圓柱極化敏感陣列降維插值角度估計方法

胡毅立, 趙永波, 陳 勝, 張 梅, 牛 奔

(西安電子科技大學雷達信號處理全國重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

圓柱極化敏感陣列是一種與圓柱載體共形分布且信號模型是極化敏感的共形天線陣。由于位于圓柱載體母線上的天線陣列具有相同的法線指向,導致母線子陣列中不同天線傳感器接收的極化增益相同,因此圓柱共形天線陣的母線子陣列是一個標量陣列[1]。標量陣列的信號模型由不同天線傳感器的波程差決定,經典的超分辨參數估計方法[2-3]可實現高精度角度估計。正是由于圓柱極化敏感陣列的子陣列模型中存在標量子陣列,所以基于圓柱載體的圓柱共形天線陣是共形天線陣雷達中一種常見的天線結構[4-7]。

在不考慮極化雷達[8-9]等輔助操作的情況下,共形極化敏感陣列的信號模型存在極化參數和二維波達方向(two-dimensional direction-of-arrival, 2D-DOA)參數相耦合的問題,提高了信號模型的自由度和求解待估參數的計算復雜度[10-13]。為了避免極化與2D-DOA的耦合問題,有效的策略是利用共形天線陣的幾何結構特點找到具有相同法線方向的子陣列,然后結合免搜索類方法,如基于旋轉不變技術的信號參數估計(estimation of signal parameters via rotational invariant technique,ESPRIT)[14],酉ESPRIT[15]或搜索類方法,如傳播算法[16-17],多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)[18]實現目標2D-DOA估計。文獻[19]通過在圓柱天線陣中挑選合適的子陣列,利用天線傳感器之間的旋轉不變性得到俯仰角的估計值,然后通過網格搜索估計對應的方位角。文獻[20]選擇圓錐陣的3個母線子陣列,并利用每個母線子陣列的旋轉不變性構造3個與二維角度有關的方程,進而得到目標二維角度的解析解。文獻[21]先將拋面陣插值成虛擬圓錐陣,然后利用虛擬圓錐陣的波程差關系得到2D-DOA的估計值。然而,文獻[20-21]的方法對天線結構有約束,并不能應用于圓柱天線陣。文獻[22]通過插值方法將圓環陣插值成虛擬線陣,然后利用ESPRIT方法得到方位角的解析解,但是所提信號模型不適用極化敏感陣列。經典插值方法[22-26]能有效實現標量陣列的目標參數估計,但是將經典插值方法應用于極化敏感陣列的2D-DOA估計問題時,由于過大的插值誤差導致無法得到高精度估計結果。

考慮到圓柱極化敏感陣列的母線子陣列是關于俯仰參數的標量陣列,本文提出了一種先利用母線子陣列的旋轉不變性估計俯仰角,然后利用估計的俯仰角,結合所提的降維插值方法實現對方位角的估計。估計方位角時所用的降維插值方法不僅不用改變虛擬天線陣列的幾何結構,而且利用已估計的俯仰角將四維感興趣范圍(range of interest, ROI)降維到三維ROI,降低插值誤差,有效地提高DOA估計精度。最后,數值仿真驗證了所提方法的有效性。

1 信號模型和經典插值方法

1.1 圓柱極化敏感陣列信號模型

圓柱共形天線陣中每個天線傳感器共形分布在圓柱載體的幾何曲面上,如圖1所示。

圖1 圓柱共形天線陣幾何結構Fig.1 Geometric structure of cylindrical conformal antenna array

圖1中,一共有M個圓環陣,每個圓環陣由N個電偶極子構成,dz是母線上相鄰天線之間的間距。圖1中每一列電偶極子構成的陣列就是圓柱陣的母線陣列。圖1共有N個母線陣列,其中第n個母線陣列是序號為{n,1},{n,2},…,{n,M}的電偶極子構成的天線陣,1≤n≤N。由于目標在同一母線陣列上的極化分量是相同的,因此每個母線陣列是關于俯仰參數的標量陣列。

信號回波模型的示意圖如圖2所示。

圖2 信號回波模型Fig.2 Signal echo model

圖2中,φ和θ分別是方位角和俯仰角,u是回波方向,uφ和uθ是正交基矢量。圓柱極化敏感陣列的極化-空域導向矢量為

(1)

(2)

式中:B是由電偶極子的指向決定的極化敏感矩陣[27];Euφ和Euθ分別是極化回波在uφ和uθ方向上的增益;Gφ和Gθ分別是有向陣元在全局極坐標系中的增益。本文假設回波為完全極化電磁波,即Euφ=cosγ,Euθ=sinγejη,0≤γ≤π/2,-π<η≤π,(γ,η)是二維極化參數。

需要強調的是,有向陣元的增益是根據陣元的局部坐標系定義的,而式(2)中的增益是在全局極坐標系中定義的,因此需要利用歐拉旋轉變換實現全局坐標系和局部坐標系之間的坐標關系轉換,具體可參考文獻[21,28]。

1.2 經典插值方法

經典插值方法[22-23]將圓環陣插值成虛擬等距線陣的形式,進而利用等距線陣數據協方差矩陣的范德蒙德特點估計2D-DOA。經典插值方法的表達式為

(3)

式中:Ar(φ,θ)是實際天線陣的導向矢量;Av(φ,θ)是虛擬等距線陣的導向矢量。式(3)的解析解為

(4)

設計插值矩陣時需要提前確認目標的參數范圍。針對實際雷達系統的信號處理過程,目標的參數范圍可以在信號檢測后反饋的波位中心和波位間隔獲得。由信號檢測后的波位中心和波位間隔信息確定的目標參數所屬范圍也可稱為插值方法所需的ROI,在式(4)中只需要考慮二維角度的ROI,簡稱為2D-ROI。

通常用插值誤差表示實際天線列與虛擬天線列的近似程度。插值誤差δ的定義為

(5)

δ越小,說明Av(φ,θ)和WHAr(φ,θ)越相近。需要強調的是,本文將虛擬天線陣結構為等距線陣時對應的插值方法統歸為經典插值方法。

現有經典插值方法并沒有考慮共形極化敏感陣列的角度-極化信號模型。第2節將重點研究所提的插值思想在圓柱極化敏感陣列中的應用。

2 所提方法

2.1 基于圓柱極化敏感陣列的四維插值方法

根據第1.2節內容,在設計插值方法時需要提前獲得待估目標的ROI。假設在圓柱極化敏感陣列中,通過信號檢測階段得到了目標的四維波位中心和四維波位間隔分別為(φp0,θp0,γp0,ηp0)和(Δφp,Δθp,Δγp,Δηp),則四維ROIΘ4為

(6)

式中:(Nφ,Nθ,Nγ,Nη)是四維感興趣參數的采樣點數,(Δφ,Δθ,Δγ,Δη)是四維感興趣參數相鄰采樣點間隔。四維感興趣參數的采樣點數和相鄰采樣點間隔都是提前設定好的。四維波位間隔(Δφp,Δθp,Δγp,Δηp)的大小為

(7)

(8)

由于式(6)需要的四維波位中心(φp0,θp0,γp0,ηp0)和四維波位間隔(Δφp,Δθp,Δγp,Δηp)可以在信號檢測后反饋的參數中獲得[21],因此實際應用中可以在信號參數估計之前通過式(6)～式(8)提前確定插值方法所需的四維ROI。

圓柱極化敏感陣列的插值過程為

(9)

(10)

對應的插值誤差為

(11)

在式(6)～式(10)的插值過程中,雖然增大四維波位間隔可以擴大插值方法的ROI,但會導致插值誤差的變大。所以在實際應用中波位間隔不可過大,通常和信號檢測過程中波束域間隔大小相當。

通過對比第1.2節經典插值方法,可以發現所提插值方法與經典插值方法最大的區別在于對虛擬天線陣的設計思路上。接下來以圓環陣為例,圖3分析了所提插值方法與經典插值方法的虛擬天線陣結構差異。

圖3 插值方法的對比Fig.3 Comparison of interpolation methods

圖3中,ra是圓環半徑,圖3(b)的虛擬天線陣位置和實際圓環陣相同,圖3(c)中虛擬天線陣是一個等距線陣[23],其中虛擬等距線陣間距為d,在X軸的坐標為h,第一個參考陣元在Y軸的坐標為t。圖3(a)的信號模型由極化-空域導向矢量構成,見式(1);圖3(b)的信號模型由虛擬圓環陣的空域導向矢量構成,見式(9);圖3(c)的信號模型由虛擬等距線陣的空域導向矢量構成。圖3(b)和圖3(c)的信號模型都沒有考慮極化參數。

圖3(c)通過調節(t,h,d)的大小可以改變插值誤差的數值,進而通過選擇插值誤差最小時的(t,h,d)就可以得到擬合程度最好的虛擬線陣[22-23],最優(t,h,d)的表達式為

(12)

式(9)所提插值過程相當于從圖3(a)到圖3(b),而第1.2節的插值過程相當于從圖3(a)到圖3(c)。假設從圖3(a)到圖3(b)的插值誤差為δab,從圖3(a)到圖3(c)的插值誤差為δac,通過圖3可知δab<δac,即所提方法的插值誤差要小于經典方法的插值誤差。越小的插值誤差意味著越精確的插值過程,因此用所提插值方法能得到比經典插值方法更準確的參數估計結果。

由于圖3(b)中所提方法的虛擬天線陣仍然是一個圓環陣的形式,導致所提方法在插值后無法像虛擬等距線陣那樣直接利用免搜索算法[14-15]實現高精度DOA估計。由于搜索類算法[16-18]可以適用于任何共形陣結構,因此本文將考慮用搜索類算法解決插值成圖3(b)虛擬天線陣后的2D-DOA估計問題。

接下來,以經典的MUSIC算法為例介紹所提插值方法在獲得式(10)的插值矩陣W后的2D-DOA估計過程。

假設回波信號為

(13)

式中:(φ0,θ0,γ0,η0)是目標四維參數;N是零均值高斯白噪聲;S是回波起伏序列。回波的協方差矩陣為

(14)

式中:L是快拍數。通過奇異值分解后可得協方差矩陣R的噪聲子空間為Un,進而得到二維MUSIC譜函數為

(15)

經過插值矩陣預處理后的搜索導向矢量b(φ′,θ′)為

(16)

式中:[·]?是偽逆符號;插值矩陣Wc可根據式(9)和式(10)獲得。進而得到二維角度的估計值為

(17)

式(16)的作用是將目標的二維角度和二維極化構成的信號空間投影到只包含二維角度的信號空間中。進而在未知極化情況下,可以只通過角度的搜索實現對2D-DOA的估計。

2.2 基于降維插值的圓柱極化敏感陣列2D-DOA估計

雖然第2.1節所提方法可以在共形極化敏感陣列中估計出目標的2D-DOA,但是由于式(8)對四維ROI的擴展,加重了系統的計算負擔。考慮到圓柱天線陣可以利用母線子陣列數據的旋轉不變性直接獲得俯仰角的估計結果,因此針對圓柱天線陣的2D-DOA估計,在第2.1節所提方法基礎上降維設計ROI,進而在本節提出一種基于降維插值的圓柱極化敏感陣列2D-DOA估計方法。

根據圖1,取第n個母線陣列數據

X:,n=[X1,n,X2,n,…,XM,n]T, 1≤n≤N

(18)

用第1行到第M-1行數據構成第1個子陣X1～M-1,n,第2行到第M行數據構成第2個子陣X2～M,n。子陣的協方差矩陣為

(19)

通過奇異值分解可得第1個子陣和第2個子陣的信號子空間分別為Es1和Es2。根據ESPRIT方法的旋轉不變性思想,Es1和Es2的關系為

(20)

(21)

俯仰角的估計值為

(22)

式中:eig(·)是取特征值符號。在獲得俯仰角的估計值后,可以將其應用到ROI的設計中,從而實現ROI從四維降到三維。借助式(18)～式(22)估計的俯仰角,3D-ROIΘ3可寫成

(23)

(24)

(25)

(26)

由于圓柱天線陣中不同圓環陣存在方位和俯仰的自由度,因此利用圖1圓柱陣中的圓環陣數據可以估計出目標方位角。取第m個圓環子陣數據:

Xm,:=[Xm,1,Xm,2,…,Xm,N]T, 1≤m≤M

(27)

第m個圓環子陣的協方差矩陣為

(28)

(29)

式中:

(30)

因此,方位角的估計值為

(31)

本節方法利用了圓柱陣同一母線陣列曲率相同的特點先估計俯仰角,然后將估計的俯仰角作為確知量設計ROI,不僅降低了ROI維度并且具有更小的插值誤差。最后,利用式(27)～式(31)實現對目標方位角的估計。

基于降維插值的圓柱極化敏感陣列2D-DOA估計方法的具體步驟如下。

步驟 1在圖1的圓柱陣中,獲得第n個母線子陣數據X:,n和第m個圓環子陣數據Xm,:,1≤n≤N且1≤m≤M。

步驟 2將子陣數據X:,n分成兩個陣元數為M-1的子陣X1～M-1,n和X2～M,n。

雖然本文所提的降維插值方法在估計方位角時需要通過網格搜索,但是網格搜索的譜函數只需考慮方位維,無需像式(15)需要考慮方位和俯仰維,所以降維插值方法有搜索維度低運算量小的特點。

3 仿真分析

本節仿真實驗分析了針對圓柱極化敏感陣列模型先估計俯仰角再估計方位角的不同算法[19,23]之間的估計性能差異,并充分對比了經典插值方法和所提插值方法的2D-DOA估計精度。

二維角度的分辨概率表達式為

(32)

(33)

為了對比方便,除了第2.2節所提的降維插值方法外,添加了基于文獻[19]和文獻[23]的兩組對比實驗。其中,基于文獻[19]的方法首先利用旋轉不變性估計出俯仰角,再利用估計的俯仰角結合一維秩虧算法實現方位角的估計;基于文獻[23]的方法也通過旋轉不變性獲得俯仰角估計值,然后利用經典插值方法將圓環陣轉變成圖3(c)的形式,進而獲得虛擬等距線陣對應的方位角解析解。所有方法都是利用圓柱陣母線陣列的旋轉不變性估計俯仰角,但是3種方法估計方位角的過程不同。

本文所選圓柱陣結構如圖1,主要的系統參數如表1所示。

表1 系統參數Table 1 System parameters

不失一般性,天線方向圖的表達式為

假設在設計插值矩陣時,信號檢測后反饋的目標四維波位和四維波位間隔分別為

(φp0,θp0,γp0,ηp0)=(75°,50°,20°,30°)
(Δφp,Δθp,Δγp,Δηp)=(6°,6°,6°,6°)

由于所提方法在設計ROI時,俯仰維的ROI用估計的俯仰角代替,所以本文所提方法的3D-ROI只需按照式(23)和式(24)設定三維波位采樣數和對應相鄰采樣數間隔即可。本節假設三維波位的相鄰采樣數間隔為(Δφ,Δγ,Δη)=(0.2°,0.2°,0.2°)。

圖1中M的數值影響著俯仰維陣列孔徑的大小,進而影響圓柱陣俯仰角的估計精度。圖4仿真了不同M的母線子陣列估計俯仰角的RMSE與信噪比(signal to noise ratio, SNR)的關系。

圖4 不同M時俯仰角的RMSEFig.4 RMSE of elevation with different M

圖4中,隨著M的增加,俯仰維的孔徑增大,所以用式(18)～式(22)測量俯仰角時M=20的俯仰角估計精度是最優的。

圖5 分辨概率Fig.5 Resolution probability

圖5中,所提方法的平均插值誤差為0.003 6。根據圖3的分析可知,基于文獻[23]的方法由于插值誤差較大,導致在較大的插值誤差作用下,方位角的估計精度并不會隨SNR的增加而明顯提高,所以隨著SNR的增加分辨概率曲線緩慢上升。基于文獻[19]的方法雖然在估計方位角時使用了網格搜索,但是由于俯仰角估計偏差的影響,導致搜索矢量始終無法正確匹配目標的信號模型,因此基于文獻[19]方法的方位角估計偏差大,分辨概率曲線最差。

圖6展示了在圖5的仿真條件下3種方法估計2D-DOA的RMSE結果。

圖6 不同方法估計2D-DOA的RMSEFig.6 Different methods to estimate RMSE of 2D-DOA

圖6中,當俯仰維估計精度相同時,所提方法對方位角的估計精度最高,因此RMSE結果是最優的。基于文獻[19]方法對方位角的估計精度最差,而基于文獻[23]方法由于插值誤差較大導致SNR在3 dB附近時,固有的插值誤差使RMSE結果不再隨SNR變化而變化。雖然所提方法也存在插值誤差,但是插值誤差較小且低于插值誤差門限,所以隨SNR變化時,2D-DOA的RMSE仍然有明顯的降低。

假設目標數為K,Ψφ是方位角網格搜索次數,D=NφNγNη。圖6中,3種方法在估計俯仰角時的計算負擔為O(M3+K3+3K2M),當估計方位角時,所提方法的計算負擔為O(2N3+3N2D+ΨφN2),基于文獻[23]的計算負擔為O(2N3+3N2D+K3+3K2N),基于文獻[19]的計算負擔為O(N3+ΨφN2)。

通過圖4,M的數值會影響俯仰維孔徑,進而影響俯仰角的估計精度。同時,本文所提方法的方位角估計精度受俯仰維估計結果的影響,因此有必要分析不同M時基于文獻[23]方法和所提方法的RMSE。根據表1參數,圖7展示了不同M時ESPRIT+文獻[23]方法和所提方法估計2D-DOA的RMSE。

圖7 不同M時2D-DOA的RMSEFig.7 RMSE of 2D-DOA with different M

圖7中,通過對比同一方法在不同M時RMSE結果可以發現,不管是所提方法還是ESPRIT+文獻[23]方法,在低SNR時都不能有效估計方位角,說明較大的俯仰角估計偏差將影響對方位角的高精度估計。然而,隨著SNR的增加,所提方法由于插值誤差小,所以具有比基于文獻[23]方法更高的DOA估計性能。

波位間隔影響著插值誤差的大小。假設Δ=Δφp=Δγp=Δηp, 圖8展示了Δ分別取4°,6°,8°時所提方法的RMSE。

圖8 不同Δ的2D-DOA估計精度Fig.8 2D-DOA estimation accuracy with different Δ

圖8中,當Δ分別取4°,6°,8°時,平均插值誤差分別為0.002 4,0.003 6,0.005 4。隨著Δ的增加,插值誤差會相應增加,并且所提方法估計2D-DOA的RMSE也會變大,因此在設計降維插值方法時需要盡可能降低插值誤差。

4 結束語

所提方法首先利用圓柱極化敏感陣列母線子陣列的旋轉不變性估計出俯仰角,然后利用估計的俯仰角作為ROI中俯仰維的確知范圍,實現插值方法所需ROI從四維降維成三維。基于三維ROI,提出了一種降維插值和MUSIC相結合方法實現對方位角的估計,進而實現圓柱極化敏感陣列的2D-DOA估計。相比于經典插值方法,所提方法的插值誤差低,可有效提高2D-DOA估計精度。此外,所提方法無需估計目標極化參數,適用于在未知極化條件下實現圓柱極化敏感陣列的2D-DOA估計。

由于極化矢量中二維角度和二維極化參數相耦合的特點導致所提方法無法有效估計目標的二維極化參數,后續工作將重點研究如何在所提方法的基礎上實現角度和極化參數的聯合估計。