一種基于雙站協同的時差頻差定位方法

張鎧宇, 于昊天, 盧 雨

(海軍航空大學, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

無源定位是指觀測站不主動發射信號,而是通過接收目標輻射源或散射無線電信號來估計目標的位置。它具有保密性好、安全性高[1]、距離遠、隱蔽性強等優點,常被用于雷達探測和電子戰等領域[2]。

近年來,國內外常用的無源定位技術包括:

(1) 到達角定位技術(angle of arrival, AOA),又稱到達方向技術,利用陣列天線估計信號到達方向和定位[3]。

(2) 到達時間定位技術(time of arrival, TOA),通過測量輻射源與接收機之間的絕對到達時間來實現定位[4]。

(3) 到達頻差定位技術(frequency difference of arrival, FDOA),通過測量每個接收機接收信號之間的多普勒頻率差來實現定位[5]。

(4) 到達時間差定位技術(time difference of arrival, TDOA),通過測量目標輻射源到不同測量站之間的到達時間差來實現定位[6]。

TDOA技術只需要單個天線接收系統進行測量,而無需AOA測量復雜的陣列天線系統,其硬件設計相對容易實現,設備體積較小,成本也相對較低。TDOA估計算法比AOA估計算法簡單得多。與TOA定位技術相比,TDOA不需要知道目標輻射源與各測量站之間的信號的絕對時間,因此不需要輻射源與測量站之間的時間同步,也就是說輻射源和測量站之間不需要有絕對時鐘,只需要每個測量站之間能夠實現數據的同步采集即可。與FDOA定位技術相比,TDOA定位技術不僅可被應用于目標輻射源相對于測量站移動的情況,還可被應用于源目標相對靜止的情況。TDOA也是最早被應用于多站無源定位[7-10]的技術,具有定位精度高、抗干擾能力強等特點,因此其在無源定位系統中得到了廣泛的應用[11]。

目標與接收站之間存在的相對運動會導致多普勒頻移的產生[12]?；贔DOA的定位方法相比基于 TDOA 的定位方法,對接收站的個數有著更高的要求,且前者定位精度普遍不如后者。由于差分多普勒速率采集不需要傳感器提供額外的數據,可以將TDOA和FDOA結合使用,對目標輻射源進行無源定位,以此獲得更好的定位精度[13]。

Li等分析了復雜電磁環境下TDOA無源定位系統的幾何優化問題,提出了一種基于強化學習的方法,使學習主體能夠找到良好的幾何構型來精確定位發射機[14]。Zhang等[15]針對TDOA定位問題中測量噪聲較大時,輻射源位置估計精度較差且偏差較大的問題,基于迭代約束加權最小二乘算法,采用一組線性等式約束來代替二次約束,以抑制偏差,提出了一種新的減小偏差的方法。

Imani等[16]在噪聲水平較高、輸入信號TDOA和AOA測量不準確的情況下,提出一種基于最小二乘準則進行優化,不需要對響應進行初始估計或進行全面搜索,并采用半定松弛法對目標位置求解,獲得高精度定位目標位置。Sadeghi等[17]研究了在一定通信約束下,基于TDOA測量的傳感器最優布置問題。Pine等[18]研究了在已知傳感器位置、速度及一個目標輻射源的位置時的FDOA水平曲線和曲面的模型,并表明在遠場時,FDOA水平曲線和曲面得到了極大的簡化。Hu等[19]針對相對多普勒壓縮導致的 FDOA估計精度降低的問題,提出了一種聯合到達時差TDOA、FDOA和差分多普勒速率估計方法。該方法能夠克服相對多普勒壓縮問題,對所有的TDOA、FDOA和差分多普勒速率估計都具有良好的性能。TDOA和FODA進行定位時,有時被表述為具有二次等式約束的加權最小二乘問題。由于該模型的非凸性,難以獲得全局解,Zheng等[20]利用半定規劃將此類問題轉化為凸優化問題,并結合重新配方線性化技術設計了一種在高噪聲水平下仍有較高定位精度的方法。Lee等[21]使用了 FDOA、采用迭代雙擴展卡爾曼濾波算法對移動的發射器進行地理定位。與雙擴展卡爾曼濾波算法相比,迭代雙擴展卡爾曼濾波算法的參數估計濾波器更新速度通過迭代過程顯示出較高的收斂速度。

從太空空間站進行觀測,地球不是規則球體,而是呈梨狀,即南極凹陷北極外凸,其表面不是平滑曲面,地球橢球體是形狀和大小最接近地球天體的橢球體,與地球天體有著很高的契合度[22]。

基于上述內容,本文提出一種使用空中雙觀測站測量地(海)面目標的方法,該方法聯立地球橢球方程[23],時差、頻差定位方程[24-25],得到一個有關于目標到其中一個觀測站的歐式距離[26]的一元四次方程[27],通過構建矩陣的方法獲得有關于目標位置的解析解[28-29],并研究了觀測站對目標進行定位的幾何精度因子[30](geometric dilution of precision, GDOP)。

相比TDOA四站組網無源時差定位[31],本文所給出的雙站協同無源時差定位除可以直接獲得目標的解析解,還具有以下優點:一是對數據信息依賴較少,抗毀傷能力更強;二是協同組網靈活,更能適應復雜電磁環境;三是使用成本較低,應用場景更加廣泛。

1 基于TDOA和FDOA的定位方法

如圖1所示,建立大地直角坐標系,其原點為橢球體的中心點,用點O表示;Z軸指向地球北極,本初子午線與赤道相交于點A,X軸由點O指向點A。Y軸與X軸、Z軸兩兩垂直且符合右手坐標系法則。赤道面可視為圓,其半徑為橢球長半軸,用a表示。OB為橢球短半軸,用b表示。目標在大地直角坐標系中的坐標可由(x,y,z)表示。

圖1 地球橢球體模型Fig.1 Earth ellipsoid model

建立如下地球橢球方程:

(1)

地球第一偏心率為

(2)

將式(2)代入式(1),可得

(3)

在大地直角坐標系下,目標表示為(x,y,z)T,兩空中觀測站S1、S2的位置分別表示為(x1,y1,z1)T、(x2,y2,z2)T,運動速度分別表示為(vx1,vy1,vz1)T、(vx2,vy2,vz2)T。在實際探測過程中,令兩空中觀測站速度大小與方向均相同,表示為(vx,vy,vz)T。根據時差定位及多普勒頻差定位原理。可得如下方程:

(4)

(5)

式中:λ表示目標輻射源發射信號的波長;c表示光速;Δvr是目標相對于雙站的徑向速度差; Δr是目標輻射源信號到雙站的波程差;Δfd是多普勒頻差;Δt是目標輻射源信號到達雙站的時差。

(6)

(7)

將式(6)、式(7)代入式(1),可得

r1-r2=Δr

(8)

將式(8)左右兩邊同乘(r1+r2),可得

(9)

聯立式(6)、式(7)和式(9),化簡可得

(x1-x2)x+(y1-y2)y+(z1-z2)z=k1-r1Δr

(10)

式中:

將式(6)取平方后減去式(3),可得

(11)

對式(11)進行化簡,可得

(12)

將式(6)～式(8)代入式(5),可得

(13)

整理可得

(14)

式中:

k3=vx·x1+vy·y1+vz·z1

聯立式(3)、式(12)可得

(15)

式中:

(16)

式中:

將式(16)代入式(15),將其表示為如下矩陣形式:

P·Z=Q·R

(17)

由于k6<0,k7>0,且|k7|≥|k6|,所以rank(P)=1,P為行滿秩矩陣。P的廣義逆矩陣為

(18)

解得

(19)

式中:

則可得

(20)

式中:

L2=β·(M2·x1+N2·y1)
L3=β·(M3·x1+N3·y1)

將式(20)代入式(16),解得

(21)

(22)

聯立式(20)～式(22),可得

(23)

式中:

將式(23)代入式(3),可得

(24)

式中:

s2=(1-e2)·(2H12H13+2H22H23)+2H32H33

s4=(1-e2)·(2H11H12+2H21H22)+2H31H32

可以將一元四次方程表示為如下的矩陣形式:

(R′)T·A·R′=0

(25)

式中:u為實數;

令det(A)=0,u=u′,將其代回A中。存在矩陣G,使GTAG=diag(λ1,λ2,0)。令F=G-1R′=(f1,f2,f3)T,式(24)等價于:

(26)

因為r1為正實數,所以在解得方程的4個根中,舍去復數根及負實數根,在余下的正實數根中,最小的即為r1的值。

(27)

解得

(28)

(29)

式中:

在實際探測中,要求雙站不在同一地心連線上,此時B可逆,可得

(30)

將x、y代入式(3),得到關于z的一元四次方程:

l1·z4+l2·z3+l3·z2+l4·z+l5=0

(31)

式中:

l2=2b11k6·(b12z2-b12z1-b11z1)·(1-e2)+
2b21k6·(b22z2-b22z1-b21z1)·(1-e2)

可將式(31)表示為如下的矩陣形式:

ZT·D·Z=0

(32)

式中:w為實數;

將其代回D中。令det(D)=0,解得w=w′。

存在矩陣U,使UTAU=diag(λ3,λ4,0)

令V=G-1Z=(g1,g2,g3)T,式(32)等價于

(33)

2 定位誤差理論分析

在雙站定位中,影響定位精度的誤差量包括時差估計誤差dΔt、頻差估計誤差dfd以及觀測站位置測量誤差,分別為(dx1,dy1,dz1)、(dx2,dy2,dz2)、觀測站速度的測量誤差為(dvx,dvy,dvz)。

將式(4)在目標(x,y,z)處作微分,可以得到

(gx1-gx2)dx+(gy1-gy2)dy+(gz1-gz2)dz=
dΔr+(gx1dx1-gx2dx2)+(gy1dy1-gy2dy2)+
(gz1dz1-gz2dz2)

(34)

式中:

式(5)在目標(x,y,z)處作微分,可以得到

(cx1-cx2)dx+(cy1-cy2)dy+(cz1-cz2)dz=
dΔvr+cx1dx1-cx2dx2+cy1dy1-cy2dy2+
cz1dz1-cz2dz2+(gx1-gx2)dvx+
(gy1-gy2)dvy+(gz1-gz2)dvz

(35)

式中:

將式(3)在目標點處進行微分運算,可得

2x(1-e2)dx+2y(1-e2)dy+2zdz=0

(36)

將式(34)～式(36)表示為矩陣形式

Tdx=dz+u·ds1-w·ds2+h·dv

(37)

式中:

dx=(dx,dy,dz)T

dz=(dΔvr,dΔr,0)T

ds1=(dx1,dy1,dz1)T

ds2=(dx2,dy2,dz2)T

dv=(dvx,dvy,dvz)T

Pcov=(Rz+uRs1uT+wRs2wT+hRvhT)·T-1(T-1)T

(38)

(39)

3 仿真實驗分析

由先驗信息可知,地球橢圓第一偏心率約為0.081 819 191 042 8,地球橢圓長軸半徑為6 378.136 49 km,短軸半徑為6 356.755 km,且括號內默認單位為km。兩型觀測站巡航高度均為10 km。在某時刻,其在大地直角坐標系的坐標分別為(-10,10,10),(10,-10,9),令x∈(-200,200),y∈(-100,100),在此范圍內遍歷目標點,目標在z軸方向上的坐標可由地球橢球方程確立。令空中觀測站的速度向量為(vx,vy,vz),其值分別為(150,150,150),令觀測站位置誤差(dx1,dy1,dz1),(dx2,dy2,dz2)均為(0.01,0.01,0.01)。觀測站速度的測量誤差(dvx,dvy,dvz)為(0.01,0.01,0.01),FDOA速度差的誤差dΔvr為100 m/s,TDOA距離差dΔr為0.1 km。基于以上數據,可得仿真結果如圖2所示。

圖2 dΔvr=100 m/s時的雙站時差頻差GDOP圖Fig.2 GDOP diagram of two-station time difference and frequency difference of dΔvr=100 m/s

由圖2所示,以雙站連接線上的中點為軸心,垂直于雙站連接線的線為中軸線,雙站連接線方向為徑向方向?？梢郧宄乜闯?目標越靠近中軸線或徑向方向,GDOP值增加得越快。

在圖2設定的數據的基礎上,將dΔvr增加為1 000 m/s,仿真結果如圖3所示。

圖3 dΔvr=1 000 m/s時的雙站時差頻差GDOP圖Fig.3 GDOP diagram of two-station time difference and frequency difference of dΔvr=1 000 m/s

如圖3所示,當dΔvr由100 m/s 增大到1 000 m/s時,雖然GDOP值整體變大,且仍滿足目標越靠近中軸線或徑向方向,GDOP值增加得越快的規律,徑向方向的GDOP得到了明顯改善。

在圖2設定的數據的基礎上,將dΔvr減少為10 m/s,仿真結果如圖4所示。與dΔvr為100 m/s相比,可知當FDOA速度差誤差小于100 m/s時,徑向方向的GDOP值同樣可以得到明顯改善。

圖4 dΔvr=10 m/s時的雙站時差頻差GDOP圖Fig.4 GDOP diagram of two-station time difference and frequency difference of dΔvr=10 m/s

在圖2設定的數據的基礎上,將dΔr減少為0.01 km,仿真結果如圖5所示,將dΔr增加到1 km時,仿真結果如圖6所示,可以得到TDOA距離差誤差變化與FDOA速度差誤差變化帶來的定位精度的變化規律相似,但定位精度在TDOA距離差誤差變化過程中基本保持一致,TDOA速度差誤差對雙站時差頻差定位精度的影響不如FDOA速度差誤差帶來的影響明顯。

圖5 dΔr=0.01 km時的雙站時差頻差GDOP圖Fig.5 GDOP diagram of two-station time difference and frequency difference of dΔr=0.01 km

圖6 dΔr=1 km時的雙站時差頻差GDOP圖Fig.6 GDOP diagram of two-station time difference and frequency difference of dΔr=1 km

在圖2設定的數據的基礎上,分別改變觀測站位置測量誤差(dx1,dy1,dz1)、(dx2,dy2,dz2),觀測站速度測量誤差(dvx,dvy,dvz),發現即使誤差以102數量級變化,定位精度也不會有較大改善。

綜上所述,在實際探測過程中,應著重改善FDOA速度差誤差,提高無源探測精度。在實際定位探測中,若隨著觀測站運動,則可能是目標處在中軸線附近或徑向方向附近,應適時改變觀測站的運動方向。

4 結束語

考慮地球曲率的雙站協同對海面或對地面目標無源定位方法研究,對現代海戰場無源定位系統的研究具有重要意義。本文運用雙站協同探測的TDOA信息、FDOA信息、地球橢球方程構建系統定位方程矩陣,給出關于目標位置的解析解,并詳細分析在目標探測過程中影響定位精度的誤差變量,研究并分析了各個誤差變量對目標定位幾何精度因子的影響。仿真結果表明FDOA速度差誤差對定位精度影響較大。最后,本文結合理論分析和仿真驗證結果給出了提高定位精度的建議。

雖然本文所提方法可較為有效地提高雙站對地(海)面目標探測精度,但在工程應用方面仍有提升的空間。具體問題為:一是本文假設噪聲服從高斯分布,但在實際場景中,噪聲多變且未知。二是本文所提方法是針對單個目標進行分析,因此如何對多個目標同時進行定位是下一步需要研究的方向。三是本文假設接收點的位置準確已知,但是在實際場景中,若受到電子干擾,接收點的位置并不一定可知。因此,如何在接收點位置不確定的條件下實現目標的有效定位,是進一步要研究的方向。