幾類藥物依賴的常微分方程模型

郭樹敏　李儒風

摘 要：藥物依賴是一類影響人的認知、行為和生理的病癥。近年來，藥物依賴，特別是阿片類藥物濫用問題日益嚴重，患病人數不斷增加，遏制此類疾病的發展已經刻不容緩。數學建模是研究控制傳染病的有效方法之一，主要介紹了幾類常見藥物依賴的常微分方程模型以及所得結論在疾病傳播控制中的應用。

關鍵詞：藥物依賴；數學建模；疾病控制；常微分方程

藥物依賴俗稱藥物成癮，是指藥物與人體機能相互作用，使人體發生生理以及形態變化，產生連續性的定期用藥需求，一旦停止用藥就會產生生理上和心理上的不適反應。目前，會讓人產生依賴的常見藥物可分為7類：（1）酒精-巴比妥類，包括乙醇、巴比妥類及其他催眠藥和鎮靜藥；（2）苯丙胺類，包括苯丙胺、右苯丙胺、甲基苯丙胺等；（3）阿片類，包括阿片和嗎啡等；（4）可卡因，包括可卡因和古柯葉；（5）致幻劑，包括麥司卡林和裸蓋菇素等；（6）揮發性化合物，包括丙酮、四氯化碳和其他溶媒；（7）煙堿，包括煙草和鼻煙。藥物依賴危害人類身體健康，會損害神經系統和內分泌系統，導致人類產生煩躁、抑郁情緒，甚至精神錯亂；也會損害人體的免疫力和其他臟器。許多藥品能通過胎盤進入胎兒體內，損害胎兒健康，嚴重的會引起流產。近年來，藥物依賴，特別是阿片類藥物依賴的患病者數量越來越多。面對如此嚴峻的形勢，亟待找到更有效的藥物依賴控制手段。數學建模作為防控傳染病的有效手段，在以往大型傳染病暴發時都發揮了重要的作用。藥物依賴的過程也能用數學建模的方式進行模擬，根據建立的符合其傳播特性的微分方程模型，能揭示其流傳規律，找到控制其擴散發展的方法。

1?模型

1.1? SI及SIV模型

SI及SIV模型把藥物依賴當成一類普通傳染病處理，形式也較為簡單。其中，SI模型不考慮外在控制措施的影響，將人群分為兩類—易感者S和藥物依賴者I，疾病發生率也采用較為簡單的線性發生率αSI，建立的常微分方程模型如下[1]：

通過分析方程的奇點和數值模擬得出，當患病者數量超越臨界值時，患病人數會不斷增長，形成流行趨勢；當患病者數量低于臨界值時，患病人數會緩慢減少，最終趨于零。除了上述基本模型，修正過的模型更接近實際情況[1]：

該模型增加了γSI2項，表示政府的宣傳以及控制行動減少了患病者數量，εI項表示患病人數增多時易感者的人數也會增長。由得出的基本再生數表達式能分析出控制藥物依賴的關鍵因素，從而有效控制患病者數量。還有一些具有飽和發生率的模型被討論過[2]，將人群分為易感者S、患病者I和治療者V，所建立的模型為：

該模型考慮了治療和治療又復發的情況，通過數學分析得到了基本再生數，并進行了數值模擬，所得結論可以反映患病人群數量增長的關鍵因素。

1.2? SU1U2模型

SU1U2模型將人群分為3類，包含易感者S、未接受治療的藥物依賴者U1和接受治療的藥物依賴者U2，建立的模型為：

該模型分析出了平衡點的全局穩定性以及基本再生數，并討論引入了隨機擾動模型，這樣更符合藥物濫用的現實環境。隨機模型的解圍繞振蕩變化，振蕩幅度與噪聲強度成正比，且當白噪聲的強度較小時，隨機模型持續存在[3]。在此基礎上改良的模型為[4]：

此模型將發生率改為更符合實際情況的標準發生率，且考慮部分患病者自主治療轉化為易感者，接受治療后也有部分患病者轉化為易感者，通過討論得到了基本再生數，證明了模型平衡點的穩定性。還有模型把患病者治療的過程也記為標準發生率形式，模型如下[5]：

用特征方程理論證明了平衡點的穩定性，結論說明預防患病者出現優于治療已患病者，更能有效地遏制藥物依賴，強制患病者治療對減少患病者的數量沒有太大幫助。模型分析結果還取得了一些有重要意義的參數，有助于找到更有效的藥物依賴治療和預防方法。

還有一些模型應用了更復雜的傳染率形式，更貼合藥物依賴的實際情況，例如以下模型[6]：

該模型假設易感者兩次接觸藥物就會變為藥物依賴者，一旦患病，未經治療不能康復，這種假設更符合實際情況。該模型有復雜的動力學性態，出現了不穩定的極限環和分支，說明在一定條件下，成癮藥物的流行會出現周期性變化。這些復雜的動力學結論說明控制藥物依賴比想象中更加困難。

1.3? SPHT模型

除了生理因素，藥物依賴還和個人性格特征、心理易感性有關，很多藥物不但會讓人產生生理依賴，還會使人產生更強的心理依賴。因此，在建立與之相關的模型時，將總人群分為4類—易感者S、心理依賴者P、生理依賴者H以及治療中的患病者T，模型為：

該模型假設心理依賴者和生理依賴者對易感者具有相同的傳染率，且心理依賴者治療后不會復發，生理依賴者治療后還有一定的復發概率。通過對模型進行數學分析，得到了無病平衡點和地方病平衡點的局部、全局穩定性，還分析了重要參數的靈敏性[7]。還有與之類似的模型：

該模型假設易感者S可能會產生藥物依賴，輕度依賴者P會有部分轉化為重度依賴者H，部分會自主治療轉化為易感者，只有重度依賴者會成為治療者T，治療成功后會轉化為輕度依賴者，同樣也有一定復發概率[8]。通過對模型的求解和分析得到結論：藥物依賴者越早接受治療越能有效減少患病者數量。

還有一類模型結構與上述模型類似[9]，只是在人群分類上有所不同，共分為4類—易感者S、阿片類藥物使用者P、藥物依賴者A以及治療者R，模型為：

模型中阿片類藥物使用者并沒有成癮，但其中有一部分人按照一定比例用藥就會上癮，還有部分人是由于接觸了藥物依賴者而患病。依賴者通過治療可以變為易感者，還有部分人會復發。未成癮的阿片類藥物使用者可以通過自我調節變為易感者。通過分析和數值模擬得出，控制成癮者數量的關鍵是降低阿片類藥物使用者成癮的比例，因此，密切關注藥物使用者、控制用藥量，以防藥物成癮十分必要。

1.4? n維模型

有一類模型結構較為復雜，模型的維數一般較高，例如下面的模型[10]，把人群分為6類—不接受健康教育的易感者S、接受健康教育的易感者C、輕度藥物依賴者L、重度藥物依賴者H、治療者T和永久康復者R，模型為：

模型中假設接受了健康教育的個體會拒絕服用易成癮藥物，自覺地避免與藥物依賴者接觸，從而降低有效接觸率，更有部分人會永久遠離成癮藥物。輕度藥物依賴者和重度藥物依賴者中都會有部分人接受治療，經過治療部分人會永久康復，重度藥物依賴者中會有人復發。通過分析得到了系統的基本再生數，并證明了平衡點的全局漸近穩定性。由此得知家庭教育和公共衛生教育對藥物依賴模型動態的影響，靈敏性分析表明，這兩者都會影響藥物依賴的傳播。通過數值模擬畫圖分析可知，加大宣傳力度、增強人們的防范意識有助于控制藥物依賴的傳播。

還有維數更高的復雜模型[11]，考慮了藥物依賴者多次復發的問題。在治療過程中，一個人可能會康復或復發。因此，建立了一個階段進展模型：

模型中，易感者為S、初始藥物依賴者為Ud、n次在門診接受治療者為、n次治療失敗者為、治療半途放棄者為Q。分析結果表明，從長遠來看，沒有參加康復治療的復發藥物依賴者是藥物依賴者數量增加的主要原因。因此，預防藥物依賴者復發會對其流行泛濫產生重大影響。

2?結語

數學建模對傳染病控制具有積極作用，通過分析能更好地掌握疾病傳播規律，預測其發展趨勢，為控制疾病傳播提供有效的措施和手段。藥物依賴作為一類特殊的傳染病，對人類的健康和社會的安定產生了威脅，了解其發展規律、找到遏制藥物依賴者數量進一步增加的方法具有重要意義。總結了幾類常見的藥物依賴常微分方程模型以及由此得出的有效防止疾病擴散的方法。除了常微分方程，還有時滯微分方程和偏微分方程等其他類別的方程被運用到該模型上，鑒于篇幅有限，并未對此類模型進行總結分析。

[參考文獻]

[1]韓靜華，馬秀珍，樸鳳賢.販毒吸毒的微分方程模型及定性分析[J].沈陽航空工業學院學報，2005（3）：73-76.

[2]李潔，賈建文.一類具有飽和發生率的SIVS吸毒模型的動力學分析[J].應用數學，2015（2）：339-348.

[3]王詩雪，劉俊利.一類隨機海洛因毒品傳播模型的全局分析[J].北華大學學報，2018（5）：575-581.

[4]MUROYA Y，LI H，KUNIYA T.Complete global analysis of an SIRS epidemic model with graded cure and incomplete recovery rates[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014（2）：719-732.

[5]WHITE E，COMISKEY C.Heroin epidemics， treatment and ODE modeling[J].Mathematical Biosciences，2007（1）：312-324.

[6]MA M J，LIU S Y，LI J.Bifurcation of a heroin model with nonlinear incidence rate[J].Nonlinear Dynamics，2017（1）：555-565.

[7]MA M J，LIU S Y，XIANG H，et al.Dynamics of synthetic drugs transmission model with psychological addicts and general incidence rate[J].Physica. A，2018（3）：641-649.

[8]NJAGARAH H J B，NYABADZA F.Modeling the impact of rehabilitation， amelioration and relapse on the prevalence of drug epidemics[J].Journal of Biological Systems，2013（1）：1-23.

[9]BATTISTA N，PEARCY L B，STRICKLAND C.Modeling the prescription opioid epidemic[J].Discover the Worlds Research，2018（2）：1-27.

[10]LI J，MA M.The analysis of a drug transmission model with family education and public health education[J].Infectious Disease Modelling，2018（3）：74-84.

[11]MUSHANYU J，NYABADZA F，MUCHATIBAYA G，et al.Modelling multiple relapses in drug epidemics[J].Ricerche Di Matematica，2016（1）：37-63.