單葉雙曲面與雙曲拋物面為動(dòng)直線軌跡的定義

陳岱婉 陳 彥

（廣東汕頭幼兒師范高等專科學(xué)校初等教育學(xué)院，廣東 汕頭 515041）

1 引 言

在《空間解析幾何》中，二次柱面、二次錐面、單葉雙曲面、雙曲拋物面都是重要的直紋面，精準(zhǔn)定義曲面對(duì)理解運(yùn)用其直紋性意義重大. 檢索現(xiàn)有的文獻(xiàn)，對(duì)單葉雙曲面與雙曲拋物面（以下簡(jiǎn)稱為“兩種直紋面”）的恰切定義的相關(guān)研究至今尚未發(fā)現(xiàn). 文獻(xiàn)[1-7]是一些高等院校現(xiàn)行的教科書，對(duì)柱面和錐面給出嚴(yán)格定義，但對(duì)兩種直紋面就僅利用代數(shù)方法，通過方程的等價(jià)變形得出直母線方程來解釋直紋性；大部分學(xué)者對(duì)這兩種直紋面的研究，都僅涉及其上兩族直母線的存在性及它們之間的關(guān)系性質(zhì)，即便有少數(shù)人研究它們作為動(dòng)直線的軌跡，也是具有特殊性或缺乏揭示二次曲面的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而無法給出這兩種直紋面的一個(gè)較為直觀又具有二次曲面內(nèi)在關(guān)聯(lián)的定義.如文獻(xiàn)[8]簡(jiǎn)單探討了直紋面直母線的一般形式，籠統(tǒng)地證明了與三條異面直線都共面的動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)軌跡是單葉雙曲面；文獻(xiàn)[9]從微分幾何的角度推導(dǎo)出單葉雙曲面上特殊截面和截線方程，并研究了單葉雙曲面可看成異面直線上動(dòng)點(diǎn)滿足一定條件的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，以驗(yàn)證其直紋性；文獻(xiàn)[10]通過兩個(gè)特例討論滿足特殊條件動(dòng)直線的軌跡就是單葉雙曲面；文獻(xiàn)[11]指出直紋面可視為動(dòng)直線的軌跡；文獻(xiàn)[12]給出關(guān)于單葉雙曲面和雙曲拋物面的定義.故本文試圖從二次曲面的內(nèi)在關(guān)聯(lián)出發(fā)，借鑒現(xiàn)行教科書中柱面和錐面的定義，給出兩種直紋面為動(dòng)直線軌跡的定義，以幫助讀者對(duì)直紋面有直觀的、內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí).

2 兩種直紋面為動(dòng)直線軌跡的直觀描述及分析

2.1 預(yù)備知識(shí)

首先，考慮現(xiàn)行教材柱面與錐面的定義如下.

定義2.11[1]在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所成的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲線叫做柱面的準(zhǔn)線，那族平行直線中的每一條直線，叫做柱面的母線.

定義2.12[1]在空間通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所成的曲面叫做錐面，這些直線都叫做錐面的母線，那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線叫做錐面的準(zhǔn)線.

分析上述定義可知：生成柱面的動(dòng)直線特質(zhì)是：“一動(dòng)一定”，過動(dòng)點(diǎn)但方向不變；而生成錐面的動(dòng)直線卻是：“一定一動(dòng)”，一端過定點(diǎn)但方向改變.那么我們將要定義的生成單葉雙曲面與雙曲拋物面的動(dòng)直線都是：“兩動(dòng)”，過動(dòng)點(diǎn)且方向也改變.這就是本文的難點(diǎn)所在，為解決該難點(diǎn)，我們引入兩個(gè)在本文中起關(guān)鍵作用的輔助曲面，它們能很好地揭示二次曲面之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

2.2 建立平面曲線上的點(diǎn)與輔助曲面中的直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

在空間，我們需要構(gòu)建平面曲線上的點(diǎn)與二次錐面T1的母線或一對(duì)相交平面T2中的直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并對(duì)一些概念下定義如下.定義2.21 設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)O 且平行于平面定曲線上一點(diǎn)P 的從切平面[13-14]的平面，與輔助曲面Ti（i＝1，2）有兩交線，其中一條與從切平面平行的坐標(biāo)軸、向徑構(gòu)成左手標(biāo)架，此交線稱為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的輔助曲面Ti的正母（直）線，另一條交線（與平行于定曲線上點(diǎn)P 的從切平面的坐標(biāo)軸、向徑構(gòu)成右手標(biāo)架）稱為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的輔助曲面Ti的負(fù)（直）母線.

注記1：平面曲線上的點(diǎn)可以確定輔助曲面Ti對(duì)應(yīng)的兩條母（直）線，為后面表述方便需要將其區(qū)分.為此，記正母（直）線為l＋，負(fù)母（直）線為l－（如圖1，2 所示）.

圖2

3 兩種直紋面為動(dòng)直線軌跡的定義

3.1 單葉雙曲面為動(dòng)直線的軌跡定義

定義3.11 在空間，與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線（或負(fù)母線）的動(dòng)直線的軌跡叫做單葉雙曲面，定曲線稱為單葉雙曲面的準(zhǔn)線，二次錐面叫做單葉雙曲面的漸近錐面，動(dòng)直線中的每一條都叫做單葉雙曲面的母線（如圖3 所示）.單葉雙曲面的準(zhǔn)線不唯一，可為下列平面曲線（其中常數(shù)a，b，c＞0）：

圖3

（1）腰橢圓[4，15]（2）雙曲線（3）雙曲線

證明 Ⅰ.先證與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次錐面T1的正母線的動(dòng)直線的軌跡是單葉雙曲面.

考慮到由于平面定曲線將作為母線，動(dòng)直線須沿它運(yùn)動(dòng)，故在平面定曲線上任取一點(diǎn)時(shí)，動(dòng)直線必過該點(diǎn)（下一個(gè)定義3.21 也相應(yīng)雷同）.故有下面：（1）當(dāng)準(zhǔn)線為腰橢圓時(shí)Σ1，

設(shè)P（x0，y0，0），則過點(diǎn)P 的從切平面為

故過點(diǎn)O 且平行于點(diǎn)P 的從切平面的平面α 為

ⅱ）其次，求平面α 與錐面T1的交線.

聯(lián)立方程（1）、（3），得平面α 與錐面T1的交線為

可得交線有兩解，即為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的二次錐面T1的正、負(fù)母線.若取z＝abc 代入（4），求得兩母線的方向數(shù)為

由定義2.21 知，點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的正母線l＋的方向數(shù)為－a2y0:b2x0:abc，點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的負(fù)母線l－的方向數(shù)為－a2y0:b2x0:（－abc）.

ⅲ）最后，求以腰橢圓Σ1為準(zhǔn)線，過點(diǎn)P∈Σ1且方向平行于點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的二次錐面T1的正母線的動(dòng)直線的軌跡.

設(shè)動(dòng)直線的參數(shù)方程為

聯(lián)立（5）、（6）消去x0，y0，t 并整理可得

故該軌跡為單葉雙曲面（如圖4 所示）.命題得證.

圖4

（2）當(dāng)準(zhǔn)線為雙曲線Σ2時(shí)，

設(shè)Q（0，y0，z0），則過點(diǎn)Q 的從切平面為

故過點(diǎn)O 且平行于點(diǎn)Q 的從切平面的平面β 為

ⅱ）其次，求平面β 與錐面T1的交線.

聯(lián)立方程（1）、（7），得平面β 與錐面T1的交線為

可得交線有兩解，即為點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的二次錐面的正、負(fù)母線.若取x＝abc 代入（8），求得兩母線的方向數(shù)為

由定義2.2.1 知，點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線l＋的方向數(shù)為abc:b2z0:c2y0，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的二次錐面的負(fù)母線l－的方向數(shù)為－abc:b2z0:c2y0.

ⅲ）最后，求以雙曲線Σ2為準(zhǔn)線，過點(diǎn)Q∈Σ2且方向平行于點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線的動(dòng)直線的軌跡.設(shè)動(dòng)直線的參數(shù)方程為

聯(lián)立（9）、（10）消去y0，z0，t 并整理可得

故該軌跡為單葉雙曲面.命題得證.

（3）當(dāng)準(zhǔn)線為雙曲線Σ3時(shí)，

與（1）、（2）中的ⅰ）、ⅱ）類似，一旦W（x0，0，z0）∈Σ3，便可求得點(diǎn)W 對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線l＋的方向數(shù)為a2z0:abc:c2x0，點(diǎn)W 對(duì)應(yīng)的二次錐面的負(fù)母線l－的方向數(shù)為a2z0:（－abc）:c2x0.

ⅲ）最后，求以雙曲線Σ3為準(zhǔn)線，過點(diǎn)W∈Σ3且方向平行于點(diǎn)W 對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線的動(dòng)直線的軌跡.設(shè)動(dòng)直線的參數(shù)方程為

聯(lián)立（11）、（12）消去x0，z0，t 并整理可得

故該軌跡為單葉雙曲面.命題得證.

Ⅱ.對(duì)于與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次錐面T1的負(fù)母線的動(dòng)直線的軌跡是單葉雙曲面，證明過程完全與Ⅰ情況雷同，這里從略.

注記2：在該定義3.11 中，與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次錐面的正母線或負(fù)母線的動(dòng)直線的軌跡正好是對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)[16]所定義的單葉雙曲面的直母線u，v 族.

3.2 雙曲拋物面為動(dòng)直線的軌跡定義

定義3.21 在空間，與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面T2的正母線（或負(fù)母線）的動(dòng)直線的軌跡叫做雙曲拋物面，定曲線稱為雙曲拋物面的準(zhǔn)線，這對(duì)相交平面叫做雙曲拋物面的漸近平面，動(dòng)直線中的每一條都叫做雙曲拋物面的母線（如圖5所示）.雙曲拋物面的準(zhǔn)線不唯一，可為下列平面曲線（其中常數(shù)a，b＞0，c≠0）：

圖5

證明 Ⅰ.先證與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面T2的正母線的動(dòng)直線的軌跡是雙曲拋物面.

（1）當(dāng)準(zhǔn)線為拋物線Γ1時(shí)，

設(shè)P（0，y0，z0），則過點(diǎn)P 的從切平面為

故過點(diǎn)O 且平行于點(diǎn)P 的從切平面的平面α 為

ⅱ）其次，求平面α 與一對(duì)相交平面T2的交線.

聯(lián)立方程（2）、（13），得平面α 與一對(duì)相交平面T2的交線為

可得交線有兩解，即為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的相交平面T2的正、負(fù)直線.若取y ＝-b 代入（3.12），求得兩直線的方向數(shù)為

由定義2.2.1 知，點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面的正直線l＋的方向數(shù)為點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面的負(fù)直線l－的方向數(shù)為

ⅲ）最后，求以拋物線Γ1為準(zhǔn)線，過點(diǎn)P∈Γ1且方向平行于點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的相交平面T2的正直線的動(dòng)直線的軌跡.

設(shè)動(dòng)直線的參數(shù)方程為

聯(lián)立（15）、（16）消去y0，z0，t 并整理可得

故該軌跡為雙曲拋物面（如圖6 所示）.命題得證.

圖6

（2）當(dāng)準(zhǔn)線為拋物線Γ2時(shí)，

設(shè)P（x0，0，z0），則過點(diǎn)Q 的從切平面為

故過點(diǎn)O 且平行于點(diǎn)Q 的從切平面的平面β 為

ⅱ）其次，求平面β 與相交平面T2的交線.

聯(lián)立方程（2）、（17），得平面β 與相交平面T2的交線為

可得交線有兩解，即為點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面T2的正、負(fù)直線. 若取x＝a 代入（18），求得兩直線的方向數(shù)為

由定義2.2.1 知，點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的正直線l＋的方向數(shù)為點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的負(fù)直線l－的方向數(shù)為

ⅲ）最后，求以拋物線Γ2為準(zhǔn)線，過點(diǎn)Q∈Γ2且方向平行于點(diǎn)Q 對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面的正直線的動(dòng)直線的軌跡.

設(shè)動(dòng)直線的參數(shù)方程為

聯(lián)立（19）、（20）消去x0，y0，t 并整理可得

故該軌跡為雙曲拋物面.命題得證.

Ⅱ.對(duì)于與平面定曲線相交且平行于交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一對(duì)相交平面的負(fù)母線的動(dòng)直線的軌跡是雙曲拋物面，證明過程完全與Ⅰ情況雷同，這里從略.

4 結(jié)論

本文在現(xiàn)行《空間解析幾何》教材及文獻(xiàn)的相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上給予擴(kuò)展，從二次曲面的內(nèi)在關(guān)聯(lián)出發(fā)，分別利用漸近錐面或一對(duì)相交平面找到單葉雙曲面與雙曲拋物面的直母線的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而給出這兩種直紋面為動(dòng)直線的軌跡定義.在本定義中，若將動(dòng)直線方向固定，則得到柱面，若動(dòng)直線一端經(jīng)過固定點(diǎn)，則得到錐面，故它具有一般性，可視為柱面和錐面定義的推廣.我們的后續(xù)工作是研究單葉雙曲面與其漸近錐面有關(guān)性質(zhì)的比較.