Alpha穩定分布噪聲下基于特征值之差頻譜感知算法

陳增茂, 汪楷淋, 孫志國,*, 孫溶辰, 阿爾斯楞

(1. 哈爾濱工程大學信息與通信工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001;2. 哈爾濱工程大學工業和信息化部先進船舶通信與信息技術重點實驗室, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

頻譜感知作為認知無線電的基礎,是認知無線電領域的重點研究問題之一[1-3],其本質是在不干擾授權用戶正常通信的前提之下,次級用戶利用各種檢測技術快速準確地識別授權用戶信號的存在與否[4],為其動態頻譜接入提供先驗信息,提高了無線電頻譜資源的利用率。目前,高斯噪聲背景下的頻譜感知技術已經相當成熟[5],但當存在非高斯背景的脈沖噪聲時,很多現有的頻譜感知算法的性能下滑比較明顯,復雜的環境給頻譜感知帶來了很大挑戰[6]。

Alpha穩定分布噪聲模型是目前描述真實通信環境中噪聲最優秀的噪聲之一,其符合廣義中心極限定理[7],包括了高斯分布(特征指數α=2)和分數低階分布(特征指數α<2)兩種情況。Alpha穩定分布噪聲模型在信號處理領域得到了快速的發展和應用,所以Alpha穩定分布噪聲下頻譜感知模型的建立與理論分析是一個重要的問題。

1925年,Furutsu等在研究廣義中心極限定義時提出了Alpha穩定分布噪聲模型[8]。Nikias借助積分和離散傅里葉變換等運算,提出了Alpha穩定分布噪聲下的基于最大似然感知的最優檢測器,但運算過程復雜難以實際應用。Tsihrintzis等提出了加入限幅器的線性檢測器,并通過將檢測器的α設定為2,降低了計算過程的復雜度[9],但其所處環境中Alpha穩定噪聲的特征指數α波動時,其感知性能會惡化。同樣,將α設定為1的柯西檢測器,也面臨特征指數α小于1時,檢測器的檢測性能急劇下降的問題。Tsihrintzis等在Alpha穩定分布重尾噪聲中,提出了一種基于未知噪聲矩陣和信號長度的廣義似然比檢測器[10],通過仿真分析了其算法的感知性能。Kuruoglu等通過采用有限個數的高斯模型混合來近似Alpha穩定分布模型,提出了近似最優檢測器[11],雖然提升了對Alpha穩定噪聲的適應能力,但設計混合高斯模型的過程復雜,難以實際應用。

上述的方法均是想要通過給出Alpha穩定分布概率密度函數的近似表達,從而解決Alpha穩定分噪聲環境下的頻譜感知問題,一方面其計算過程復雜,另一方面其檢測性能會受噪聲特征指數的制約,不具備魯棒性。

另外一種次優方法就是在線性檢之前采用非線性預處理,然后采用似然比進行授權用戶信號檢測[12],此方法可以提升檢測性能,但由于其實現過于復雜導致感知效果往往并不理想。根據Alpha穩定分布的特性,其雖不存在二階統計量和高階統計量,但所有階數小于特征指數α的統計量都是有限的,并稱之為分數低階統計量[13],其中的分數低階矩已成為研究Alpha穩定分布的不可或缺的工具。Jiang等總結描述了分數低階循環譜、廣義分數低階協方差和廣義分數低階高次譜等[14],并分析展示了這些統計量在信號檢測中應用的價值。趙春暉等在正定矩陣特征值分解的推導過程中,提出了分數低階循環統計量[15],提升了基于循環特征檢測在Alpha穩定分布噪聲下的感知性能,但其計算過程復雜。朱衛平等通過提出一種基于分數低階矩的變式能量感知算法[16],實現了Alpha穩定分布噪聲下的能量感知,但隨著噪聲背景的動態變化,每次感知過程都需要進行復雜的計算,難以在工程上實現。宋永健等采取分數低階矩采樣協方差來降低非高斯特性[17],實現了Alpha穩定分布噪聲下的基于特征值的感知算法,但其在低信噪比條件下感知性能不佳。Liu等利用多個接收天線合作,將最大廣義熵的概念引進了頻譜感知算法之中[18],但其局限于對稱Alpha穩定分布噪聲模型。

在現代多天線的無線電移動通信系統中,越來越多的通信設備配備了多天線用于提高通信鏈路可靠性和改進通信質量[19],因此基于特征值的感知算法也吸引了越來越多的學者關注[20]。基于特征值的頻譜感知算法是通過接收信號樣本協方差矩陣來計算接收信號之間的相關性,從而對授權用戶信號的存在與否做出判斷[21],此類方法極大程度地提升了次級用戶對授權用戶信號的感知能力。例如,Zeng等利用采樣信號協方差矩陣的最大最小特征值在授權用戶存在和不存在時的差異,提出了一種最大-最小特征值之比(ratio of maximum-minimum eigenvalue,MME)的感知算法[22]。隨后,Wang等提出了基于采樣信號協方差矩陣最大-最小特征值之差(difference between the maximum and minimum,DMM)的感知算法[23],DMM算法與MME算法相比,消除了噪聲不確定性的影響,具有更好的感知性能,但MME算法和DMM算法也存在只利用極端特征值的缺陷,其感知性能有待進一步提升。Zhang等在廣義似然比檢驗的基礎之上利用所有特征值的算術平均和幾何平均構建了檢驗統計量[24],提出了一種算數均值與幾何均值之比(arithmetic means togeometric means,AGM)的感知算法。Wang等提出了于采樣信號協方差矩陣最大特征值與跡之比(ratio of maximum eigenvalue to trace,MET)的算法[25],在瑞利衰落信道下獲得了較好的感知性能。Pillay等提出了于采樣信號協方差矩陣最大特征值與特征值幾何均值之比(ratio of the maximum eigenvalue to geometric mean of eigenvlues,MEGM)的算法,在Nakagami衰落信道下獲得了良好的感知性能[26]。MET算法和MEGM算法更加適用于高斯白噪聲下衰落信道背景,但在Alpha穩定分布噪聲為背景下的感知性能不佳。

基于上述分析,本文在Alpha穩定分布噪聲為背景,提出了一種基于對接收信號進行分數低階矩和歸一化預處理的最大特征值與特征值幾何均值之差(difference between maximun eigenvalue and geometric mean of eigenvalue,DMGM)的頻譜感知算法,通過預處理降低噪聲的脈沖特性,后利用預處理后的采樣數據構建采樣協方差矩陣,并利用矩陣的最大特征值與幾何均值之差構建感知統計量。根據隨機矩陣理論和恒虛警概率準則推導了感知門限與虛警概率的關系式。通過蒙特卡羅仿真分析算法的感知性能,與傳統的基于分數低階矩采樣協方差矩陣的MME算法以及DMM算法進行比較。仿真結果表明,與MME算法和DMM算法相比,本文所提DMGM算法在Alpha穩定分布噪聲下有較好的感知性能。

1 系統模型

1.1 頻譜感知系統模型

頻譜感知問題是一個經典的信號檢驗問題,授權用戶的存在與否決定了次級用戶占用頻譜的機會,通常將其視為一個二元假設問題,包含H0和H1兩個假設,假設H0表示授權用戶信號不存在,假設H1表示授權用戶信號存在。次級用戶配備具有M個天線的多天線接收器進行信號接收處理,每根天線的采樣點數為N,建立如下假設檢驗模型:

(1)

式中:m=1,2,…,M;n=1,2,…,N;zm(n)是次級用戶的第m根天線接收到的第n個時隙收到的信號;s(n)是第m根天線檢測到的授權用戶信號;hm表示授權用于與第m根天線之間的信道增益;ωm(n)為Alpha穩定分布噪聲。授權用戶信號s(n)是服從零均值的任意分布。s(n)和ωm(n)都是獨立同分布隨機變量,且滿足彼此獨立的條件。不失一般性,假定檢測期間內信道增益hm保持不變。

1.2 Alpha穩定分布模型

Alpha穩定分布很好地擬合了通信系統中的脈沖噪聲分布[27],如大氣噪聲、人為噪聲等。鑒于Alpha穩定分布堅實的理論基礎以及對脈沖噪聲的良好擬合效果,其已被廣泛應用于描述通信系統中的噪聲模型。Alpha穩定分布最為顯著的特征就是概率分布函數具有厚重的拖尾,其特征函數表示為

φ(t)=exp{jμt-γ|t|α[1+jβsign(t)ω(t,a)]}

(2)

(3)

(4)

式中:α為特征指數;γ為尺度參數;β為位置參數和a為對稱參數。從圖1可以看出,特征指數α可以控制整個分布拖尾的厚度,α的值越大,其概率密度函數(probability density function,PDF)的拖尾越輕薄,噪聲的非高斯性越弱,出現大幅值樣本的概率越小;反之,α的值越小,其PDF的拖尾越厚重,噪聲的非高斯性越強,出現大幅值樣本的概率越大。因此,Alpha穩定分布噪聲背景下的頻譜感知算法需要考慮降低這些較大的噪聲樣本值,來降低感知算法的虛警概率。

圖1 Alpha穩定分布Fig.1 Alpha stable distribution

2 本文所提算法

2.1 DMGM感知算法設計

雖然Alpha穩定分布沒有二階統計量,但可以通過對接收信號進行預處理將其轉換。本文采用分數低階矩和歸一化處理對接收信號進行預處理,進而獲得分數低階矩樣本協方差矩陣,再對分數低階矩樣本協方差矩陣進行特征值分解,利用其特征值構建感知統計量。通過分數低階矩和歸一化達到降低Alpha穩定分布噪聲中過大的樣本值的目的,從而提高脈沖噪聲下算法的感知性能,并且低階矩p值的選擇直接影響感知性能。預處理過程表示如下:

(5)

(6)

在尺度參數γ已知的情況下,對接收信號均值進行歸一化處理并不會影響其方差,歸一化之后的樣本方差為

(7)

特征值指數α=1.6的Alpha穩定分布噪聲經過預處理后的概率密度函數和高斯加性噪聲的分布函數如圖2所示。可以看出,預處理后的Alpha穩定分布噪聲的概率密度函數與高斯噪聲的概率密度函數接近重合,這說明Alpha穩定分布噪聲經過預處理后服從高斯分布,適用中心極限定理,證明了分數低階矩和歸一化處理對接收信號進行預處理的有效性。

(8)

(9)

(10)

2.2 算法的理論基礎

基于近年來的隨機矩陣理論的研究成果,在此引入關于樣本協方差矩陣的最大特征值的相關性質。

根據性質2可知:

(11)

2.3 DMGM算法的感知門限理論推導

這里TDMGM和ηDMGM分別表示為感知檢驗統計量和感知門限。其中,ηDMGM的選取直接決定了感知性能的好壞。

DMGM算法的虛警概率可表示為

(12)

基于定理1,則有:

(13)

(14)

綜上,DMGM算法步驟如下。

步驟 3將檢驗統計量TDMGM與感知門限ηDMGM進行比較,得到判決結果,如果TDMGM>ηDMGM,則判決為H1,反之則判決為H0。

本文所提DMGM算法屬于全盲檢測感知算法,通過利用采樣數據來做出判決而無需知曉信號及信道的先驗信息。在運算時間復雜度方面,DMM算法和MME算法的時間復雜度為O(M3+MlogM+1)。與DMM算法和MME算法相比,DMGM算法的時間復雜度為O(M3+MlogM+M+1),其增加的O(M)與求樣本協方差矩陣特征值所需的O(M3)相比,是可以忽略不計的。

3 算法仿真與分析

本節將通過仿真實驗評估所提出DMGM算法的有效性。本文的仿真條件設定參考了已有文獻,即假設授權用戶獨立發送正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)信號,次級用戶的接收天線數為4,采樣點數為2 000,并在每個預設的信噪比下進行10 000次蒙特卡羅仿真,并對不同算法的接收機工作特征曲線(receiver operating characteristic curve,ROC)性能進行對比,能夠直觀地看出不同算法的感知性能差異。需要特殊說明的是,由于Alpha穩定分布噪聲下二階統計量不再收斂,傳統的信噪比失去了意義,因此定義廣義信噪比(generalized signal to noise ratio,GSNR)[28]為

(15)

實驗 1DMGM算法的判決門限的有效性。

以α=1.5為例,首先驗證了所推導出的DMGM算法的判決門限的有效性,結果如圖3所示。可以看出,檢測判決門限ηDMGM與采樣點數N有關,且隨采樣點數的增加而降低;在只有噪聲存在的情況下,實際檢測統計量是略小于理論門限值的,但由于虛警概率Pfa的存在,會有少數感知統計量越過了理論門限閾值曲線,且隨著采樣點數N的增加,大部分的傳感結果都分布在理論門限閾值曲線以下的區域,證明了本文對DMGM算法門限推導有效性。

圖3 DMGM算法門限的有效性Fig.3 Effectiveness of DMGM algorithm thresholds

實驗 2以α=1.8為例,接下來將本文所提的DMGM算法與MME算法以及DMM算法進行對比。

3種算法的檢測概率隨GSNR的變換情況如圖4所示。可以看出,本文所提的DMGM算法在所有的信噪比區域內尤其是低信噪比區域內的感知性能均優于MME算法以及DMM算法。例如,當GSNR為-5 dB時,DMM算法的檢測概率不足0.5, MME算法的檢測概率為0.7左右,而DMGM算法的檢測概率為0.9。原因在于本文所提的DMGM算法采用了不易受極端特征值影響的特征值均值代替了最小特征值,利用了更多的特征信息,檢測性能有所提升,且特征值的幾何均值與信號的平均功率近似相等,該功率特性保證了DMGM算法能在低信噪比情況下的檢測性能。

圖4 檢測概率隨GSNR變化的ROC性能對比Fig.4 ROC performance comparison of detection probability as GSNR changes

實驗 3在GSNR=-5 dB條件下,以α=1.5為例,驗證了天線數目變化對3種算法感知性能的影響。

參與感知的天線數目M對算法檢測概率影響的結果如圖5所示。可以看出,隨著天線數M的增加,DMGM算法的檢測概率得以提升且優于MME算法和DMM算法。原因在于特征值幾何均值包含了所有的特征值信息,更能體現出采樣信號矩陣的“特性”,且隨著天線數M的增加,特征值數量也增加,特征值幾何均值的優勢更加明顯,因此DMGM算法感知性能更佳。

圖5 檢測概率隨天線數變化的ROC性能對比Fig.5 ROC performance comparison of detection probability varying with the number of antennas

實驗 4在GSNR=-5 dB條件下,以α=1.5為例,驗證了不同虛警概率Pfa對算法檢測概率的影響。

不同虛警概率Pfa對算法檢測概率的影響的結果如圖6所示。可以看出,隨著虛警概率Pfa增加,DMGM算法的檢測概率提升最快,在Pfa=0.5的情況下檢測概率接近0.9,明顯優于MME算法和DMM算法,也進一步表明了低信噪比條件下,本文所提的DMGM算法的優越性。

圖6 檢測概率隨虛警概率變化的ROC性能對比Fig.6 ROC performance comparison of detecting probability changing with false alarm probability

實驗 5以p=0.3為例,接下來驗證了Alpha穩定分布噪聲的特征指數α對DMGM算法感知性能的影響。

特征指數α對DMGM算法感知性能的影響的結果如圖7所示。可以看出,當分數階次p固定時,特征指數越α趨近于2,Alpha穩定分布噪聲的脈沖性越弱,DMGM算法的感知性能越好。

圖7 檢測概率隨噪聲的特征指數變化的ROC性能對比Fig.7 ROC performance comparison of detection probability changing with noise characteristic index

實驗 6以α=1.8為例,接下來驗證了不同分數階次p對DMGM算法檢測概率的影響。

不同分數階次p對檢測概率影響的結果如圖8所示。可以看出,隨著分數階次p的降低,DMGM算法的檢測概率得以提升。原因在于特征值指數α固定時,分數階次p越低,預處理過程對Alpha穩定分布噪聲的非高斯性降低越有效,DMGM算法的感知性越好。

圖8 不同分數階次下DMGM算法的ROC性能對比Fig.8 ROC performance comparison of DMGM algorithm under different fractional order

4 結 論

本文在Alpha穩定分布噪聲背景下,通過分數低階矩和歸一化預處理降低了Alpha穩定分布噪聲的脈沖特性,消除噪聲中大樣本值對感知性能的損害。基于隨機矩陣理論,提出了DMGM頻譜感知算法,且推導出與其相對應的感知門限。理論分析與仿真表明,該算法在Alpha穩定分布噪聲條件下比基于分數低階的MME算法以及DMM算法具有更好的感知性能。