基于L1&TV正則化的低過采樣Staggered SAR成像方法

劉鳴謙, 徐仲秋, 陳天成, 張冰塵, 吳一戎

(1. 中國科學院空天信息創新研究院, 北京 100094; 2. 中國科學院大學電子電氣與通信工程學院, 北京 101408;3. 空間信息處理與應用系統技術重點實驗室, 北京 100190)

0 引 言

高分辨率寬測繪帶(high-resolution and wide-swath, HRWS)成像是星載合成孔徑雷達(synthetic aperture radar, SAR)發展的重要方向之一[1]。由于最小天線面積約束[2-3]、噪聲等效后向散射系數等參數的限制,傳統體制的SAR無法同時實現高分辨率與寬測繪帶。為了突破這一限制,各國科研人員進行了大量的研究,提出了許多種新體制,例如:方位向多通道SAR系統[4]、多發多收(multiple-input multiple-output, MIMO) SAR[5]和基于俯仰向的數字波束合成(digital beam forming, DBF)技術[6]等。

Staggered SAR是一種變脈沖重復頻率(pulse repetition frequency, PRF)的新體制SAR,通過周期性改變系統的PRF使得盲區位置不再沿距離向固定分布,而是分散在整個成像帶內的不同斜距處,從而得到有規律分布的非固定盲區[7-9],因此可以將距離向幅寬擴展為傳統體制的數倍,已經應用于德國Tandem-L系統[10-11]。

由于Staggered SAR特殊的變PRF體制,該模式存在兩個主要的問題:非均勻采樣和回波數據丟失,現有的信號處理方法都是針對解決這兩個問題提出來的。Villano等提出了一種基于最優線性無偏(best linear unbiased, BLU)估計的插值算法[12],首先利用BLU插值將非均勻的回波數據重采樣為均勻的回波數據,再利用傳統的SAR成像算法得到最終的圖像結果。但是,BLU插值的準確性會隨著過采樣率的降低而降低,因此該方法只適用于高過采樣Staggered SAR。近年來,低過采樣Staggered SAR的相關研究備受關注[13-14],可以顯著地降低下傳數據量的存儲。在文獻[15]中,提出了一種兩步式算法:缺失數據恢復-回波信號重建,用來處理低過采樣Staggered SAR數據。首先,利用基于頻譜估計的缺失數據迭代自適應算法(missing data iterative adaptive algorithm, MIAA)[16-17]估計完整的回波頻譜以及恢復出缺失的回波數據。然后,利用多通道重構算法進行回波信號的重建。但是,該方法對于分布式目標的重構精度不高。

稀疏信號處理理論已經被廣泛應用到SAR成像中[18-20]。隨著基于方位-距離解耦的近似觀測概念被提出[21],稀疏SAR成像方法可以有效地應用于大規模場景的重建,并且可以在欠采樣的條件下實現噪聲和模糊的抑制。稀疏SAR成像已經被應用到條帶SAR[22]、滑聚SAR[23]和滑動掃描SAR(terrain observation by progressive scans SAR, TOPSSAR)[24]等多種恒定PRF模式和變PRF模式中[25-26],但是很少有將稀疏信號處理應用到Staggered SAR系統的研究。

本文提出了一種基于L1與全變差(total variation, TV)的L1&TV正則化的低過采樣Staggered SAR成像方法。所提方法在構建稀疏SAR成像模型時考慮了盲區位置,構造了指示回波數據丟失的盲區索引矩陣,可以在不恢復丟失數據的情況下實現方位模糊抑制。由于變PRF體制引入了非均勻采樣,本文在構建成像算子和回波模擬算子的過程中引入了非均勻傅里葉變換,區別于傳統體制中的方位-距離解耦算子。所提方法在稀疏重構模型中引入了TV正則化項,從而提高了分布式目標的重構精度。仿真和高分-3號實際數據實驗驗證了所提方法的有效性。

1 Staggered SAR稀疏觀測模型

1.1 Staggered SAR稀疏成像模型

在條帶SAR成像中,假設觀測場景是矩形的。設X表示場景的后向散射系數矩陣,其中的第(p,q)項為觀測場景在該處的后向散射系數x(p,q)。則觀測場景內所有目標的滿采樣回波SAR信號可以表示為

(1)

式中:Cb為觀測場景;t和τ分別是方位向慢時間和距離向快時間;p和q分別是觀測場景內目標的方位向坐標索引和距離向坐標索引;ωa(·)是方位向天線加權;c是光速;v是平臺飛行速度;λ是波長;R(p,q,t)是發射天線到目標的斜距;s(τ)是發射的線性調頻信號。

令Nt表示離散網格的方位向點數,Nτ表示離散網格的距離向點數。通過對觀測場景進行離散化,式(1)的離散形式可以表示為

(2)

式中:yf(tna,τnr)表示原始回波信號yf(t,τ)在第na個脈沖處的第nr個距離門的離散采樣;x(pnt,qnτ)表示場景后向散射系數x(p,q)在第nt個方位向網格和第nτ個距離向網格處的離散值;φ[tna,τnr,pnt,qnτ]表示離散化觀測矩陣的值,反映了雷達和觀測場景之間的成像幾何關系。

令Yf∈CM×Nr表示滿采樣二維回波數據矩陣,其中M為在方位向上發射的脈沖個數,Nr為在距離向上的采樣樣本個數;令X∈CNt×Nτ表示二維后向散射系數矩陣,則式(2)可以重新寫為

yf=Φx+n

(3)

式中:yf=vec(Yf)為Y的離散化向量;x=vec(X)為X的離散化向量;n為加性白噪聲向量;Φ為觀測矩陣。需要注意的是,由于PRF不再是恒定的,觀測矩陣中的方位向采樣時間tm按照周期線性變化的脈沖重復間隔(pulse repetition interval, PRI)序列有規律地取值,可以表示為

(4)

式中:t1是發射第一個脈沖的方位向時刻;一個重復周期內變化的PRI個數;一個周期內的PRI序列可以表示k=0,1,…,K-1;floor(·)表示向下取整;mod(·)表示取余。

由于Staggered SAR特有的變PRF體制,回波數據存在丟失現象。構造Staggered SAR的稀疏成像模型需要生成指示數據丟失位置的盲區索引矩陣,其組成元素可以寫為

(5)

令Β∈CM×Nr表示二維盲區索引矩陣,則基于觀測矩陣的二維Staggered SAR稀疏成像模型可以表示為

Y=B⊙Yf=B⊙(HX)+N

(6)

式中:Y∈CM×Nr為欠采樣的二維變PRF體制回波數據矩陣;⊙為哈達瑪乘積算子;H為雷達系統的觀測矩陣;N為二維白噪聲矩陣。

1.2 Staggered SAR稀疏重構模型

近年來,TV正則化在圖像處理方面得到了相當廣泛的應用,它不僅能夠有效地抑制噪聲,而且可以很好地恢復分布式圖像的邊緣特性。因此,為了保持某一特定觀測場景內的分布式目標后向散射系數的連續性,可以通過引入TV范數來實現[27]。設SAR圖像f為大小為N×N的二維矩陣,對于某一個二維觀測場景,圖像f的離散TV范數定義為

(7)

(8)

在式(8)中,

(9)

(10)

式中:fi,j表示圖像f在第i行第j列處的像素值,i,j=1,2,…,N。

對于式(6)所表示的基于觀測矩陣的成像模型,將L1正則化項與TV正則化項組合為一個復合正則化項,則Staggered SAR稀疏重構模型可以表示為

(11)

式中:λ1為1-范數項的正則化參數;λ2為TV范數項的正則化參數。將TV正則化項引入到重構模型中,可以準確地重構場景中的分布式目標。

2 基于L1&TV正則化的稀疏重構方法

2.1 L1&TV正則化重構流程

對于一維復合正則化項的線性逆問題:

(12)

可以根據變量分離方法,將無約束條件的線性逆問題轉換為下面的等價約束優化問題

(13)

式中:z1和z2是兩個輔助變量。根據拉格朗日乘子法定理,式(13)表示的優化問題可以通過最小化下面的等式進行求解:

(14)

式中:ξ1和ξ2是拉格朗日乘子。

為了最小化式(14)中的Γ(x,z1,z2,ξ1,ξ2),分別對3個變量x,z1和z2使用交替最小化方法,具體的迭代過程如下:

(15)

(16)

(17)

對于式(15)表示的最小化問題,由于目標函數是一個二次函數,因此產生了一個有解的線性方程:

(18)

式中:I表示單位矩陣。

對于式(16)表示的優化問題,實際上就是L1正則化問題,其最優解的表達式為

(19)

對于式(17)表示的TV正則化問題,利用Chambolle算法[28],可以通過求解TV正則化的對偶問題得到式(17)的解。當進行參數轉換之后,式(17)等價于:

(20)

為便于表達,將對偶問題的TV范數項正則化參數λ2/2ξ2表示為λTV。

對于式(20)表示的優化問題,其最優解可以表示為

(21)

式中:dp=(dp1,dp2)是z2的對偶變量,可以通過梯度投影下降法求得

(22)

2.2 成像算子和回波模擬算子的構建

第2.1節建立了Staggered SAR的稀疏成像模型,但是該模型是基于觀測矩陣構造的,即通過原始數據矩陣矢量化實現解耦,這將導致需要巨大的計算和存儲成本,因此無法直接進行二維重構。文獻[21]提出了一種基于近似觀測的稀疏SAR成像方法,利用方位-距離解耦算子代替觀測矩陣-后向散射系數矢量的乘法,顯著降低了計算復雜度和內存。本節將構造Staggered SAR系統的成像算子和回波模擬算子。

CSA(chirp scaling algorithm)是一種廣泛使用的SAR成像算法[29],由于CSA在頻域中通過相位相乘完成距離徙動校正、方位壓縮等操作,避免了插值運算,因此其具有簡單、高效的特點,本文是基于CSA來構造成像算子的。

CSA包含3個主要的步驟:①chirp scaling操作;②距離壓縮和距離徙動校正操作;③方位壓縮和殘余相位補償操作。CSA的流程為

(23)

變PRF體制導致了方位向上的非均勻采樣,因此在方位向的處理過程中不能再使用常規的FFT。在式(23)中使用Ft表示的NUDFT矩陣將原始回波數據變換到距離-多普勒域,使得Staggered SAR系統的成像算子R(·)與恒定PRF模式SAR有所不同。Ft=[α1,α2,…,αM]由M個列向量組成,定義如下:

(24)

根據近似觀測思想,可以用R-1,即成像算子的逆過程,近似代替觀測矩陣H。從式(23)中可以看出,成像算子R(·)是可逆的。對場景真實的后向散射系數X進行成像算子的逆操作,可以得到滿采樣原始回波數據Yf的近似值。逆CSA的流程可以寫為

(25)

同成像算子一樣,在回波模擬算子的構建過程中,使用It所表示的NUIDFT矩陣將距離-多普勒域中的數據變換到原始數據所在的時域,使得Staggered SAR系統的回波模擬算子M(·)與傳統體制SAR系統不同。It=[β1,β2,…,βNa]由Na個列向量組成,定義如下:

(26)

將觀測矩陣H近似替換為回波模擬算子,可以將成像模型式(6)重新改寫成基于方位-距離解耦的Staggered SAR稀疏成像模型,表示為

Y≈B⊙M(X)+N

(27)

2.3 Staggered SAR稀疏重構方法

第2.1節中的迭代過程(式(13)～式(22))就是對式(12)進行重構求解的過程。正如第2.2節所介紹的,基于觀測矩陣的稀疏重構方法必須存儲和處理觀測矩陣,這將帶來巨大的內存和計算成本。利用方位-距離解耦算子近似代替觀測矩陣-后向散射系數矢量的乘法,基于方位-距離解耦的L1&TV正則化Staggered SAR稀疏重構模型可以表示為

(28)

本節將L1正則化、TV正則化與方位-距離解耦算子相結合,提出了一種基于L1&TV正則化的低過采樣Staggered SAR成像方法,該方法可以提高分布式目標的重建精度,保持一定區域內分布式目標后向散射系數的連續性。表1給出了所提方法的求解過程。在表1中,σ表示噪聲方差,X(k)是稀疏重構后的圖像,散度算子的表達式為

表1 基于L1&TV正則化的低過采樣Staggered SAR成像方法偽代碼Table 1 Low oversampling staggered SAR imaging method based on L1&TV regularization pseudocode

(29)

3 實驗結果與分析

3.1 仿真實驗

本節將利用點目標和面目標仿真實驗對基于L1&TV正則化的方法和BLU插值方法的重構性能進行了比較,并給出了定量分析。仿真實驗是在低過采樣的條件下進行的,仿真參數如表2所示。

表2 低過采樣Staggered SAR系統仿真參數Table 2 Low oversampling staggered SAR system parameters in the simulation

在仿真實驗中,采用的是快變PRI序列設計方案,即對于所設定的斜距范圍,方位向回波信號不會同時丟失兩個連續的采樣[9]。表2中的參數所對應PRI序列的盲區位置如圖1所示。在第1個仿真實驗中,沿方位向構造了一維場景,在場景中心處設置了一個點目標,其中點目標在距離向的位置為斜距954 km處,即保證點目標位于盲區內部。將信噪比設置為10 dB,仿真結果如圖2所示。

圖1 快變PRI序列盲區位置Fig.1 Blind range of fast PRI change sequence

圖2 不同算法的一維點目標仿真結果Fig.2 One-dimensional simulation results of point target using different algorithms

圖2(a)是變PRF情況下匹配濾波方法的成像結果,包含多對能量分布均勻的方位模糊和一對較強的方位模糊,它們分別由非均勻采樣和非理想方位向天線方向圖引起,用綠色矩形虛線和棕色圓形虛線表示。圖2(b)是BLU插值方法的成像結果,對比圖2(a)與圖2(b)可以發現,BLU插值方法在低過采樣條件下與匹配濾波的結果幾乎相同,無法抑制方位模糊。對于點目標,L1&TV正則化退化為了L1正則化。圖2(c)是L1正則化方法的成像結果,結果表明所提方法可以有效地抑制非均勻采樣和數據缺失引起的方位模糊,并且對非理想方位向天線方向圖引起的較強模糊也有一定的抑制效果。為了更好地評價不同算法的模糊抑制性能,分別選擇積分旁瓣比(integrated sidelobe ratio, ISLR)和方位模糊信號比(azimuth ambiguity-to-signal ratio, AASR)作為評價指標,其中ISLR只考慮非均勻采樣和數據缺失引起的模糊分量。表3列出了點目標位于盲區內部時(斜距為954 km) 3種不同算法的定量分析結果。

表3 不同算法的模糊抑制定量分析結果Table 3 Quantitative analysis results of ambiguity suppression of different algorithms dB

表3中的定量結果表明,基于L1正則化的方法可以在低過采樣Staggered SAR成像中有效地抑制由非均勻采樣和數據缺失引起的方位模糊,將ISLR降低約10 dB,并且對AASR的改善也有一定的作用。

在第2個仿真實驗中,構造了一個二維場景,在場景中心處設置了一個50×50像素的分布式目標,并保證該分布式目標沿距離向的像素點同處于一個盲區內。設計仿真實驗時在每一個像素單元中都設置一個等效相位中心,其幅度滿足獨立同分布的瑞利分布,相位滿足獨立同分布的均勻分布。此處分別使用匹配濾波、BLU插值和基于L1&TV正則化3種不同方法在低過采樣條件下對該目標進行了重建,仿真結果如圖3所示。

圖3 不同算法的二維面目標仿真結果Fig.3 Two-dimensional simulation results of distributed targets using different algorithms

圖3(a)是利用匹配濾波方法對場景進行重建的結果,可以看出,由于圖像的幅度是瑞利分布,相位是均勻分布,成像結果具有相干斑噪聲,同時存在由非均勻采樣所引起的方位模糊。圖3(b)是BLU插值方法的成像結果,可以看出其在低過采樣的情況下與匹配濾波方法結果幾乎相同,并不能抑制方位模糊,這與點目標仿真實驗得到的結論是相同的。圖3(c)是基于L1&TV正則化方法得到的重建結果,可以看出,由L1正則化項與TV正則化項組成的復合正則化項可以在一定區域內保持分布式目標后向散射系數的連續性,并且可以有效抑制非均勻采樣和數據缺失引起的方位模糊。

為了更好地評估所提方法的有效性,選擇歸一化均方根誤差(normalized root mean square error, NRMSE)作為面目標重構的定量評價指標:

(30)

為了進一步說明所提方法的有效性,在第3個仿真實驗中,將信噪比固定為10 dB,并且將面目標放置于盲區內部(斜距為954 km)和盲區邊界(斜距為994 km),分別畫出了利用BLU插值方法和L1&TV正則化方法得到的NRMSE值隨過采樣率變化的關系曲線圖。為了使得仿真實驗的結論更可靠,在仿真過程中使用了200次蒙特卡羅實驗,結果如圖4所示。

圖4 NRMSE隨過采樣率變化的關系曲線圖Fig.4 Relation curve of NRMSE with oversampling rate

從圖4中可以看出,無論面目標位于盲區內部還是盲區邊界,隨著方位向過采樣率的增加,BLU插值方法和L1&TV正則化方法的NRMSE值都在減小,說明重構精度得到了提高,過采樣率越大效果越好。當過采樣率大于1.5時,即高過采樣情況,BLU插值方法的NRMSE值顯著下降,甚至低于L1&TV正則化方法的結果。但是當過采樣率小于1.2時,即低過采樣情況,L1&TV正則化方法的重構精度要優于BLU插值方法,進一步驗證了所提方法能夠在低過采樣條件下提高分布式目標的重構精度。另外,圖4同時也說明了數據丟失率對于分布式目標重構精度的影響,即目標位于盲區內部還是邊界,并且在低過采樣的情況下體現得更為明顯。

3.2 實際數據處理

本節將利用實際數據對所提方法的有效性進行驗證,其中實際星載SAR數據采用的是高分-3號單通道條帶模式數據,主要系統參數如表4所示。由于原始回波數據是在恒定PRF的條件下獲取到的,因此需要從均勻采樣的原始數據中生成Staggered SAR回波數據。為了獲得低過采樣的變PRF模式回波數據,按照表2中的參數對均勻采樣的原始數據進行重采樣操作和盲區內數據丟失處理操作。為了探究所提方法對于分布式目標重構性能的提升效果,選擇了包含海陸交界目標的實際場景作為實驗研究對象,成像結果如圖5所示。

圖5 不同算法的實際數據成像結果Fig.5 Real data imaging results of different algorithms

表4 高分-3號單通道條帶模式主要系統參數Table 4 Major system parameters of Gaofen-3 single channel strip mode

圖5是海陸交界場景的不同算法成像結果。圖5(a)是對變PRF模式的缺失回波數據直接進行匹配濾波成像的結果,可以看出圖像中存在由于非均勻采樣和數據缺失引起的方位模糊。圖5(b)是BLU插值方法得到的成像結果,可以看出圖像中的方位模糊依然存在,證明了其在低過采樣條件下的局限性。圖5(c)是利用所提出的基于方位-距離解耦算子的L1&TV正則化方法得到的成像結果,可以看出圖像中的方位模糊和虛假目標得到了有效抑制,同時保持了分布式目標后向散射系數的連續性。

圖6對比了BLU插值方法和所提的L1&TV正則化方法的成像結果,給出了圖5 (b)和圖5(c)中藍色箭頭所指的強點目標沿方位向的一維剖面圖。從圖6中的對比結果可以看出,BLU插值方法無法有效地抑制方位模糊,因此不適用于低過采樣Staggered SAR系統;相較于BLU插值方法,基于方位-距離解耦算子的L1&TV正則化方法能夠顯著提高非均勻采樣和數據缺失引起的方位模糊抑制效果。

為了驗證L1&TV正則化方法對于提升分布式目標重構精度的有效性,選擇3塊不同的區域作為研究對象,用紅色矩形框表示,并命名為區域1,區域2和區域3,如圖5所示。接下來對重構結果連續性的定量分析。

本節選擇等效視數(equivalent number of looks, ENL)[30]作為衡量SAR圖像相干斑抑制效果的指標。ENL是一種衡量均勻區域的連續性的指標,ENL的值越大,圖像的平滑效果越好。分別計算了區域1,區域2和區域3的ENL值,結果如表5所示。由于本節用到的實際數據沒有進行多視處理,因此CSA重構結果的ENL值近似等于1。而L1&TV正則化方法可以有效地提高重構結果的ENL值。因此,本文提出的方法可以保持分布式目標后向散射系數的連續性。

表5 不同算法重構結果的ENL值Table 5 ENL values of reconstruction results of different algorithms

4 結 論

本文提出了一種基于L1&TV正則化的低過采樣Staggered SAR成像方法。在建立稀疏SAR成像模型時構造了指示回波數據丟失的盲區索引矩陣,所提方法可以在不恢復丟失數據的情況下實現方位模糊抑制。利用Staggered SAR系統成像算子和回波模擬算子實現方位-距離解耦,并且在稀疏重構模型中引入TV正則化項,所提方法可以提高分布式目標的重構精度。