基于噪聲圓形特性的寬帶相干信號DOA估計方法

孫志國, 王 杰, 孫溶辰, 白永珍, 李齊衡

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

波達方向(direction of arrival,DOA)估計是陣列信號處理領域的核心內容之一,也是當前研究熱點,其目的是確定空域信號到達方向角等參數的估計[1-5]。DOA估計從20世紀40年代開始形成,經過幾十年的快速發展,現已廣泛應用于通信、地震預測、醫療、雷達等領域[6-10]。為了能夠更好地適應當前日益復雜的電磁環境,應該考慮能適用于更加復雜條件下的DOA估計方法。相比窄帶信號,寬帶信號抗干擾能力更強、信息傳輸量更大,因此被廣泛應用。根據入射信號源之間是否相干,寬帶信號DOA估計方法被分為兩類:非相干信號子空間方法(incoherent signal-subspace method, ISSM)[11]和相干信號子空間方法[12](coherent signal-subspace method, CSSM)。這兩類方法以及各種改進方法的核心思想是在頻域內將寬帶平均分為不同頻點的窄帶模型,通過各種組合操作,最后運用各種窄帶信號方法,比如多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法等[5,13-15],進行DOA估計。ISSM僅能處理非相干信號且在高信噪比時簡單有效,但在低信噪比時估計精度較差[16]。CSSM可以通過對協方差矩陣聚焦操作進行相干信號DOA估計并且具有較高估計精度,但大多需要角度預估且算法較復雜[17-18]。文獻[19]通過協方差矩陣構造聚焦矩陣,雖然避免了角度預估計帶來的誤差且降低復雜度,但是算法的估計精度和穩健性降低。文獻[20]提出信號子空間聚焦(focusing signal subspace, FSS)算法,利用信號子空間向量構成的矩陣建立新的觀測模型并且利用Frobenius范數構建聚焦矩陣,該算法分辨率高,無需進行角度預估計,但在低信噪比下算法性能較差。

傳統的高分辨率算法一般假設在高斯白噪聲背景下,但是在實際環境中大多數存在的是色噪聲。消除色噪聲的DOA估計方法主要有:參數化法、四階累積量法、協方差矩陣差分法[4,21-22]。上述方法大多只適用于色噪聲環境下窄帶信號的DOA估計。針對色噪聲下的寬帶相干信號DOA估計方法,研究者提出了一些算法。文獻[23]提出相關噪聲下差分和特征分解(differrencing and eigen decomposition,DED)算法和其改進算法,但該算法僅適用于入射信源相干組中含有兩個相干信號的條件下。文獻[24]提出的差分相干傳播方法(differencing coherent propagation method, DCPM)也只能用于入射信源相干組中僅有偶數個信源的場景。大多數運用差分矩陣方法的算法只能估計相干組中相干信源數為偶數的情況,應用面不廣,實用性不強。文獻[25]提出迭代去噪的寬帶相干信號DOA估計方法,該算法能夠估計信源數不受限制,但運算過程中需要多次迭代,計算量大,在低信噪比下算法性能較差。在近幾年中,文獻[26]提出了一種寬帶相干信源超分辨率DOA估計方法,該算法在較小間隔下有較好的分辨率;文獻[27]提出色噪聲下基于差分聚焦的寬帶信號DOA估計,該算法在低信噪比下有良好的性能;文獻[28]提出了一種在寬帶相干信號背景下,該算法無需角度預估計;但沒有人將三者結合起來進行研究。

針對色噪聲背景下寬帶相干信號DOA估計存在的上述問題,本文提出基于噪聲圓形特性去噪和Toeplitz矩陣重構解相干的寬帶相干信號DOA估計方法。首先,在求取信號協方差矩陣上,與傳統的方法不同,對接收信號乘以其轉置而非共軛轉置的方法來構建協方差矩陣,在此過程中利用噪聲的圓形特性,達到消除色噪聲的目的,相比于傳統差分去噪的方法更加簡單,不會帶來偽峰的問題,同時在高斯白噪聲環境下同樣適用;為達到用Toeplitz矩陣解相干的目的,將協方差矩陣相乘構造新的數據協方差矩陣,之后利用Toeplitz矩陣重構來解相干,再用旋轉信號子空間(rotational signal ubspace,RSS)準則構造聚焦矩陣,計算聚焦平滑后的矩陣,利用傳播算子(propagator method,PM)算法進行DOA估計,以減少計算量。理論分析及仿真結果表明,該算法空間譜收斂性好、估計精度高、穩健性較好,不受相干組中含有奇數或偶數個相干信源的約束,并且該算法在高斯白噪聲下同樣適用。

1 陣列信號模型

本文采用均勻線陣作為接收陣列,陣元數為M,陣元間距為d。假設空間中存在K個遠場寬帶相干信號s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]分別從θ=[θ1,θ2,…,θK]入射到各向同性的接收陣列,且信號與噪聲之間相互獨立,并假設空間噪聲場為各向同性圓形或柱形場。則第k個陣元接收信號xk(t)表達式如下:

(1)

式中:nk(t)表示第k個陣元接收噪聲;τk,i為第k個陣元相對于第一個接收信號si(t)的時間延遲,τk,i=(k-1)dsinθi/c,c為電磁傳播速度。

將一定觀測時間內陣列接收信號分為若干子段,利用離散傅里葉變換,在頻域內平均得到J個窄帶信號。則寬帶陣列接收信號的頻域表達形式如下:

X(fj)=A(fj,θ)S(fj)+N(fj),j=1,2,…,J

(2)

X(fj)=[Xk(fj),Xk+1(fj),…,XK(fj)]

(3)

A(fj,θ)=[a(fj,θ1),a(fj,θ2),…,a(fj,θK)]

(4)

S(fj)=[S1(fj),S2(fj),…,SK(fj)]

(5)

N(fj)=[N1(fj),N2(fj),…,NM(fj)]T

(6)

式中:A(fj,θ)表示頻點fj處的陣列流型。

2 本文算法

假設空間噪聲為同性圓形或柱形場且噪聲與信號之間不相關,在這樣的條件下,噪聲矢量n(t)的二階矩滿足:

E[n(fj)nT(fj)]=0

(7)

式(7)也是噪聲圓形特性的數學表達形式。則頻點fj處的陣列輸出信號協方差矩陣可表示為

R(fj)=E[X(fj)XT(fj)]=
E[(A(fj)S(fj)+N(fj))(A(fj)S(fj)+N(fj))T]=
E[A(fj)S(fj)ST(fj)AT(fj)]=A(fj)Rs(fj)AT(fj)

(8)

利用式(7)中噪聲的圓形特性消除噪聲影響,得到不含噪聲的協方差矩陣,其中Rs(fj)=S(fj)ST(fj)表示信號協方差矩陣。利用色噪聲信號協方差矩陣滿足Toeplitz型,從而使用數據協方差矩陣進行差分處理消除色噪聲的方法,由此會造成引入入射信源對應負角度的方向矢量而出現偽峰的情況,但本文方法不需要考慮這種情況。對于式(7)中進行的消除噪聲方式,其中噪聲可以是高斯色噪聲也可以是高斯白噪聲,這表明理論上本文算法在高斯色噪聲下和高斯白噪聲下都適用,不會產生其他分量并且復雜度低。為了達到Toeplitz矩陣重構來解相干的目的,需要要將接收信號協方差矩陣轉變為數據協方差矩陣。因此,在各頻點上相乘構造得到數據協方差矩陣,如下所示:

(9)

2.1 Toeplitz矩陣重構

對于非相干信號,其接收數據協方差矩陣屬于Toeplitz型,但對相干信號,其數據協方差矩陣會產生秩虧損,造成信號特征矢量發散到噪聲子空間中去,計算出來的信號子空間的維數比實際信源數目要小,其數據協方差矩陣不再滿足Toeplitz型結構,需要通過某種方法使其滿足才能確保入射信號角度估計正確。恢復數據協方差矩陣的秩到信源個數的常用方法有空間平滑技術、Toeplitz矩陣重構等方法。進一步,通過文獻分析可知在常見的幾種解相干方法中[29],Toeplitz矩陣重構方法在低信噪比條件下其穩定性和精度綜合性能相對最佳。故本文采用Toeplitz矩陣重構的方法來對相干信源進行解相干。首先,利用新矩陣的第一列元素,通過矩陣重排,形成新的具有Hermitian特性的Toeplitz矩陣。對式(9)進行Toeplitz矩陣重構,如下所示:

(10)

2.2 聚焦矩陣

本文算法利用低分辨率DOA估計方法,如常規波束形成法(conventional beam former,CBF)進行角度預估計,再根據旋轉信號子空間(rotating signal subspace,RSS)算法聚焦準則來構造聚焦矩陣。假設構造聚焦矩陣T(fj),使得各頻點fj的陣列流型變換后與參考頻點的陣列流型在Frobenius范數意義下差值最小。即T(fj)滿足

(11)

可得聚焦矩陣T(fj)的最優解為

T(fj)=V(fj)U(fj)

(12)

式中:U(fj)和V(fj)分別是矩陣A(fj,θ)AH(f0,θ)的左奇異矢量和右奇異矢量。參考頻率f0取中心頻率,經過聚焦之后各頻點的陣列協方差矩陣為

(13)

經過平均處理后得到最終的協方差矩陣為

(14)

最后,為了降低計算量提高精度,通過PM算法[30]實現寬帶相干信號的估計。

將矩陣RF寫為

RF=[G,H]

(15)

式中:G和H分別是RF的前K列組成的M×K維矩陣和后M-K列組成的M×(M-K)維矩陣。接著構建傳播算子P,則矩陣P滿足

H=GP

(16)

式中:矩陣P是K×(M-K)維PM矩陣。解得其最小二乘解為

(17)

(18)

(19)

2.3 算法實現步驟

綜上,實現本文算法主要有以下5個步驟。

步驟 1將陣列接收信號的整個寬帶均勻分割為J個子帶,利用式(8)計算得到各頻點輸出信號協方差矩陣R(fj,θ)。

此外，“益友會亦于歲首（1907年）中旬，假座張園演劇，并商請開明會助演，益足增進觀者興味。所入約三百金，悉數助賑”[2]54。

步驟 4利用低分辨率的空間譜估計算法(如CBF)進行角度預估計,再根據RSS聚焦準則,按照式(12)求得聚焦矩陣T(fj)。

3 仿真分析

仿真實驗 1不同高斯噪聲下算法的測向精確性

實驗1比較所提算法與DCPM、DCSSM、文獻[25]算法在高斯色噪聲背景下測向的精準性和本文算法在高斯白噪聲和高斯色噪聲下均方根誤差與信噪比的性能。因DCPM和DCSSM只能在信源數為偶數的條件下應用,故將奇偶數條件下不同的空間譜估計分開進行仿真。在上述提到的仿真條件下,在圖1(a)中設置兩個寬帶相干信源,入射角度分別是-10°和15°。在圖1(b)中設置3個寬帶相干信源,入射角度分別是-30°,10°,40°。圖2中設置3個寬帶相干輻射源,入射角度分別為-10°,15°,30°,快拍數為100,信噪比為0 dB。

圖1 高斯色噪聲下不同算法的空間譜Fig.1 Spatial spectrum of different algorithms under Gaussian color noise

圖2 高斯白噪聲下本文算法性能圖Fig.2 Performance chart of the proposed algorithm under white Gaussian noise

從圖1中可以看出,本文算法相對于其他對比算法,譜峰更加尖銳,收斂性更好,測向精度高。本文算法利用噪聲的圓形特性消除噪聲,從圖2中可以看出本文算法在高斯白噪聲下同樣有著很高的精度和穩健性。說明該算法能夠同時適用于兩種不同噪聲環境。

仿真實驗 2算法穩健性分析比較

圖3 均方根誤差與信噪比性能曲線Fig.3 Root mean square error and signal to noise ratio performance curve

圖4 相干信源數為奇數時均方根誤差與信噪比曲線Fig.4 Root mean square error and signal to noise ratio curve for coherent sources with odd number

從圖5中可以看出,在信源數為偶數的條件下,本文算法與DCPM、DCSSM接近,但好于文獻[25]算法的性能。從圖6中可以看出,本文在信源數為奇數的情況下依然能保持良好的性能。

圖5 均方根誤差與快拍數曲線Fig.5 Root mean square error versus snapshots curve

圖6 相干信源為奇數時均方根誤差與快拍數曲線Fig.6 Root mean square error versus snapshots curve for coherent sources with odd number

4 結 論

本文提出基于噪聲圓形特性去噪和Toeplitz矩陣重構解相干的色噪聲下寬帶相干信號DOA估計方法。該方法能在高斯色噪聲下準確估計出相干寬帶信號的入射角度且不會受到入射相干信源數奇偶條件的約束。仿真實驗表明,本文算法相較于對比算法具有更尖銳的譜峰和更好的穩健性。同時,根據去除噪聲的原理,該算法不僅適用于高斯色噪聲環境也適用于高斯白噪聲環境,在高斯色噪聲下優于對比算法,且在低信噪比條件下仍有較好的估計性能。