非凸松弛原子范數空時動目標參數估計算法

來 燃, 孫 剛, 張 威, 章 濤

(中國民航大學天津市智能信號與圖像處理重點實驗室, 天津 300300)

0 引 言

運動目標檢測和參數估計是機載雷達的重要任務[1]。空時自適應處理(space-time adaptive processing, STAP)可以有效降低多普勒譜擴展的地雜波帶來的不利影響,對于提高機載雷達的檢測性能具有重要意義[2-3]。在運動目標參數估計方面,傳統方法主要包括最大似然方法和自適應單脈沖方法。最大似然方法需要對動目標參數進行二維搜索,其估計精度與搜索步長有關,運算量較大且估計性能有限[4]。自適應單脈沖方法利用自適應波束形成技術,消除了雜波和噪聲對參數估計的影響,然而當目標位于主瓣雜波區域時,自適應單脈沖比將嚴重失真,造成參數估計誤差增大[5]。雖然對單脈沖比施加約束可以在一定范圍內改善單脈沖比曲線,但額外的約束條件會消耗系統自由度(degrees of freedom, DOF),導致參數估計性能下降[6]。

隨著機載雷達信號處理方向的技術進步,稀疏恢復技術逐漸成為一項熱門方法[7-9]。基于該項技術的動目標參數估計利用目標回波的功率譜在空時平面上的稀疏特性,通過合適的稀疏恢復算法,實現對目標信號的精確重構,進而完成運動目標參數估計。文獻[4]使用基追蹤(basis pursuit, BP)算法對無雜波回波數據進行稀疏恢復,實現了運動目標方位角和速度估計。Feng等人[10]利用回波信號的數據結構和稀疏特性,提出改進正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)動目標參數估計方法,該方法相較于常規OMP方法,不僅具有相當的參數估計精度,還極大地降低了計算復雜度。

目前,基于稀疏恢復的動目標參數估計方法將目標參數空間對應的空時平面離散地劃分為有限個網格點來構建稀疏恢復字典,當存在字典失配問題時,參數稀疏恢復性能下降[11-13]。為了降低字典失配對參數稀疏恢復性能的影響,文獻[11-13]提出基于網格失配的稀疏貝葉斯學習(off-grid sparse Bayesian inference,OGSBI)方法。然而,上述針對字典失配問題的參數估計方法所使用的誤差補償模型是基于一階泰勒級數近似得到的,當字典網格間隔較大時,模型近似誤差增大。為徹底解決字典失配問題,Candes等人[14]提出將重構稀疏信號這一過程在連續參數空間中實現,利用全變分范數進行信號的恢復處理。這一方法可以有效規避字典失配問題對估計結果帶來的不利影響,但該方法需要求解信號的0范數。文獻[15-16]將0范數凸松弛為1范數,提出基于半正定規劃(semidefinite programming,SDP)求解模型的原子范數最小化(atomic norm minimization,ANM)實現方法,該方法在單目標場景下具有優異的動目標參數估計性能。但由于凸松弛影響,ANM方法在進行兩個或多個空間緊鄰動目標參數估計時會受到分辨率的限制,只有在目標參數空間充分分離到4/DOF時才能成功恢復,無法進行準確的空間緊鄰動目標參數估計。Yang等人[17-18]采用非凸稀疏度量準則,將0范數非凸松弛為p(0

1 信號模型

機載雷達天線陣采用均勻線性陣列(uniform linear array, ULA),天線陣結構如圖1所示。該ULA由等間距為d=λ/2的N個陣元組成,λ為雷達發射波長。載機平臺以高度H沿y軸飛行,且飛行速度為vp,θ、φ分別為目標P的俯仰角和方位角。雷達在一個相干處理間隔內發射M個脈沖,脈沖重復頻率為fr。設待檢測距離單元有K個目標,其對應的空時快拍數據xpri∈CMN×1可以寫成

圖1 機載雷達ULAFig.1 Airborne radar ULA

xpri=xt+xc+xn

(1)

式中:xt為目標分量;xc為雜波分量;xn為噪聲分量。xt可表示為

(2)

式中:γt,k表示第k個目標的復幅度;a(ft)∈CMN×1表示空時導向矢量;?表示Kronecker積,空域導向矢量as(fs,t)∈CN×1定義為

as(fs,t)=[1,ej2πfs,t,…,ej2π(N-1)fs,t]T

(3)

式中:fs,t為目標的歸一化空間頻率。

時域導向矢量ad(fd,t)∈CM×1定義為

ad(fd,t)=[1,ej2πfd,t,…,ej2π(M-1)fd,t]T

(4)

式中:fd,t為目標的歸一化多普勒頻率。

當目標相對于雷達做勻速運動時,其歸一化空間頻率為

(5)

歸一化多普勒頻率為

(6)

式中:vt為目標相對于雷達的徑向速度;φt和θt分別為目標的方位角和俯仰角。

2 基于固定離散字典的動目標參數估計及字典失配問題

2.1 基于固定離散字典的動目標參數估計

基于固定離散字典的動目標參數估計方法將目標的空時二維參數——方位角和速度空間均勻離散地劃分為Ns×Nd個網格點,對應的方位角參數空間和速度參數空間分別為{φ1,φ2,…,φNs}和{v1,v2,…,vNd},則離散化的空時導向矢量字典可以表示為

D=[a1,a2,…,aNsNd]=Dd(fd)?Ds(fs)

(7)

式中:Ds(fs)和Dd(fd)分別為空域導向矢量字典和時域導向矢量字典,即

(8)

(9)

式(1)中,空時快拍數據經過雜波抑制[19]后包含待估參數的目標觀測x的稀疏恢復模型可以表示為

x=Dξ+n

(10)

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξNsNd]T為稀疏系數向量,其每一個非零元素對應一個目標參數;n為噪聲分量。式(10)中ξ可以通過求解下式中的優化問題來估計:

(11)

式中:‖·‖p表示p范數,p=0或2;ε表示誤差容限。

通過式(11)可以獲得稀疏系數向量ξ,目標的空時二維參數可以進而由ξ中非零元素位置對應的空時導向矢量獲得。由于式(11)是非確定性多項式難題(non-deterministic polynomial-hard, NP-hard),可以通過其松弛方法求解,如文獻[4]使用BP方法進行目標參數稀疏恢復。

2.2 字典失配問題

基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數估計方法中的字典由均勻離散化的目標參數空間對應的空時導向矢量構成,即將空時二維平面劃分為若干個離散化網格點,如圖2所示。當真實目標沒有落在劃分好的離散化網格點上,即存在字典失配問題時,會導致對該目標的估計結果存在較大誤差。網格化方法構造的字典不可避免地存在失配問題,即目標以較小概率位于網格點上。雖然縮小網格劃分間隔可增大目標落入網格點的概率,但是隨之會使得字典間相鄰原子的相關性增強,過強的相關性會導致字典維數過大,運算量大大增加,同時也會導致稀疏恢復性能下降[17]。

圖2 字典失配示意圖Fig.2 Schematic plot of dictionary mismatch

3 非凸松弛原子范數空時動目標參數估計算法

針對基于固定離散字典稀疏恢復的動目標參數估計方法存在的字典失配問題,本文提出一種非凸松弛原子范數空時動目標參數估計算法。

目標信號子空間可以由其空時導向矢量張成,目標觀測x的協方差矩陣R可以分解如下形式:

(12)

連續目標參數空間對應的空時導向矢量的集合可以表示為原子集合A,即

A{a(f)|a(f)∈CMN×1,f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=
{ad(fd)?as(fs),fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(13)

式中:f為目標的歸一化空間頻率和歸一化普勒頻率組成的二維頻率,即f=(fs,fd)。

則目標信號xt的加權原子范數可以表示為

(14)

式中:Aω為加權原子集合,即

Aω{aω(f)|aω(f)=ω(f)a(f)∈CMN×1,
f∈[-0.5,0.5)×[-0.5,0.5)}=
{ω(f)ad(fd)?as(fs),
fd∈[-0.5,0.5),fs∈[-0.5,0.5)}

(15)

式中:ω(f)表示原子a(f)的權函數,即ω(f)的值越大,其對應的原子a(f)被選擇的優先級就越高。式(14)中的加權原子范數最小化問題可以轉化為如下的半正定規劃問題,即

(16)

式中:W為加權矩陣;S(T)為M×M的塊Toeplitz矩陣,即

(17)

式中:Ti(1-M≤i≤M-1)為N×N的Toeplitz矩陣,即

(18)

定義目標信號xt的稀疏測度函數為

(19)

式中:ε為稀疏正則化參數,當ε趨于正無窮時,式(19)表示的稀疏測度等價于原子范數,當ε趨于零時,該稀疏測度等價于原子0范數[17]。根據目標回波的空時功率譜在角度-多普勒域的稀疏特性以及連續參數稀疏恢復和低秩矩陣恢復之間的關系,目標信號xt可以通過上式最小化估計獲得,即

(20)

由于ln|S(T)+εIMN|是一個嚴格凹函數,不能保證得到全局最優解,因此式(20)可以使用優化最小方法通過多步迭代來逐步逼近局部最優解。設S(Tj)表示第j次迭代的目標信號子空間估計值,則第j+1次迭代的最優化問題可以表示為

(21)

令W=(1/MN)(S(Tj)+εIMN)-1,ω(f)=[a(f)H·Wa(f)]-1/2,則式(21)等價于求解式(16)的最優解。

目標信號xt及其子空間S(T)可以通過對式(20)的最優化問題進行迭代求解獲得。從以上的操作中可以看出,當第j次迭代中的權值越大,其對應的原子在j+1次迭代中被選擇的可能性就會越高,而權值越小的原子在下次迭代中會被逐步削弱,最終收斂到特定的稀疏解,因而增強了恢復信號的稀疏度和分辨力。

本文算法的具體操作步驟如下。

步驟 2利用子空間投影技術[19]對待檢測單元進行雜波抑制,抑制后的數據記作x。

4 仿真實驗

仿真參數設置為如下。機載雷達采用陣元數為N=16的正側視ULA,脈沖重復頻率fr=2 434.8 Hz,相干脈沖數M=16,雷達發射波長為λ=0.23 m,ULA陣元間距為半個波長,載機平臺高度H=9 000 m,載機速度vp=140 m/s,輸入信噪比SNR=0 dB,雜噪比CNR=40 dB,使用64個參考單元數據估計雜波協方差矩陣,兩個勻速運動目標處于待檢測單元內,方位角分別為φt,1=84.05°和φt,2=80.05°,目標相對于雷達的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=93.99 m/s。仿真實驗對比了本文方法、ANM方法及文獻[13]中的OGSBI方法等3種網絡失配方法和文獻[4]中的BP方法、文獻[10]中的OMP方法等兩種固定離散字典方法,OGSBI方法中最大迭代次數為2 000,超參數誤差最大值設置為1×10-3,BP方法和OMP方法中網格點數選取Ns=Nd=16,此時ANM方法的分辨率為4/DOF=0.016,參數估計均方根誤差蒙特卡羅實驗次數為500次。

關于ANM方法分辨率理論邊界的分析如下:本文需進行空時動目標歸一化多普勒頻率與空間頻率的二維估計,在理想無噪聲情況下,通過ANM方法對頻率進行精確求解要求頻率間隔至少為4/DOF[20]。因此,動目標二維頻率的歐氏距離需滿足

(22)

式中:DOF=M×N;fs,t,1和fs,t,2分別為目標1和目標2的空間頻率;fd,t,1和fd,t,2分別為目標1和目標2的歸一化多普勒頻率。fs,t,i和fd,t,i分別滿足:

(23)

(24)

實驗 1比較不同方法對空間緊鄰目標的估計性能。根據ANM方法受到分辨率限制與否將目標的參數設置為以下兩種情況:① 當ANM方法未受到分辨率限制時,設置兩個目標的方位角分別為φt,1=84.05°和φt,2=80.05°,目標相對于雷達的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=93.99 m/s;② 當ANM方法受到分辨率限制時,設置兩個目標的方位角分別為φt,1=81.55°和φt,2=80.05°,目標相對于雷達的徑向速度分別為vt,1=98.99 m/s和vt,2=96.99 m/s。

圖3對比了本文方法、ANM方法、OGSBI方法、BP方法以及OMP方法在信噪比SNR=10 dB下的動目標參數估計結果。其中,圖3(a)為ANM方法未受到分辨率限制時的參數估計結果,圖3(b)為ANM方法受到分辨率限制時的參數估計結果。由圖3(a)可看出,BP方法和OMP方法基于離散字典實現,其估計結果只能在劃分好的網格點上,當目標參數真值不在字典網格點上時,存在字典失配問題,其參數估計結果誤差較大,OGSBI方法補償了字典失配誤差,其參數估計精度高于BP方法和OMP方法,然而模型近似引入的誤差使得其參數估計精度較差。ANM方法可以避免字典失配問題,在未受到分辨率限制時能夠正確分辨出兩個目標,且估計精度高于OGSBI方法,但本文方法的估計精度更高。如圖3(b)所示,當兩個目標的參數空間相鄰較近時,BP方法與OMP方法由于字典網格的影響,均只能估計出一個目標,且具有較大的估計誤差;ANM方法由于受到其分辨率限制,同樣不能分辨出兩個目標;OGSBI方法雖然能夠對這兩個空間緊鄰的動目標進行辨識,但其參數估計誤差較大;而本文方法由于對原子范數進行了非凸松弛,突破了ANM的分辨率限制,能夠準確分辨兩個參數空間緊鄰目標,且參數估計精度高于OGSBI方法。

圖3 動目標參數估計結果比較(SNR=10 dB)Fig.3 Comparison of parameter estimation results for moving target (SNR=10 dB)

當ANM方法受到分辨率限制時,本文方法和ANM方法的空時譜估計結果如圖4所示。其中,圖4(a)為ANM方法的空時譜估計結果,圖4(b)為本文方法的空時譜估計結果。從圖4可以看出,ANM方法在受到分辨率限制情況下的空時譜估計結果僅有一個譜峰,而本文方法能夠準確估計兩個參數空間緊鄰動目標的空時譜譜峰,這和目標參數估計結果具有一致性。

圖4 動目標空時譜估計結果比較(SNR=10 dB)Fig.4 Comparison of space-time spectrum estimation results for moving targets (SNR=10 dB)

實驗 2比較不同方法在不同信噪比條件下的參數估計性能。仿真參數適用實驗1情況1中參數,即兩個目標緊鄰情況。圖5和圖6為5種方法的估計性能隨SNR變化對比圖。其中,圖5為目標方位角估計性能隨SNR變化對比圖,圖6為目標速度估計性能隨SNR變化對比圖。從仿真結果來看,圖5和圖6進一步體現了本文方法相比ANM方法、OGSBI方法、BP方法和OMP方法在估計精度上的優勢。BP方法和OMP方法參數估計性能并沒有隨著信噪比的增大而提高,這是由于使用固定離散字典,字典網格間距限制了這兩種方法的參數估計精度。OGSBI方法補償了字典失配帶來的估計誤差,其參數估計性能優于BP方法和OMP方法,但模型近似引入的誤差限制了其估計性能的提升。而ANM方法雖然沒有固定離散字典網格間距帶來的估計精度限制,但由于凸松弛引入的分辨率限制4/DOF,使得其估計性能未隨信噪比提高而明顯提升。本文方法由于采用非凸松弛原子范數,沒有分辨率限制,方位角和速度估計性能隨信噪比提升不斷提高,且更加接近對應的克拉美-羅界(Cramer-Rao bound,CRB)理論曲線,參數估計性能明顯優于其他4種方法。

圖5 動目標方位角估計性能比較Fig.5 Comparison of the azimuth estimation performance for moving target

圖6 動目標速度估計性能比較Fig.6 Comparison of the velocity estimation performance for moving target

實驗 3比較不同方法在不同雜噪比(雜噪比越高,雜波干擾越強,目標淹沒在雜波中,參數估計越困難)條件下的參數估計性能。仿真參數適用實驗1情況1中參數,設置信噪比SNR=0 dB,雜噪比CNR取值范圍為10 dB至30 dB。圖7(a)和圖7(b)分別為不同雜噪比條件下這幾種方法對于目標1和目標2的參數估計誤差曲線。從圖7中可以看出,隨著雜噪比的增加,BP方法、OMP方法、OGSBI方法、ANM方法與本文方法的估計性能均有所下降,但本文方法的估計性能仍然優于其他方法,特別是在低雜噪比為10 dB至20 dB時優勢更加明顯。

圖7 不同雜噪比條件下的動目標參數估計性能比較Fig.7 Comparison of moving target parameter estimation performance under different clutter-to-noise ratios

5 結 論

本文針對參數稀疏恢復STAP中動目標參數估計存在字典失配的問題,提出一種非凸松弛原子范數空時動目標參數估計算法。該方法利用目標回波在角度-多普勒域的稀疏特性,根據連續壓縮感知和低秩矩陣恢復理論實現動目標參數的高精度、超分辨率估計,在不受到分辨率限制的同時避免了固定字典網格的稀疏恢復參數估計方法中的字典失配問題,有效提高了動目標參數的估計性能。