基于反步法的空間目標復合指向控制方法研究

張 宏, 吳云華,*, 鐘勝鈞, 郭海波

(1. 南京航空航天大學航天學院, 江蘇 南京 211106; 2. 上海宇航系統工程研究所, 上海 201108)

0 引 言

隨著空間活動日益頻繁,在軌航天器數量迅速增加。根據美國航天局2021年報告,空間約有23 000塊軌道碎片,碎片直徑達30 cm以上,這給在軌航天器帶來了致命的威脅。因此對空間此類目標的監測需求越來越迫切,并逐漸成為熱點。天基目標觀測相對于地基觀測具有分辨率高、靈活性強等優點[1],被廣泛應用于空間目標探測[2],其對航天器的姿態指向精度要求越來越高。天基動態目標觀測一般分為姿態敏捷機動和動態跟蹤階段,在觀測航天器上安裝寬視場搜索相機和窄視場高分辨凝視相機。其中搜索相機用于在遠距離及時發現目標航天器,調整自身姿態,為動態跟蹤觀測階段做準備;凝視相機能夠在動態跟蹤階段輸出高分辨率圖像,持續觀測目標航天器,在該模式下對姿態跟蹤精度有極高的要求,以滿足成像要求,其姿態指向精度0.005°。但受執行機構能力、太空環境等干擾因素[3]限制,僅依靠衛星控制已無法滿足高精度跟蹤控制的需求,因此本文提出采用由衛星平臺和二維轉臺組成的復合平臺實現高精度跟蹤控制。

針對空間動目標姿態跟蹤控制問題,國內外學者開展了一系列研究。Yadegari等設計了模糊終端滑模控制器,解決了模型參數不確定及干擾情況下的姿態跟蹤控制問題[4]。Xie等針對系統參數未知的航天器姿態動態跟蹤問題,研究了帶有事件觸發機制的自適應神經網絡估計模型[5]。Wu等采用控制力矩陀螺和反作用飛輪組成的混合執行機構解決了敏捷機動下的姿態跟蹤問題,并設計反步法控制器實現高精度姿態跟蹤[6]。Hu等針對模型不確定性及執行器故障問題,設計一種新的自適應增益有限時間觀測器實現對干擾的增益跟蹤[7]。Ye等研究了具有外部擾動的航天器姿態跟蹤問題,提出一種基于非奇異時間滑模控制[8]。Zheng等針對轉動慣量不確定的情況下,設計滑模和強化學習控制器,采用混合執行機構輸出無差控制力矩,保證系統在短時間內收斂[9]。Fan等考慮了外部擾動、時變輸入延遲、執行機構故障及飽和等影響,設計了魯棒控制器以限制等效干擾的影響[10]。柯曉曼等針對衛星轉動慣量大且難以確定問題提出一種基于改進預測迭代學習控制的姿態敏捷控制方法[11]。此外,文獻[12-15]考慮飽和與擾動情況下的航天器姿態跟蹤控制問題,設計了自適應反步法控制器確保有限時間收斂。

上述姿態跟蹤控制方法僅考慮衛星姿態控制,其跟蹤精度難以進一步提高。文獻[16-22]提出了采用復合控制方式提高姿態跟蹤精度。其中,文獻[16-17]從力學角度設計高精度二維轉臺,證明可以實現快速響應和精準跟蹤。鄢南興等利用頻率響應法設計了復合指向控制器,提高了衛星跟蹤精度[18]。文獻[19]利用自適應滑模控制和狀態觀測器解決了二維轉臺響應速度過快和超調現象。Gao等針對二維轉臺傳動系統提出了比例積分和超扭轉滑模的復合無模型控制策略,其靜態、動態特性及魯棒性均有所提升[20]。Jing等設計干擾觀測器應用于復合軸控制,以提高控制系統的精度[21]。文獻[22]將針對二維轉臺設計了H∝的速度控制器,該方法動態響應速度快,對外界干擾和參數變化具有較強的魯棒性。而模型預測控制具有響應速度快、多目標優化能力以及實現方式靈活等優點,并具有在線反饋校正的特性,能夠獲得較優的控制性能。雖然上述研究取得了一定的成果但沒有充分考慮衛星和二維轉臺之間的耦合問題,二維轉臺與衛星平臺的耦合運動是影響姿態復合指向控制的重要因素。文獻[23-24]針對耦合問題研究了二維轉臺不同運動參量對終端指向偏差的影響。文獻[25-26]在耦合模型的基礎上提出了復合自適應控制系統,保證在橢圓軌道上跟蹤航天器的姿態軌跡。此外,在文獻[27-28]中介紹了二維轉臺的方位軸和俯仰軸也存在一定的耦合。目前大多數文獻在考慮二維轉臺的運動時,假設轉臺的方位軸和俯仰軸是相互獨立的,但在實際運動中存在一定的耦合影響。如何抵消復合平臺的耦合對姿態控制的影響,是一個深入研究的問題。

本文針對空間高動態目標的姿態跟蹤控制問題分析研究,提出復合平臺控制策略,設計復合控制器實現高精度姿態跟蹤。其中衛星本體采用反步法姿態控制器實現系統的粗跟蹤,在精跟蹤階段二維轉臺采用基于負載觀測器的模型預測控制方法進一步提高姿態跟蹤精度,以滿足空間高動態目標跟蹤任務的需求。

1 系統數學模型

采用的復合平臺示意圖如圖1所示。

圖1 復合平臺示意圖Fig.1 Schematic diagram of composite platform

在衛星平臺上安裝二維轉臺,轉臺上搭載相機等載荷。二維轉臺具有方位和俯仰兩個方向自由度。衛星平臺由反作用飛輪和控制力矩陀螺組成的混合執行機構[6]實現敏捷姿態機動控制。復合系統首先通過衛星平臺實現姿態粗跟蹤,當姿態誤差滿足切換要求時,二維轉臺在小范圍進行快速高精度指向調整,從而實現空間動目標的高精度跟蹤控制。

1.1 衛星平臺動力學模型

首先定義用到的正交坐標系如下:

地心慣性坐標系OXiYiZi,坐標原點為地球質心,OXi軸指向春分點,OZi沿地球自轉軸指向北極,OYi滿足右手定則。

軌道坐標系OXoYoZo,坐標原點為衛星質心,OXo指向衛星運動方向,OZo指向地球,OYo由右手定則確定。

衛星本體坐標系OXbYbZb,原點為衛星質心,OXb軸沿衛星縱軸指向運動方向,OZb在縱對稱面內,OYb由右手定則確定。

將衛星視為剛體,由姿態四元數描述的姿態運動學和動力學方程為

(1)

(2)

式中:Q=[qTq4]T為當前姿態四元數;q=[q1q2q3]T為四元數矢部;q4為四元數標部;Js為衛星轉動慣量;ω為衛星本體坐標系相對于慣性坐標系的姿態角速度;u為控制力矩;Ted為干擾力矩。E(Q)為

(3)

反對稱矩陣s×為

(4)

1.2 二維轉臺動力學模型

定義二維轉臺結構如圖2所示。

圖2 轉臺結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of the turntable structure

初始坐標系OioXioYioZio與衛星本體坐標系平行。OioYio為俯仰軸,OioZio為方位軸。OioXio為相機視軸,二維轉臺相機視軸垂直于俯仰軸和方位軸所在的平面。初始情況下轉臺的方位角和俯仰角均為零。當二維轉臺的方位軸和俯仰軸同時運動時存在一定耦合影響。

設方位軸轉動角度θh,俯仰軸轉動角度θv,由于耦合的作用,方位軸的力矩應包括兩部分:方位軸的力矩和俯仰軸力矩在水平面內的投影,俯仰軸的力矩應該包含俯仰軸的力矩和方位軸的力矩在俯仰面內的投影。

二維轉臺動力學耦合方程為

(5)

B=

式中:Jpx,Jpy,Jpz是二維轉臺的3個主軸慣性常量;Th為方位軸驅動力矩;Tv為俯仰軸驅動力矩。由式(5)的系數矩陣A可知,轉臺的俯仰和方位兩軸之間存在耦合影響。

二維轉臺的伺服電機應具有足夠的驅動能力和旋轉精度才能產生高精度的力矩。方位軸和俯仰軸的結構和控制原理相同,以其中一軸為例進行說明。以永磁同步電機為驅動電機,其模型在d-q旋轉坐標系下表示為

(6)

(7)

(8)

1.3 復合平臺耦合動力學模型

帶動量裝置的復合平臺姿態動力學為

(9)

式中:J0為復合平臺的轉動慣量;h為系統的總角動量;則系統的角動量可表示為

(10)

(11)

式(11)求導得

(12)

二維轉臺運動相對于衛星本體產生的耦合干擾力矩如式(12)所示,二維轉臺對衛星本體產生的力矩包含角度、角速度和角加速度等信息,與轉臺的姿態信息有關。后面采用擴張狀態觀測器估計耦合干擾力矩。

2 控制器設計

為了提高跟蹤精度和消除耦合運動的影響,設計的復合平臺的控制框圖如圖3所示。衛星平臺和二維轉臺之間的復合通過切換函數實現,控制器包括衛星平臺控制器和轉臺控制器兩部分,二維轉臺設計負載觀測器估計轉臺負載力矩并補償到衛星本體控制器中,以提高姿態跟蹤精度。

圖3 復合平臺系統控制原理圖Fig.3 System control principle diagram of composite platform

2.1 衛星平臺姿態跟蹤控制器設計

根據文獻[29]的方法設計衛星平臺姿態控制器,保證平臺跟蹤精度滿足一定要求。設狀態變量x1=qe,x2=ωe,其中qe=[qe1,qe2,qe3]T,則狀態方程為

(13)

系統的平衡點為(x1,x2)=(0,0)。根據反步法原理設計規則,虛擬輸入f(x1)滿足關系:

(14)

為了保證x2=f(x1),引入狀態變量x3:

x3=x2-f(x1)

(15)

則系統的狀態方程擴展為

(16)

設第一個Lyapunov函數為

(17)

保證V1>0并對V1求導,將式(15)和式(16)代入,可得

(18)

為了使系統在平衡點穩定,f(x1)應滿足:當x1=0,f(x1)=0且x3=0。因此,選擇f(x1)為

f(x1)=-K1arctan(K2Px1)

(19)

設第二個Lyapunov函數為

(20)

(21)

(22)

結合式(2),得到控制力矩u:

(23)

定理 1衛星平臺在控制器式(23)的作用下,系統姿態誤差和姿態角速度誤差收斂至零,衛星本體閉環系統漸近穩定。

證明根據式(17)和式(20)設定的Lyapunov函數為

(24)

在系統非平衡點處,有V1>0,V2>0成立,對式(24)求導可得

(25)

(26)

則第二個Lyapunov函數的導數為

(27)

因此,根據Lyapunov穩定性理論可知衛星本體閉環系統是漸近穩定的。

證畢

2.2 轉臺跟蹤控制器設計

2.2.1 電流環模型預測控制

經過反步法控制器得到的跟蹤誤差,作為二維轉臺的目標姿態,補償偏航和俯仰兩個方向姿態誤差。采用零d軸矢量控制策略,利用式(6)離散化求得到電流環預測模型:

(28)

根據模型預測控制的思想,保證上一時刻和當前時刻的電流采樣值一致,即

(29)

式中:id_ref,iq_ref是上一時刻電流給定值。

設計目標優化函數如下:

L=(id_ref-id,i)2+(iq_ref-iq,i)2

(30)

將得到的電流預測值代入式(30)中,可以得到使優化函數最小的最優電壓矢量,選擇該組電壓矢量實現精確快速跟蹤。

2.2.2 速度環模型預測控制

速度環控制目的是獲得一個定子參考電流使其在最短時間內跟蹤速度軌跡。基于動力學方程設計控制器,式(7)進一步簡化為

(31)

將式(31)求導得

(32)

對式(32)進行泰勒離散化得

(33)

式中:ts是速度環采樣時間,對式(32)中定子電流的導數用前向歐拉離散化逼近得

(34)

(35)

在式(35)獲得的結果作為參考電流的輸入到電流控制回路進行控制轉臺的轉動。

2.2.3 穩定性分析

轉臺跟蹤控制器主要分為電流環和速度環模型預測,下面給出直接模型預測控制的穩定性定理。

由逆變器的組成電路可知,共有8種開關信號,但由于有首尾兩個矢量位置重合,計算結果相同,因此只需要計算7次,得到7組電流預測值,代入目標優化函數中。模型預測控制的穩定性分析是建立在無限時域上的,因此在分析過程中預測控制增加終端約束(穩定狀態為零)。只需要證明目標優化函數的每次得到的解是單調遞減的,即可說明控制系統穩定。

定理 2二維轉臺在電流環、速度環的控制器式(36)的作用下,系統是閉環穩定的。

(36)

證畢

速度環的模型預測控制是基于動力學方程進行泰勒離散化而得到的。基于負載觀測器設計的模型預測控制,在狀態觀測器的配置過程中滿足極點都具有負實部,即觀測器是穩定的,因此速度環的模型預測控制也是穩定的。

2.3 復合指向控制器設計

2.3.1 復合指向跟蹤控制律設計

根據復合平臺的耦合運動模型,基于反步法的姿態復合控制器為

(37)

(38)

式中:a1>0,a2>0,a3>0,b2>0,b3>0,通過選擇合適的觀測器參數,可以精確估計干擾力矩d的大小。

轉臺介入控制的姿態標志Fcp可表示為

Fcp=sign(max(|dE|) <0.05°)

(39)

(40)

式中:dE(2)和dE(3)分別表示衛星俯仰軸和偏航軸的姿態跟蹤誤差。

2.3.2 穩定性分析

定理 3復合平臺系統在衛星本體控制器、轉臺跟蹤控制器以及復合控制器的作用下,閉環系統能夠在有限時間內漸近穩定。

證明設Lyapunov函數V3為

(41)

對式(41)求導可得

(42)

證畢

綜上分析可知,復合平臺的姿態控制器能夠給在有限時間內實現系統的漸進穩定,保證系統有界且收斂。

3 數學仿真與分析

為了驗證本文提出的復合指向控制器的有效性與正確性,并與文獻[11]提出的控制器對比。二維轉臺的模型參數如表1所示。

表1 轉臺模型參數Table 1 Simulation parameters of turntable model

衛星的初始姿態Q=[-0.37,0.58,0.32,0.67]T,姿態測量誤差為0.001°和0.001°/s。衛星轉動慣量Js為

復合控制器的采樣時間為ts=1 ms,a1=1 000,a2=300,a3=-1 000,b2=b3=5,K2=diag(0.2,0.2,0.2),K3=diag(450,450,450)K1=100。

衛星本體跟蹤的期望姿態和期望姿態角速度如圖4和圖5所示,在姿態跟蹤階段,其期望姿態角速度最大為4°/s,對應的目標姿態出現較大變化的時間段為200～400 s。衛星的執行機構采用由控制力矩陀螺和反作用飛輪組成的混合執行機構輸出高精度控制力矩,混合執行機構操縱律采用轉移效用(transferable utility, TU)合作博弈操縱律,以滿足高精度動態跟蹤的需求[31]。

圖4 期望姿態角Fig.4 Desired attitude angle

圖5 期望姿態角速度Fig.5 Desired attitude angular velocity

圖6～圖8表示的衛星本體在反步法姿態控制器下的仿真結果。從圖6中可以看出,衛星姿態大約在30 s左右開始收斂,在30 s后嚴格跟蹤期望姿態,圖7表示的是衛星本體的姿態誤差,可以看出其最大跟蹤精度約為0.005°。由于執行機構性能有限,約束的混合執行機構的最大輸出力矩為0.5 N·m。

圖6 當前實際跟蹤姿態Fig.6 Current tracking attitude

圖7 衛星本體的姿態誤差Fig.7 Attitude error within satellite

圖8 衛星本體的姿態控制力矩Fig.8 Attitude control torque of satellite body

圖8表示的是衛星姿態控制力矩,在姿態動態跟蹤初期階段,控制器計算產生的控制力矩較大,導致姿態產生超調和振蕩,控制器保持姿態穩定故產生較大的控制力矩試圖使姿態誤差趨近于零,當姿態跟蹤穩定時,姿態控制力矩逐漸恢復至抵消干擾力矩的量級。

不考慮復合平臺系統之間的耦合問題仿真結果如圖9和圖10所示,與圖7進行對比,可以看出采用目標復合指向控制后,其系統姿態跟蹤控制精度有了明顯的提升,其中方位軸的最大誤差為0.5°×10-3,俯仰軸的最大姿態誤差為0.7°×10-4,俯仰軸的姿態控制精度相對方位軸較高。衛星與二維轉臺之間的耦合干擾對控制精度造成一定影響。仿真結果如圖11所示,由仿真結果可知,對俯仰軸和方位軸的姿態造成0.68°和0.36°,若不加以干預,則會造成衛星本體姿態偏差,導致不滿足相機成像的精度。

圖9 不考慮耦合的復合平臺下方位軸姿態誤差Fig.9 Azimuth attitude error without couple motion

圖10 不考慮耦合的復合平臺下俯仰軸姿態誤差Fig.10 Pitch axis attitude error without couple motion

圖11 耦合干擾力矩對衛星本體姿態的影響Fig.11 Effect of coupling interference moment on the attitude of the satellite body

考慮復合平臺之間耦合干擾的姿態跟蹤誤差的結果如圖12和圖13所示。與圖9和圖10相對比,方位軸姿態誤差在200～250 s時間段內姿態跟蹤誤差有了較明顯的改善,控制精度約為0.4°×10-3,俯仰軸的姿態控制精度約為0.4°×10-4,因此復合指向控制可以有效提高姿態跟蹤控制精度。

圖12 考慮耦合的復合平臺方位軸姿態誤差Fig.12 Azimuth attitude error within couple motion

圖13 考慮耦合的復合平臺俯仰角姿態誤差Fig.13 Pitch attitude error within couple motion

二維轉臺與衛星本體之間的耦合力矩與外界環境干擾力矩的總和通過干擾觀測器估計得到。觀測器估計結果如圖14和圖15所示。

圖14 俯仰軸耦合干擾力矩Fig.14 Disturbed torque of pitch axis coupling

圖15 方位軸耦合干擾力矩Fig.15 Disturbed torque of azimuth axis coupling

可以看出,耦合干擾力矩約為2×10-4N·m,干擾觀測器估計的結果可以準確地估計出耦合干擾力矩,估計的力矩補償到姿態控制器中,可以大幅度提高姿態跟跟蹤精度。

本文采用反步法和模型預測相結合的姿態控制方法實現對空間高動態目標的跟蹤觀測,同時采用干擾觀測器估計復合平臺的耦合干擾力矩。與文獻[11]中的基于迭代學習的遞階飽和控制算法進行對比,仿真的初始條件、期望的目標跟蹤姿態均相同,其迭代學習結果如圖16所示。

圖16 PD型迭代學習算法(對比算例)Fig.16 PD iterative learning algorithm (Compare study)

從圖16中可以看出,文獻[11]由于采用基于迭代學習的遞階飽和控制算法,在姿態初始階段振蕩較大,經過10次迭代后其超調和振蕩現象有所改善,其精度約為0.1°,與衛星本體的反步法控制器相比較,其迭代學習所需要的時間較長且精度不高。迭代學習的每一次效果不一定優于上次迭代,因為迭代學習控制器不是漸近穩定的。此外,二維轉臺利用三環比例、積分和微分(proportional integral derivative,PID)算法與模型預測控制算法進行對比,復合平臺跟蹤結果局部放大圖如圖17和圖18所示。從圖中可以看出,兩種方法都可以實現快速響應,并具有較好的跟蹤效果。但是在相同的參數條件下,模型預測控制的姿態跟蹤效果更好。圖中只放了30～100 s的局部放大圖,從圖中可以得到PID控制方法的姿態精度在0.003°左右,而在模型預測控制器下精度可以達到0.5°×10-4,故本文設計的復合平臺姿態控制器具有更高的姿態控制精度和良好的魯棒性能,同時提高了抗干擾能力。3種仿真結果總結如表2所示,從表中數據可以看出,反步法和模型預測控制相結合的復合控制器在敏捷性和精度方面都有明顯的優勢。

表2 仿真結果總結對比Table 2 Comparison of simulation results

圖17 方位軸對比跟蹤結果Fig.17 Azimuth axis comparison simulation results

圖18 俯仰軸姿態對比跟蹤結果Fig.18 Pitch axis comparison simulation results

4 結 論

本文針對空間高動態目標姿態跟蹤控制進行研究,提出一種基于復合平臺的高精度跟蹤方法。首先建立復合平臺的動力學模型,并進一步分析耦合問題;其次在粗跟蹤階段針對衛星本體設計反步法控制器,在精跟蹤階段針對二維轉臺設計模型預測控制實現二維轉臺的快速、高精度響應;然后設計擴張狀態觀測器實時估計復合平臺的耦合干擾力矩,確保復合平臺在高動態的情況下依然保持較高的指向跟蹤精度和姿態穩定度。該方法提高了復合系統的控制精度,加快了系統的響應速度和收斂速度,為空間目標高動態目標跟蹤觀測提供一定的理論基礎。