基于圓的幾何性質(zhì)的無人機(jī)純方位無源定位研究

巴 蕾，李欣燁，阮泳航

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引 言

無人機(jī)無源定位在環(huán)境監(jiān)測(cè)、應(yīng)急救援、軍事偵察與電子戰(zhàn)等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越多，如何規(guī)劃無人機(jī)路徑以提高定位精度已成為國際研究熱點(diǎn)問題之一[1].無源定位是一個(gè)系統(tǒng)的工作過程，其中定位算法是連接定位技術(shù)和算法性能分析之間的橋梁.

近年來，國內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)于無源定位算法進(jìn)行了深入的研究.其中，經(jīng)典的無源定位算法主要有最小二乘算法（LS）、最大似然算法（ML）及擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（EKF）[2].這些算法中有很多都存在著缺陷，例如，ML 算法需要對(duì)測(cè)量誤差的分布進(jìn)行先驗(yàn)假設(shè)，但該假設(shè)僅適用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)而言并未得到其成立的證明[3].本文僅基于圓的幾何性質(zhì)建立純方位無源定位模型，相較于上述算法，在限制條件較少的情況下仍然保持較高的定位精度.

本文的結(jié)構(gòu)編排如下：第一節(jié)進(jìn)行前提假設(shè)，第二節(jié)主要是純方位無源定位模型的建立過程，第三節(jié)分析了定位模型中所需發(fā)射信號(hào)無人機(jī)的最小數(shù)量，第四節(jié)構(gòu)建了無人機(jī)群的調(diào)整模型，最后在第五節(jié)對(duì)上述工作進(jìn)行了總結(jié).

1 前提假設(shè)

現(xiàn)有10 架無人機(jī)組成圓形編隊(duì)并保持在同一高度上，其中編號(hào)FY00 位于圓心，其余9 架無人機(jī)（FY01～FY09）均勻分布在某一水平方向的圓周上（見圖1）.

作以下假設(shè)：

（1）各無人機(jī)高度保持一致，僅考慮二維情況;

（2）各無人機(jī)僅依靠方向信息（規(guī)定為接收信號(hào)的無人機(jī)與任意兩架發(fā)射信號(hào)無人機(jī)連線之間的夾角）進(jìn)行定位與調(diào)整，排除其他因素的干擾；

（3）記接收信號(hào)的無人機(jī)收到FY00 與FY01 發(fā)射的夾角大小為α1，收到FY00 與FY0A（第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)）發(fā)射的夾角大小為α2，收到FY01 與FY0A 發(fā)射的夾角大小為α3（單位：（°），見圖2）；

圖2 無人機(jī)接收到的方向信息示意圖

（4）無人機(jī)圓形編隊(duì)的半徑為R.

2 定位模型

這一節(jié)在無人機(jī)FY00 和另2 架編號(hào)已知的無人機(jī)發(fā)射信號(hào)且位置皆無偏差，其余位置略有偏差的無人機(jī)接收信號(hào)的情況下，建立接收信號(hào)的無人機(jī)的定位模型.

2.1 平面直角坐標(biāo)系的建立

由于發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)編號(hào)已知，不妨設(shè)圓周上的兩架無人機(jī)中的一架編號(hào)為FY01，另一架編號(hào)為FY0A（2≤A≤9）.以FY00 作為原點(diǎn)，F(xiàn)Y00－FY01作為x 軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系.

記FY0A 的坐標(biāo)為A（x1，y1），接收信號(hào)的無人機(jī)為FY0B（2≤B≤9 且B≠A），F(xiàn)Y0B的坐標(biāo)為P（x，y）.

2.2 無人機(jī)定位模型建立

過FY00，F(xiàn)Y01，P三點(diǎn)作圓O1，過FY01 所在點(diǎn)作FY00－FY01的垂線，記垂線與圓O1的交點(diǎn)為P'（P'≠FY01），由圓周角定理[4]得在點(diǎn)P' 接收到的角度值也為α1，O1位于FY00－P'的中點(diǎn)，坐標(biāo)為圓O1的方程如下：

同理，F(xiàn)Y00，F(xiàn)Y0A，P過三點(diǎn)作圓O2，過FY0A 所在點(diǎn)作FY00－FY0A 的垂線，記垂線與圓O2的交點(diǎn)為P"（P"≠FY0A），得在點(diǎn)P"接收到的角度值也為α2.設(shè)O2的坐標(biāo)為（x0，y0），可以得到kOA·kAP"＝-1，即

聯(lián)立方程（2）和（3）解得：

當(dāng)2≤B≤5時(shí)，

當(dāng)6≤B≤9 時(shí)，

于是可以得到圓O2的方程如下：

聯(lián)立圓O1和圓O2的方程（1）和（4），解得x，y 如下：

式中的a，b，c，d 表示如下：

解得（x，y）即接收信號(hào)的無人機(jī)（圖中點(diǎn)P）的位置坐標(biāo)，如圖3 所示（圖中取A＝2）：

圖3 接收信號(hào)的無人機(jī)位置圖

任選三架無人機(jī)發(fā)射信號(hào)，計(jì)算出α1，α2，將其代入式（5），計(jì)算可得接收信號(hào)的無人機(jī)的坐標(biāo).

3 無人機(jī)數(shù)量的最小化

這一節(jié)研究在選取無人機(jī)FY00 和FY01（位置無偏差）發(fā)射信號(hào)后，還需要幾架位于圓周上未知編號(hào)的無人機(jī)（位置無偏差）發(fā)射信號(hào)以完成對(duì)其余無人機(jī)的有效定位.通過接收到的方向信息確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的編號(hào)（記為FY0A），以FY00，F(xiàn)Y01，F(xiàn)Y0A 為發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)，利用定位模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)接收信號(hào)的無人機(jī)的定位.

稱無人機(jī)在圓周上均無位置偏差時(shí)接收到的方向信息為標(biāo)準(zhǔn)角，此時(shí)分別記的α2，α3值為aij，bij.另外，α2，α3在實(shí)際情況下的值記為a'ij，b'ij.（其中i，j 分別為FY0A 與接收信號(hào)的無人機(jī)的編號(hào)）

接下來以FY03 為接收信號(hào)的無人機(jī)的情況為例，說明確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的步驟：

Step1：FY03 接收到FY00 和FY0A（A＝1，2，4，5，…，9）發(fā)射的方向信息ai3（i＝1，2，4，5，…，9）的值如表1 所示：

表1 ai3（i＝1，2，4，5，…，9）的值

Step2：記無人機(jī)實(shí)際接收到的角度與標(biāo)準(zhǔn)角之差的絕對(duì)值為δ.例如，F(xiàn)Y03 接收到的α2＝55，為了能在FY04，F(xiàn)Y05 和FY02 之間確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的編號(hào)，區(qū)間（50－δ，50＋δ）與（70－δ，70＋δ）不能相交，于是得到δ≤10.因此ai3'（i＝1，2，4，5，…，9），的取值范圍如表2 所示：

表2 ai3'（i＝1，2，4，5，…，9）的取值范圍

Step3：已知無人機(jī)FY03 接收到α1，α2，其中α1必位于區(qū)間（40，60），根據(jù)α2所在區(qū)間，判斷第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的可能情況.例如，當(dāng)α2＝55 時(shí)，可以確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)為FY05；當(dāng)α2＝33 時(shí)，可以判斷出第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)為FY06 或FY09；

Step4：與Step2 同理，bi3'（i＝2，4，5，…，9）的取值范圍如表3 所示：

表3 bi3'（i＝2，4，5，…，9）的取值范圍

Step5：已知無人機(jī)FY03 接收到α3，根據(jù)α3所在區(qū)間，確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的編號(hào).例如，當(dāng)α3＝75 時(shí)，則可以最終確定第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)為FY06.

至此，已確定3 架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)為FY00、FY01、FY0A（2≤A≤9），然后用定位模型對(duì)接收信號(hào)的無人機(jī)進(jìn)行定位.

4 調(diào)整模型

這一節(jié)根據(jù)無人機(jī)的初始位置（略有偏差），建立調(diào)整模型（在每次調(diào)整過程中，無人機(jī)FY00 和圓周上最多3 架無人機(jī)發(fā)射信號(hào)，其余無人機(jī)根據(jù)收到的方位信息調(diào)整位置），使無人機(jī)群在多次調(diào)整后均勻分布于某個(gè)圓周上.

4.1 調(diào)整模型的建立

這一節(jié)給出兩種解決方法，這兩種方法的區(qū)別是在每一次調(diào)整過程中對(duì)于發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的選取方式不同.兩種方法的具體流程如圖4 所示：

圖4 兩種方法調(diào)整流程

4.1.1 方法一

Step1：以無人機(jī)FY00 和FY0B（2≤B≤9）作為發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)，F(xiàn)Y01 作為接收信號(hào)的無人機(jī)，接收到的角度值記為βi（2≤i≤9）.此外，記所有無人機(jī)均在標(biāo)準(zhǔn)位置時(shí)FY01 接收到的角度值為β'i（2≤i≤9），具體值如表4 所示：

表4 β'i（2≤i≤9）的數(shù)值

Step2：定義無人機(jī)FY0B（2≤B≤9）的角偏差率函數(shù)為：

Step3：找到角偏差率最小的作為無人機(jī)，記為FY0A. 以無人機(jī)FY00，F(xiàn)Y01，F(xiàn)Y0A作為發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)，使剩余的無人機(jī)調(diào)整至新的位置，在該位置各無人機(jī)接收到的α1，α2均為標(biāo)準(zhǔn)角；

Step4：重復(fù)Step1～Step3 若干次，得到偏差較小的無人機(jī)群的位置.

4.1.2 方法二

隨機(jī)生成2～9 的一個(gè)整數(shù)i，取A＝i，以無人機(jī)FY00，F(xiàn)Y01，F(xiàn)Y0A 作為發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)，使剩余的無人機(jī)調(diào)整至新的位置，在該位置各無人機(jī)接收到的α1，α2均為標(biāo)準(zhǔn)角.重復(fù)上述操作若干次，得到無人機(jī)組的位置.

相較于方法一，方法二的顯著優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，且需要的條件少.

4.2 調(diào)整模型的求解結(jié)果

根據(jù)初始坐標(biāo)計(jì)算出無人機(jī)接收到的方向信息α1，α2，接著按照上述兩種方法的步驟分別進(jìn)行2 次迭代（取R＝100 m）.最終得到無人機(jī)組完成迭代前后的坐標(biāo)對(duì)比如表5所示.

表5 無人機(jī)使用兩種方法完成迭代前后的坐標(biāo)

由表5 可知，對(duì)同一組初始坐標(biāo)，在同樣的迭代次數(shù)下，方法一的求解結(jié)果更接近標(biāo)準(zhǔn)位置的坐標(biāo).

4.3 誤差分析

這一節(jié)采用的方法為迭代法，由于每次選擇的第三架發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的位置都是略有偏差的，每次調(diào)整之后的無人機(jī)組的位置都會(huì)存在一定偏差.

設(shè)偏差率sn為無人機(jī)組在第n 次調(diào)整后角偏差率fi之和，即：

表6 第n 次迭代后的值

表6 第n 次迭代后的值

迭代次數(shù)方法一誤差s（1）n方法二誤差s（2）n 0 0.0280.028 1 0.0010.010 2 0.0010.011

由表6 可知，隨著迭代次數(shù)的增加，方法一的誤差逐漸減小，而方法二的誤差沒有明確的變化趨勢(shì).方法一相較于方法二誤差較小，說明該方法的迭代效果良好，即方法一的調(diào)整效果較好，有一定的參考價(jià)值.

4.4 靈敏度分析

隨機(jī)生成多組數(shù)據(jù)作為無人機(jī)組的初始位置.表7 中顯示了其中1 組數(shù)據(jù)，此外對(duì)隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行較大修改，對(duì)修改前后的數(shù)據(jù)都用方法一和方法二進(jìn)行位置調(diào)整.

表7 無人機(jī)初始位置和調(diào)整結(jié)果

使用方法一分別對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行位置調(diào)整（迭代次數(shù)均為2），調(diào)整結(jié)果如表7 所示.

分別使用方法一和方法二對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，兩組數(shù)據(jù)在n 次迭代后的誤差如表8 所示.

表8 使用方法一和方法二對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行迭代的誤差

從表8 可見，在對(duì)初始位置進(jìn)行較大修改的情況下，方法一迭代2 次后的誤差并沒有增加，可見方法一具有較高的普適性，而方法二迭代2 次后的誤差大幅增加，可見方法二適用范圍較窄，穩(wěn)定性較差.

5 總結(jié)

本文所用模型在依靠方向信息的情況下仍能得到較精確的結(jié)果，且調(diào)整模型的收斂速度較快.但模型的限制條件比較嚴(yán)苛，可以嘗試將模型推廣到更復(fù)雜的情況，例如，無人機(jī)群高度不一致等.亦可以嘗試對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整，例如，調(diào)整無人機(jī)的選取方案、構(gòu)造不一樣的角偏差率函數(shù)、改變發(fā)射信號(hào)的無人機(jī)的數(shù)量等.

致謝：感謝汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系李健老師的悉心指導(dǎo).