聲環境下,已有不少文獻證明基于高斯噪聲假設的各種估計算法的性能明顯惡化[17,26-29]。例如,文獻[17]研究了脈沖噪聲環境下的基于雙基地多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達的多目標測向算法。文獻[17]的研究結果表明,由于傳統的多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法使用了接收信號的二階矩,而α≠2的脈沖噪聲不存在有限的一階矩、二階矩和概率密度函數,因此在脈沖噪聲環境下, MUSIC算法估計性能顯著惡化。另外,文獻[29]的研究結果表明,傳統時延估計算法大多是基于二階或高階統計量的,盡管在高斯噪聲下這些算法可以表現出優良的性能,但在脈沖噪聲環境下,其性能會顯著下降。

近年來,在使用α-穩定分布對脈沖噪聲建模的基礎上,基于相關熵理論的參數估計算法有助于提高脈沖噪聲環境下的參數估計性能[28,30-31]。佟祉諫[28]提出的以相關熵為基礎的時延估計算法在脈沖噪聲環境下具有優異的估計精度和抗噪性能。基于相關熵的概念,蔡睿妍等人[30]提出的相干分布源到達方向(direction of arrival,DOA)估計在脈沖噪聲環境下具有較高的估計精度和魯棒性。該算法能夠自適應地調整高斯核函數中的核長參數,提高了脈沖噪聲環境下相干分布源中心DOA和擴散角的估計精度。為了實現脈沖噪聲下正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)信號有用符號時間和符號周期的參數估計,金艷等人[31]提出了一種基于相關熵的時域參數估計新方法,該算法在脈沖噪聲情況下具有良好的估計性能。

盡管目前已有不少方法能實現在脈沖噪聲環境下的參數估計,但在脈沖噪聲環境下無源定位方法的研究還較少。特別地,目前尚沒有脈沖噪聲環境下基于相關熵的DPD算法的相關研究。

此外,多數經典的無源定位算法(包括DPD算法)通常假設各接收站處的高斯噪聲是獨立、一致的,即噪聲是同分布的高斯噪聲。而實際中各接收站處的噪聲盡管是獨立的,但可能不一致,比如各個接收站的噪聲均為高斯噪聲,但噪聲功率不同[32];或各個接收站的噪聲均為脈沖噪聲,但噪聲的分散參數不同;或部分接收站的噪聲是高斯噪聲,其他接收站的噪聲是脈沖噪聲。在高斯噪聲功率不一致情況下,經典的DPD算法的定位精度會有所下降[33]。為了解決這一問題,基于極大似然估計準則,鐘華等人[33]提出了高斯噪聲功率不一致情況下的DPD(簡稱為NWO-ML-DPD)算法。在接收站高斯噪聲功率不一致且發射信號為脈沖信號的情況下,與經典的DPD算法相比,NWO-ML-DPD具有更優的定位精度。經驗證,在脈沖噪聲不一致環境下,該算法的定位精度下降。

本文考慮在脈沖噪聲不一致情況下的DPD算法,具體體現為每個接收站脈沖噪聲的分散參數不同。特別地,在使用α-穩定分布對脈沖噪聲建模的基礎上,本文基于最大復相關熵(maximum complex correntropy, MCC),提出了一種在各接收站脈沖噪聲不一致情況下的DPD算法。仿真實驗表明,在強脈沖噪聲環境下,與高斯噪聲假設下的ML-DPD算法相比,本文提出的MCC-DPD算法具有更好的定位性能,且本文所提出的算法中核長參數的選取不依賴于脈沖噪聲的先驗信息;在脈沖噪聲不一致情況下,本文所提算法的定位精度也優于文獻[33]算法的精度。

1 脈沖噪聲的建模和相關熵理論

1.1 脈沖噪聲

脈沖噪聲通常可用α-穩定分布[34-35]建模。其存在統一的特征函數[35]:

φ(u)=exp{jau-γ|u|α[1+jβsgn(u)ω(u,α)]}

(1)

式中:

(2)

sgn(·)為符號函數。

注意到,α-穩定分布由α、β、γ、a4個參數唯一確定,故可記為Sα(γ,β,a)。其中,特征參數α(0<α≤2)描述α-穩定分布的脈沖特性程度;對稱參數β(-1≤β≤1)描述α-穩定分布的對稱程度;分散參數γ(γ>0)描述α-穩定分布的離散程度,也稱為廣義功率[34];位置參數a(-∞

圖1 不同特征參數情況下的α-穩定分布的近似概率密度函數Fig.1 Approximate probability density function of α-stable distribution with different characteristic factors

1.2 相關熵

相關熵對于信號中使用α-穩定分布建模的脈沖噪聲不敏感,有助于實現脈沖噪聲環境下的信號處理[36]。兩個隨機變量之間的相似程度可以用相關熵[37]來衡量。本文中主要介紹復相關熵理論。關于相關熵的詳細討論可以參考文獻[38-40]。

復隨機變量X和Y的復相關熵[41](下面簡稱為相關熵)定義為

(3)

相關熵的主要性質如下:

(4)

對于相關熵的樣本估計,可以在樣本空間中定義相關熵誘導度量(correntropy induced metric, CIM)來衡量樣本之間的相關性:

(5)

樣本數據可以看成N維空間的兩個點(x1,x2,…,xN)和(y1,y2,…,yN)。圖2給出了核長參數σ=1時二維樣本空間中CIM(X,0)的等高線示例。從圖2中可以看出,當兩點的L2距離較小時(在本例中小于1),CIM表現出L2范數的效果,將此區域稱為歐氏區域;而當兩點的L2距離較大時(在本例中大于1),CIM表現出L1范數或L0范數的效果[40],將此區域稱為非歐氏區域。除此以外,還可以看到當兩點L2距離較大時,CIM的大小還與方向有關。歐氏區域的大小受核長參數的影響:核長參數越大,歐氏區域越大,非歐氏區域則越小[40]。

圖2 二維樣本空間中CIM(X,0)的等高線圖Fig.2 Contour of the two-dimensional sample space of CIM(X,0)

根據CIM[41],可以得到最大相關熵準則:

(6)

式中:e=X-Y。

本文將基于最大相關熵準則構造DPD問題的代價函數。

2 信號模型

基于文獻[12,14,43],假設空間中存在一個靜止輻射源目標和L個速度已知的接收站,每個接收站在其運動軌跡進行K個時隙的信號截取,每個時隙的觀測時間為T。

假設目標的位置為p,第l個接收站在第k次截取信號時的位置和速度不變,分別為pl,k和vl,k,l=1,2,…,L;k=1,2,…,K。設在第k個時隙中輻射源的發射信號是sk(t)ej2πfct,其中sk(t)是輻射源在第k個時隙發射信號的包絡,帶寬為W(W?fc),fc是載頻。

考慮時延、多普勒頻移及信道加性噪聲的影響,以載頻fc做下變頻處理后第l個接收站第k次截取的基帶觀測信號為

rl,k(t)=sk(t-τl,k)ej2πfl,kt+zl,k(t),

0

(7)

式中:τl,k為第k個時隙的發射信號從目標傳播到第l個接收站的傳輸時延;τl,k(p)1/c‖p-pl,k‖,c為光速;fl,k為第k個時隙的發射信號從目標傳播到第l個接收站產生的多普勒頻移;zl,k(t)為第k個時隙中第l個接收站處的加性脈沖噪聲,其服從SαS分布,zl,k(t)～Sα(γl,0,0)。本文假設噪聲與發射信號相互獨立,考慮不同的接收站的脈沖噪聲可能不一致的情況,即脈沖噪聲的分散參數不同。當α=2時,脈沖噪聲退化為高斯噪聲,此時上述情況相應退化為高斯噪聲功率不一致的情況[33]。

以Ts為采樣周期采樣接收信號,則第l個接收站在第k個時隙的接收信號樣本[44]為

rl,k(tn)=sk(tn-τl,k)ej2πfl,ktn+zl,k(tn),

l=1,2,…,L;k=1,2,…,K

(8)

rl,k=Al,kFl,ksk+zl,k,l=1,2,…,L;k=1,2,…,K

(9)

式中:

rl,k[rl,k(t0),rl,k(t1),…,rl,k(tN-1)]T

(10)

sk[sk(t0),sk(t1),…,sk(tN-1)]T

(11)

zl,k[zl,k(t0),zl,k(t1),…,zl,k(tN-1)]T

(12)

Al,kdiag{ej2πfl,kt0,ej2πfl,kt1,…,ej2πfl,ktN-1}

(13)

第3節將基于本節建立的信號模型,推導脈沖噪聲分散系數不一致情況下基于最大相關熵的DPD算法。

3 算法過程

本節將基于建立的信號模型和最大相關熵準則,推導脈沖噪聲分散系數不一致情況下的基于MCC-DPD(MCC-DPD under nonuniform impulsive noise dispersion, NU-MCC-DPD)算法。

假設各接收站接收的脈沖噪聲的分散參數分別為γ1,γ2,…,γL。由于在實際中只能獲得有限的樣本,因此考慮基于MCC準則,并使用各接收站的信號觀測樣本來近似估計相關熵,得到第k個時隙中第i個采樣點的代價函數為

(14)

式中:el,k,i(p)=(rl,k-Al,kFl,ksk)i(l=1,2,…,L)表示每個時隙中每個采樣點處的多個接收站觀測樣本的差;(a)i表示向量a的第i個元素。

為了簡化推導,對于各個時隙中每個采樣點的代價函數,本文選取相同的核長參數。事實上,對各個時隙中每個采樣點的代價函數,選取不同的核長參數有可能得到更高的定位性能。將式(13)中的代價函數相加,得到全局代價函數:

(15)

圖3 代價函數隨目標估計位置變化圖Fig.3 Cost function with respect to the estimated target position

(16)

注意到,當脈沖噪聲一致時,即γl=γ(l=1,2,…,L),此時脈沖噪聲的分散系數不影響式(14)的極值點位置,于是式(14)退化為

(17)

式(16)為脈沖噪聲一致情況下的MCC-DPD算法的全局代價函數。

除此之外,本文提出的算法是在使用α-穩定分布對脈沖噪聲建模的基礎上提出的。當α=2時,α-穩定分布退化為高斯分布,對應的脈沖噪聲退化為高斯噪聲。因此,對于所有接收站均為高斯噪聲的情況,或部分接收站為脈沖噪聲的情況,本文提出的算法也是適用的。

4 仿真實驗

本節將通過仿真實驗驗證本文提出的MCC-DPD算法在多種不同實驗條件下的有效性。假設目標位于[10 000,10 000] m。考慮接收站數量L=5,5個接收站初始位置分別為[0,0] m,[282.84, 282.84] m,[-282.84, 282.84] m、[0,-400] m、[0,-800] m,運動速度均為[100,0]Tm/s,截取時隙數K=5,截取間隔為2 s,每次截取時間為3.9 ms。發射信號的載頻為2 GHz,信號帶寬為200 kHz。本節實驗中,通過網格搜索的方法尋找代價函數的最大值點,獲得目標的位置估計。

對于脈沖噪聲,這里定義廣義信噪比(generalized signal-to-noise ratio, GSNR)[21]

(18)

(19)

實驗 1本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下GSNR對MCC-DPD、ML-DPD等算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數α=0.8,MCC準則的核長參數σ=4。圖4給出了MCC-DPD算法、ML-DPD算法在噪聲一致情況下RMSE隨GSNR變化的曲線。從圖4可以明顯看出,與ML-DPD算法對比,MCC-DPD算法能夠在脈沖噪聲的環境下獲得更高的定位精度,尤其在GSNR高的條件下優勢更為明顯,這是因為脈沖噪聲的尖峰脈沖特性會對接收信號產生幅度上的較大影響。因此,采樣后的信號樣本中就會出現幅度上的異常,而MCC-DPD算法利用高斯核函數減小了脈沖噪聲的影響。

圖4 不同GSNR下各算法的定位性能Fig.4 Localization performance of each algorithm for different GSNRs

實驗 2本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下特征參數對MCC-DPD、ML-DPD算法定位性能的影響。給定MCC準則的核長參數σ=4,接收站接收信號的GSNR=5 dB。圖5給出了MCC-DPD算法、ML-DPD算法在噪聲一致情況下RMSE隨特征參數α變化的曲線。從圖5可以明顯看出,與ML-DPD算法對比,MCC-DPD算法能夠在0.6≤α≤1的強脈沖噪聲環境下有效地提升定位精度;隨著α增大,脈沖噪聲的脈沖性逐漸減弱,ML-DPD算法的定位精度逐漸提高。注意到當α=2時,脈沖噪聲退化為高斯噪聲。從圖5可以觀察到,當α≥1.7時,兩種算法的定位精度趨于一致。

圖5 不同特征參數下各算法的定位性能Fig.5 Localization performance of each algorithm for different characteristic factors

實驗 3本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下核長參數和特征參數對MCC-DPD算法定位性能的影響。給定接收站接收信號的GSNR=5 dB。圖6給出了MCC-DPD算法在不同特征參數α情況下的定位精度RMSE隨核長參數變化的曲線。從圖6可以明顯看出,噪聲的脈沖性越弱,MCC-DPD算法的定位性能越好。當核長參數較大時,在脈沖性較弱的噪聲環境下,MCC-DPD算法的定位性能基本不隨核長參數而變化;在強脈沖噪聲環境下, MCC-DPD算法的定位性能隨核長參數變小而改善。這是因為L1范數和L0范數能很好減少脈沖噪聲的影響,而核長參數較小時,CIM的非歐氏區域較大,算法可以很好地減小脈沖噪聲對定位的影響。

實驗 4本實驗研究了在脈沖噪聲一致情況下核長參數和GSNR對MCC-DPD算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數α=0.8。圖7給出了MCC-DPD算法在噪聲一致、不同GSNR情況下RMSE隨核長參數變化的曲線。從圖7可以明顯看出,在GSNR較高情況下,MCC-DPD算法定位性能更好;在4種GSNR情況下,在核長參數σ≥2時,任一σ對應的MCC-DPD算法的定位性能與當前GSNR條件下的最佳定位性能相差不大。結合圖6可以觀察到,MCC-DPD算法的定位性能與核長參數的選取有關;然而,在噪聲的特征參數α不同時,選取2≤σ≤4范圍的核長參數,對定位精度的影響不大。因此,選取2≤σ≤4范圍內的核長參數,而無須利用噪聲的先驗信息,可以得到較高精度的定位結果。

圖7 不同GSNR和核長參數下MCC-DPD算法的定位性能Fig.7 Localization performance of MCC-DPD algorithm for different GSNRs and kernel sizes

實驗 5本實驗研究了在脈沖噪聲不一致情況下GSNR對MCC-DPD、ML-DPD[33]、NWO-ML-DPD[33]、NU-MCC-DPD等算法定位性能的影響。給定脈沖噪聲特征參數α=0.8;MCC準則的核長參數σ=4;第1、第3個接收站接收信號的GSNR分別為-5 dB、-2 dB,第2、第4、第5個接收站接收信號的GSNR變化為-15 dB、-10 dB、-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB、15 dB。由于脈沖噪聲沒有二階矩,本文復現的NWO-ML-DPD算法使用脈沖噪聲的廣義功率替代其使用的高斯噪聲的功率。圖8給出了在噪聲不一致情況下,MCC-DPD算法、ML-DPD算法、NWO-ML-DPD算法、NU-MCC-DPD算法RMSE隨GSNR變化的曲線。從圖8可以明顯看出,在噪聲不一致情況下,與基于極大似然準則的DPD算法相比,基于最大相關熵準則的DPD算法在各信噪比條件下有更好的定位性能;且在噪聲不一致情況下,利用接收站接收噪聲廣義功率的倒數1/γl加權相應的代價函數,式(14)中的算法能獲得比式(16)中的算法更精準的定位估計。

圖8 不同GSNR下各算法的定位性能Fig.8 Localization performance of each algorithm for different GSNRs

5 結束語

為了提高DPD算法在脈沖噪聲環境下的定位精度,本文基于MCC準則提出了MCC-DPD算法和噪聲不一致背景下的MCC-DPD NU-MCC-DPD算法。仿真實驗結果表明,相比于ML-DPD算法,MCC-DPD算法在強脈沖噪聲環境下具有更好的定位性能,并且MCC-DPD算法的核長參數選取不需要脈沖噪聲的先驗信息;在噪聲不一致背景下,NU-MCC-DPD算法相比于NWO-ML-DPD算法和MCC-DPD算法能實現更精準的定位。