S-dual 模型產生的原初黑洞和次級引力波*

強琪超 彭智謙 郜青

(西南大學物理科學與技術學院,重慶 400715)

在S-dual 暴漲模型中通過在非正則動能項中引入峰值函數,可產生豐度可觀的原初黑洞和次級引力波.該模型分別在1012,108 和105 Mpc–1 對原初密度擾動的功率譜進行放大,產生了質量量級分別為10–13 太陽質量、地球質量、行星質量的原初黑洞,以及峰值頻率分別為毫赫茲、微赫茲、納赫茲的次級引力波.其中在10–13太陽質量附近的原初黑洞可以解釋全部的暗物質,產生的次級引力波能被未來的空間引力波探測器探測到.

1 引言

2016 年2 月11 日,美國激光干涉引力波天文臺(LIGO)宣布在2015 年9 月14 日人類首次直接探測到了引力波[1].這是21 世紀物理學最重大的發現,它宣告了引力波天文學時代的到來,同時也為在強場和非線性區域檢驗引力理論提供了全新的手段.該發現獲得了2017 年諾貝爾物理學獎.這些引力波事件發現的黑洞有可能是原初黑洞.暴漲時期的密度擾動在進入輻射為主時期,就塌縮形成了原初黑洞[2]及次級引力波[3].原初黑洞可以解釋暗物質[4]以及第九行星[5]等問題.次級引力波作為隨機引力波背景可以被脈沖星計時陣列(PTA)[6]以及未來的空間引力波探測器LISA[7],太極[8]和天琴[9]等探測到.近期有很多研究工作討論能產生原初黑洞的暴漲模型.

要產生足夠豐度的原初黑洞暗物質,在小尺度上的擾動需要在10–2量級[10],而在大尺度上又需要滿足微波背景輻射限制的10–9量級[11].一部分研究工作考慮用具有拐點或是非最小耦合的暴漲模型來討論在小尺度上對功率譜的放大.在引入非動能項的暴漲中如K/G 暴漲模型,有一種利用峰值函數來研究在小尺度上放大功率譜的新機制.這種新的機制同時適用于Higgs 暴漲和T 暴漲模型,且峰值函數和暴漲模型的函數形式都不會受到太大的限制,同時產生的引力波可以是寬譜或窄譜.

S-dual 起源于對電荷和磁荷的狄拉克量子化條件,其意味著在量子電動力學中和電荷弱耦合的理論與和磁單極強耦合的理論等價.這種體現強弱對偶的S-dual 后來被推廣到IIB 型超弦理論中.對于S-dual[12]暴漲模型,伸縮子標量場?的勢函數在S-dual 變換下,g→1/g或?→-?是不變的,其中g～e?/M,M是具有普朗克質量量綱的數值.S-dual 暴漲模型在一定置信度范圍符合普朗克衛星的觀測結果.本文主要研究在帶峰值函數的非正則動能項這種新的機制下,S-dual 暴漲模型產生的原初黑洞和次級引力波.

2 放大功率譜

在S-dual 暴漲模型中,引入非正則動能項,作用量為

在暴漲之后的低能標階段,非正則動能項G(?)可以忽略,就回到廣義相對論的情況.背景演化方程為

在慢滾近似中,曲率擾動方程為

功率譜P?和曲率擾動?k的關系為

從上述等式中發現,引入的非正則動能項G(?)可以增強功率譜.在峰值?p附近,G(?)的主要貢獻來自于Gp(?) 且G(?)≈h,所以功率譜可以通過增大h實現.如果要把功率譜從10–9的量級增大到10–2的量級,h至少是107.另一方面,暴漲結束時宇宙膨脹的e 指數的倍數N為

所以Gp(?)同時也增大了N,且峰值函數對N的貢獻約為20,其中?*和?e分別代表出視界和暴漲結束時的?數值.峰值函數Gp(?)在小尺度上增大了功率譜,同時讓?*更加接近?e,由 于暴 漲理 論要求N的數值一般在50—60 之間,則在極慢滾之后的慢滾暴漲的Neff只能是40 左右.在遠離峰值時,峰值函數可以忽略不計,其中非正則動能項f(?)起主導作用,利用如下的變化形式:

結合U(Φ)=V[?(Φ)]=U0Φ1/3以及U0=(9Λ24/f0)1/6把非正則標量場?變換為正則標量場Φ.對于冪次勢函數,U(Φ)=U0Φ1/3,Neff～40 ,得到譜指數ns=0.971 ,張標比r=0.033 滿足2018 年普朗克衛星的觀測限制結果.所以在這種機制下,S-dual 暴漲既滿足了大尺度上普朗克的限制結果又在小尺度上放大了功率譜.求解背景方程(5)—方程(7)和擾動方程(8)得到功率譜的數值解,取f0=7.34×1054,M=0.1 ,h,w,?p,?*的數值見表1.表1 中“S”代表q=1的窄譜,“WS”代表q=5/4 的寬譜.下標“1”,“2”,“3”分別代表峰值處于不同的位置,“1”代表峰值位置在1012Mpc–1(Mpc=3.26×106光年),“2”代表峰值位置在108Mpc–1,“3”代表峰值位置在105Mpc–1.N,ns,r和峰值對應的尺度k的數值見表1,對應的功率譜如圖1 所示,功率譜的數值見表2,結果表明ns≈0.968 ,r≈0.04 ,與普朗克衛星的觀測結果[11]符合

圖1 不同模型的功率譜.實線代表q=1 的模型,虛線代表q=5/4 的模型.藍色、紅色和黑色分別代表峰值為1012,108 和105 Mpc–1 的模型.模型的參數和峰值見表1,峰值對應的功率譜數值見表2.淺綠色區域是被CMB 觀測結果排除的參數范圍[11],粉色、天藍色和橘色區域分別代表EPTA[6],BBN[13],μ-distortion[14]排除的參數范圍Fig.1.Power spectra of the different models.Implement the model representing q=1,the dashed line represents the model of q=5/4.Blue,red and black respectively represent the model with a peak value of 1012,108 and 105 Mpc–1.Parameters and peak values of the model are in Table 1,and the power spectrum values corresponding to the peak value are in Table 2.The light green area is the parameter range excluded by the CMB observation results[11],and the pink,sky blue and orange areas represent the parameter range excluded by EPTA[6],BBN[13] and μ-distortion[14] respectively.

表1 模型參數及數值計算結果Table 1.Model parameters and the numerical calculation results.

表2 模型的峰值功率譜、原初黑洞質量、豐度和峰值頻率的數值Table 2.Peak power spectrum of the model,the mass,abundance and peak frequency of the primary black hole.

q因子控制譜的寬窄形狀和峰值?p的位置.取不同的?p和q得到了不同的窄譜和寬譜功率譜.

3 原初黑洞暗物質

在輻射為主時期,在小尺度上由于引力塌縮形成的密度擾動,重新進入視界之后就有可能形成原初黑洞.忽略黑洞質量的增加以及減少,原初黑洞在形成過程中的密度微元為

現在原初黑洞暗物質的豐度為

其中M⊙是太陽質量,γ=0.2 ,現在暗物質的能量密度ΩDMh2=0.12 ,當T＞300 GeV 時無量綱參數g*=107.5;當 0 .5 MeV ＜300 GeV 時,g*=10.75 ,μc=9δc/4 且δc=0.4 .峰值處對應的原初黑洞質量與峰值尺度因子kpeak之間的關系為

將計算功率譜得到的數值結果代入方程(13)到方程(15)中,得到了原初黑洞的豐度以及峰值對應的質量,結果在表2 和圖2 中.不同的參數模型對應不同的峰值位置,不同的峰值位置分別產生了不同質量的原初黑洞暗物質,且都滿足目前的觀測結果限制.模型分別產生了質量為 10-13M⊙,10-6M⊙, 10M⊙的原初黑洞暗物質.行星質量10M⊙左右的原初黑洞可以解釋LIGO/Virgo 觀測到的引力波事件.質量在 10-13M⊙附近的原初黑洞豐度接近1,可以用來解釋全部的暗物質.質量在10-6M⊙附近的原初黑洞可以解釋第九行星.

4 次級引力波

第一級和第二級的擾動混合在一起,一級標量擾動會導致產生二級張量擾動.在小尺度上的擾動達到10–2量級,在這么強的擾動下重新進入視界之后,張量和標量的非線性耦合會產生次級引力波.二級張量擾動hk為

式中,H=aH,輻射為主時期w=p/ρ=1/3 ,eij(k)是張量擾動,Φ是規范不變的巴丁勢函數.輻射為主時期次級引力波的能量密度為

式中,Θ為Heaviside 函數.Tc(u,v,1) 和(u,v,1)

在文獻[10]中給出.現在次級引力波的能量密度為

其中Ωr是輻射的能量密度.利用方程(19),將圖1中的功率譜代入方程(18)和方程(20)中,得到了現在次級引力波的能量密度,結果如圖3 所示.峰值對應的頻率見表2.從表2 結果可以得到,峰值的頻率分別為毫赫茲、微赫茲和納赫茲.模型“WS1”,“WS2”,“WS3”對應比較寬的峰值范圍,產生了寬譜的次級引力波.能夠產生行星質量黑洞的模型“WS3”已經被EPTA 的觀測結果排除.產生地球質量左右黑洞的模型“WS2”可以解釋第九行星,產生的次級引力波可能被未來的空間探測器LISA,太極和天琴探測到.產生 10-13M⊙質量黑洞的模型“S1”和“WS1”,可以解釋豐度接近1 的暗物質,同時產生的次級引力波峰值的能量密度為10–8左右,比原初引力波能量密度10–16的量級要強很多,也可能被未來的空間探測器LISA、太極和天琴探測到.

圖3 次級引力波的能量密度.模型參數同表1,峰值對應的豐度和質量在表2 列出.橘色虛線表示EPTA 的限制結果[6];天藍色虛線表示SKA 的限制結果[22];綠色虛線表示天琴的限制結果[9];紫色虛線表示太極的限制結果[8];棕色虛線表示LISA 的限制結果[7];灰色虛線表示aLIGO 的限制結果[23]Fig.3.Energy density of secondary gravitational waves,the model parameters are the same as Table 1,and the abundance and quality corresponding to the peak are listed inTable 2.The orange dotted line represents the limit result of EPTA[6];the sky blue dotted line represents the limit result of SKA[22];the green dotted line represents the limit result of Tianqin[9];the purple dotted line represents the limit result of Taiji[8];the brown dotted line represents the limit result of LISA[7];the gray dotted line represents the limit result of aLIGO[23].

5 結論

在S-dual 模型中,通過引入非正則動能項的機制,實現在小尺度上對功率譜的放大,同時產生豐度可觀的原初黑洞以及可以被未來空間探測器探測到的次級引力波.在這種機制下,功率譜在大尺度上滿足觀測限制,且在小尺度上被放大到10–2量級.取不同q數值時,在不同峰值位置產生的引力波可以是寬譜或窄譜.不同的?p,分別對應著不同尺度位置1012,108和105Mpc–1對功率譜的放大.產生了質量量級分別為10–13太陽質量、地球質量、行星質量的原初黑洞,以及峰值頻率分別為毫赫茲、微赫茲、納赫茲的次級引力波.行星質量的原初黑洞可以解釋被LIGO/Virgo 探測到的黑洞,地球質量的原初黑洞可以解釋第九行星,10–13太陽質量的原初黑洞可以解釋全部的暗物質.納赫茲的次級引力波可以被PTA 探測到,毫赫茲的次級引力波可被未來的空間探測器探測到.通過本文的研究,驗證了引入非正則動能項的機制適用于Sdual 模型.