卡爾曼濾波法在大跨度波形鋼腹板剛構橋施工變形控制中應用研究

楊勃 陳艷茹 張鵬

摘 要： 大跨度連續鋼腹板剛構橋懸臂施工中，由于跨度大控制不準確，容易造成線性偏離設計要求，或者合攏困難等工程問題。所以在施工過程中，對橋梁施工的線性進行控制進行十分必要的深入研究，結合XX連續T型鋼腹板剛構橋的懸臂施工監控量測方案，采用卡爾曼濾波法來分析連續T型鋼腹板剛構橋懸臂施工線性控制中誤差的分析，通過數據分析和詳細的演算并結合工程實際來驗證施工控制誤差調整的常用方法和原理，同時也為類型工程施工控制提供有效的借鑒經驗。

關鍵詞： T型剛構；線性控制；鋼腹板；卡爾曼濾波法

中圖分類號： TQ050.4+1

文獻標志碼： A ?文章編號： 1001-5922（2023）08-0166-05

Application research of kalman’s filtering method on deformation control of rigid frame bridge with long span corrugated steel web

YANG Bo1，CHEN Yanru1，ZHANG Peng2

（1.Shaanxi Institute of Railway Engineering Technology，Weinan 714000，Shaanxi China；

2.China Rail Way First Survey and Designin Stitute Group Co.，Ltd.，Xi’an 710043，China）

Abstract： Due to the large span and inaccurate control of Long-span continuous rigid frame bridge in cantilever construction，it is prone to cause the linear deviate from the design requirements，and engineering problems like folding difficulty.So in large span continuous rigid frame bridge construction process，it’s necessary to perform in-depth research of the linear of bridge construction control.Combined with the cantilever construction monitoring and measurement scheme of continuous steel web rigid frame bridge，the Kalman filter method was used to analyze the error analysis in the linear control of continuous steel web rigid frame bridge construction，and the common methods and principles of construction control error adjustment were verified through data analysis and detailed calculation combined with the engineering practice，which also provided effective reference experience for the construction control of type engineering.

Key words： T rigid frame；linear control； cantilever construction； kalman’s filtering method

卡爾曼濾波法參數估計法很容易推廣到非線性系統中去，成為推廣的卡爾曼參數估計法。預應力混凝土剛構橋隨著跨徑逐漸的增大，采用分段施工后，為了滿足成橋線形要求必須對施工過程進行有效控制，在施工控制中，根據計算條件模擬施工過程準確計算每個施工階段的預拱度，采用科學方法對施工過程各種誤差進行糾偏和調整。 預拱度的計算可以按照施工順序采用結構計算軟件分析獲得，然而對于施工誤差的控制，測量，評價，調整也很重要，橋梁結構的力學和變形數據狀態基本是采用離散的數據序列表示（例如：標高、應力等），所以我們在施工控制中使用的是離散線性數據量系統的卡爾曼濾波法[1]。尤其對于鋼腹板剛構橋梁的施工控制研究，大氣溫度、焊接溫度對于鋼腹板變形影響比較大。

1 建立Kalman濾波模型

1.1 原理

在忽略控制力條件狀況下，系統的狀態方程以及觀測方程調整為：

[JB（{]x k+1=G k+1x k+w k

Z k=C kx k+v k ?（1）

式中：

w k — n 維狀態向量；

G K+1—n×n 狀態轉移矩陣；

w k—p ?維隨機干擾向量；

z k — m 維觀測向量；

C K — m×n 觀測矩陣；

v k — m 維觀測噪聲向量。

假設初始狀態 x 0 的統計特性為

E（x 0）=m 0

E （x 0－m 0）（x 0－m 0）T =P 0

且 x 0與 w k 、 v k 均互不相關，即

E （x 0－m 0）wT k =0

E （x 0－m 0）vT k =0

現在用遞進推演的方式來表達出每個時間點 k 在取得的觀測數據的基礎上所做出的狀態 x k 的估計 x ?^ ?k 。這樣，在 x ?^ ?0 ＝ m 0 的基礎上，逐次令 k= 1，2，…就能用遞推公式求出各個時刻的估計值 x ?^ ?1 ， x ?^ ?2 ，…。

基本離散線性系統

主要適用于可調變量極少的大跨徑橋梁結構中，所以它很適合于懸臂施工的大跨徑預應力混凝土連續剛構橋。具體的關系曼濾波線形計算演示流程如圖1所示。

當結構某一節段施工完成后，無論結構參數處于什么樣的狀態（比如標高），我們基本上沒有辦法來改變本施工階段的結構標高。我們所能做的是：根據本階段的標高誤差來預測或估計出下一節段的立模標高，使隨后的結構實際狀態符合結構的設計理想狀態，這就是基本離散線性系統卡爾曼濾波的實際意義。

1.2 建立狀態方程

對于懸臂施工的大跨徑預應力混凝土鋼腹板連續T型剛構橋而言，可以把鋼腹板連續T型剛構橋對稱的大小里程方向的預留拱度值作為狀態變量，對于已經施工階段 k 及準備下一段施工階段 k+1 ，則有狀態方程：

x k+1=G k＋1x kw k

（2）

式中： G k+1 為 k+1 階段與 k 階段懸臂段預留拱度計算值之比，即

G k+1=x k＋1/x k

（3）

因為已經澆筑梁段的預留拱度值可以現場觀測，所以才有下列觀測方程：

Z k=X k＋v k

（4）

1.3 濾波方程的解

比較式（1）及式（4），可知 C k=I （單位矩陣），所以卡爾曼濾波求解遞推公式則演變為：

1）濾波算法

X ?^ ?k+1=X ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1－X ?^ ?k） ??（5）

2）預測算法

X ?^ ?k+1/k=G k＋1，kX k ??（6）

3）濾波增益

K k+1=P k+1/k（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

（7）

4）濾波誤差協方差

P k+1=（I-K k+1C k+1）P k+1/k

（8）

5）預測誤差協方差

P k+1/k=G k+1，kP kGT k+1，k+Q k

（9）

1.4 初始條件和誤差參數的確定

預應力混凝土鋼腹板連續T型剛構橋如果采用懸臂施工方法，計算預留的預拱度值和預留拱度差值的平方取為：

x（0/0）=x 0=0# 塊左右兩端理論計算預留拱度值， P（0/0）=P 0=0# 塊左右兩端理論計算預留拱度值與實測預留拱度值差值的平方[2]。為了得到各個階段的預測值與濾波值，還需定義 R k+1 及 Q k ：

R k+1= ??σ L（k+1）2 ?00 ?σ R（k+1）2

（10）

式中： σ L（k+1） ＝小里程懸臂端 k+1 階段預拱度的測量誤差的均方差；

σ R（k+1） ＝大里程懸臂端 k+1 階段預拱度的測量誤差的均方差6；

σ L（k+1） 、 σ R（k+1） 與測量儀器的性能及懸臂長度有關。

Q k= ??σ 1/L（k）2 ?00 ?σ 1/R（k）2

式中： σ 1/L（k） ＝小里程懸臂端 k 階段計算誤差的均方差；

σ 1/R（k） ＝大里程懸臂端 k 階段計算誤差的均方差；

σ 1/L（k） 、 σ 1/R（k） 表示計算誤差的范圍，難以準確確定，可假定為懸臂長度的線性函數或二次冪函數。

P 0，0 =P 0=0 塊大小里程兩端理論計算預留拱度差值的平方。在實際懸臂施工應用過程中，可將懸臂端階段末預留拱度定義為狀態向量 x ，立模時的預留拱度可通過階段末的預留拱度加上相應階段的撓度計算值獲得3，若將 k 階段預測 k+1 階段立模時的預留拱度值記為 X0 k+1，k ，將 k+1 階段的端點撓度計算值記為 d k+1 ，則有

x0 k+1，k = x ?^ ?k+1，k + d k+1

（11）

對于系統誤差，可以通過懸臂端各節段的預留拱度濾波值 x ?^ ?與理論計算值 x 的趨勢比較分析確定，若濾波誤差 x′＝x-x ?^ ?帶有明顯的方向性如圖2的（a）、（b）、（c）、（d），則 x′ 為系統誤差；若 x′ 無明顯的方向性如圖3的（e）、（f），則 x′ 不是系統誤差，即系統誤差不明顯，可忽略不計[3]。

若存在系統誤差，則當前階段（已完成階段）的系統誤差為：

x′ ?k=x k-x ?^ ?k

下一階段（待施工階段）的系統誤差預測值為：

x′ k+1=x k+1-x ?^ ?k+1，k

如果不存在系統誤差，則參數與預留拱度不需要進行修正和調整，則可直接采用預測值 x ?^ ?k+1，k 下一階段的預留拱度值[4]。如果系統誤差存在，則參數和預留拱度調整需要進行[5]。按照參數調整后，對下一階段預留拱度由原定理想狀態到隨后理想狀態的改變量 δ k+1 與系統誤差預測值 x′ k+1 的關系可分為以下兩種情況來確定調整量（ δT k+1 ）[6]：

δT k+1 確定以后，將其加入下式的右端項，可以得到下一階段立模時的預留拱度值[7]：

所以濾波誤差計算的幾種情況[8]如圖2所示。

x0 k+1/k = x ?^ ?k+1/k + d k+1 + δT k+1

1.5 各施工階段完成后預留標高的確定

各個梁段預設標高為： H a k =H s k +x k ；式中 H a k ?為 k 節點施工立模板標高值， H s k ?為 k 節段觀測點的設計標高值； x k 為 k 節段施工拋高值[9]。

2 Kalman濾波法在施工控制中的應用

2.1 工程概況

XX2＃橋為5跨剛腹板T型連續剛構體系。從左至右分別為8＃墩（連續墩），7＃墩高25 m（連續墩），6＃墩高63.5 m（剛墩），5＃墩高69.5 m（剛墩），4＃墩高69 m（剛墩），3＃高58 m（連續墩）?？鐝讲贾脼椋?4+3×90+54）m，具體如圖１所示。

2.2 設計資料和參數標準

墩身截面均采用矩形空心墩，箱體采用單箱單室箱梁。腹板采用鋼腹波紋板結構，根據受力要求，由腹板上下采用S-PBL加焊釘聯結。頂板橫向預應力鋼束采用2φ15.2和3φ15.2鋼絞線。鋼絞線標準強度 f tk =1 860 MPa，采用扁錨，單向交錯張拉。梁底曲線為二次拋物線，其拋物線方程為 Y=－0.002 853 745 541x2 。

2.3 施工標高計算結果

在大橋懸臂施工過程中，由于誤差影響，施工階段觀測點的標高與理論計算值有一定的偏差，因此需要采取必要的方法進行調整[10]。計算前0號段懸臂施工較短誤差很小，取 x 1 為0號觀測點的理想計算施工抬值，并取 P ?1=0。

對于 k =0即1號梁段施工標高預測調整有：

x ?^ ?1/0=G 1，0x ?^ ?0 ?= ??1.661 00 1.563 ???0.0180.026 ??= ??0.0300.041

因此1號梁段施工抬高值進一步優化為：西安方向為0.030 m，平涼方向為0.041 m。0號段預設標高分別為1 567.278 、1 567.276 m。

對 k =1 即2號梁段施工標高預測調整值有：

x ?^ ?k+1=x ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1-x ?^ ?k）

本橋2號梁段預測誤差協方差： P 2，1=G 2，1P 1GT 2，1，

+Q 1=Q 1= ?0.0152 00 0.0152

西安方向和平涼懸臂端第2階段預留拱度測量誤差的均方差，本項目根據經驗確定為 σ 1/L（1） = σ 1/R（1） =0.015；

本橋2號梁段濾波增益：

K k+1=P k+1/k（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

K 2=P 2，，1（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

西安方向和平涼懸臂端懸臂端2階段計算誤差

的均方差，本橋梁施工控制項目根據經驗確定為 σ L（1） = σ R（1） =0.006；

K 2=P 2，1（P 2，1+R 2）－1= ?0.0152 00 0.0152 ?×

0.0152 00 0.0152 + 0.0062 00 0.0062 ?－1

= ??0.862 00 0.862

x ?^ ?k+1=x ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1-x ?^ ?k）=x ?k + 1，k +K k+1 x k+1+v k+1-x ?^ ?k

x ?^ ?2=x ?^ ?1，0＋K 2（Z 2-x ?^ ?1）=x ?2，1 +K 2× x 2+v 2-x ?^ ?1，0 ??=

0.0300.041 ?+ ?0.862 00 0.862 ???×

0.0460.049 ?+ ?0.0060.006 ?－ ?0.0300.041 ???= ??0.0460.053

1.46 00 1.385 ?=

1.46 00 1.385 ????0.0460.053 ??= ??0.0670.073

所以第2階段的施工計算抬高值為1.46，1.385，最優一步預測值西安方向為0.067，平涼方向為0.073。因此1號梁段預設標高為

1 567.254 、1 567.257 m。

XXX2＃橋為5跨T型連續剛構體系采用懸臂施工控制，以實測參數預測施工預拱度的誤差調整值，采用掛籃施工，中跨采用12段對稱懸臂澆筑，邊跨跨采用12段對稱懸臂澆筑，跨中采用掛籃騎跨完成，邊跨采用支架現澆完成，全橋對稱懸臂澆筑施工結束后進行邊跨合攏，然后進行次中跨合攏，最后進行中跨合攏順序完成。嚴格控制施工工藝和規范施工，確保施工線形與設計相吻合。由于懸臂越長施工控制難度越大，所以施工線形控制過程中，由于篇幅有限只研究分析了西安和平涼方向6號橋墩跨中梁段各個施工階段標高調整值。如表1所示。

由表1可知，懸臂施工12號梁段西安方向中跨合攏誤差為：0.162-0.156=0.006 m；平涼方向中跨合攏誤差為：0.156-0.163=-0.009 m，都符合合攏的誤差要求。

從圖4和圖5可知，懸臂段越長，相對誤差值就越大。不論是預拱度的觀測值還是預測值都會隨著施工推進，懸臂段的伸長，預拱度的數值明顯增加。其次，拋高調整值和施工安裝標高調整值也會隨著增大，主要原因是懸臂段越長對溫度和施工荷載、觀測要求等因素越敏感，系統誤差就越大，所以施工調整誤差數值也會增大。

另外，從圖4和圖5還可以看出，施工預測數值和觀測數值客觀上存在一定的誤差，所以采用合理的誤差分析方法，合適的觀測手段，準確的建模手段等因素對懸臂施工控制線形控制精度的影響至關重要；其中誤差分析計算方法是彌補系統誤差有效手段，尤其在大跨度懸臂施工的連續剛構橋由于分段數量較多，系統誤差會隨著施工階段數量的增多對施工線形控制的精度影響越演越烈，所以必須采用合理的方法處理誤差是施工控制需要的處理手段，所以采用卡爾曼濾波法在大跨連續梁橋施工控制中的應用有十分重要的作用。

3 結語

（1）氣溫影響主梁標高的測量放樣精度，因為每天氣溫早上下午晚上都是變化的，每個時刻梁體混凝土的溫差變化都不一致，導致測量放樣時候的梁體標高和澆筑完混凝土時候的標高存在一定的差異，影響施工標高控制精度；

（2） 對于鋼腹板橋梁變形收到溫度的影響比較大，特別注意焊接高溫影響。選擇熱輸入低的焊接方法，如氬弧焊，控制層間溫度，分段對稱施焊，選用小參數的焊接規范；

（3） 懸臂段越長，相對誤差值就越大，施工措施和溫度對其影響就越敏感，因此對于大跨度鋼腹板連續T型剛構橋采用Kalman濾波法的誤差分析方法對每個施工段是十分必要的；

（4） 誤差調整一方面要根據設計要求進行設計誤差調整，通過先前幾段施工來推算確定設計參數，根據計算模型利用軟件進行確定。其次在施工誤差調整中，運用Kalman濾波法的計算方法對后面的每個施工段施工誤差進行合理的調整。經過監控組的認真分析和努力，大橋監控量測取得了很好效果，誤差控制在合理范圍內，為今后類似工程提供了很好的經驗。

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